分類討論思想在高中數學解題中的應用

葛超

摘 要：隨著新課改的不斷深入發展，高中數學解題中分類討論思想被廣泛的應用。分類討論思想是解決問題的一種邏輯方法，也是一種數學思想，這種思想在簡化研究對象、發展思維方面起著重要作用。在高中數學解題過程中應用分類討論思想，可以將題目研究對象進行分解，將復雜的題目簡單化，降低題目難度，幫助發展學生的思維。

關鍵詞：分類討論 高中數學 解題應用

隨著我國高考制度的不斷完善與發展，無論是文科還是理科，數學在高考中的地位越來越重要，在抓基礎知識的基礎上，能力的培養與拔高也逐漸體現出來。因此，高考數學題在難度上也對考生提出了一定要求，特別是在選擇填空最后一題，以及大題的最后兩道。分類討論思想在解題過程中有著關鍵的作用。這一思想對如何把握解題思路、如何得到正確答案有著重大影響，同時，分類討論思想在發散學生思維，培養學生全面思考問題，建立嚴謹的思維方式有著明顯的促進作用，它能夠培養學生的思維、動手、觀察等能力和團結協作的精神。[1]

一、分類討論思想的基本概述及其在數學解題中的作用

我們在解決某些數學問題時，常常會遇到這樣一種情況：解到某一步后，發現問題的發展是按照不同的方向進行的。當被研究的問題包含了多種情況，就必須抓住主導問題發展方向的主要因素，在其變化范圍內，根據問題的不同發展方向，劃分為若干部分分別研究，這就是分類討論思想方法。

分類討論思想通常以概念的劃分、集合的分類為基礎，主要有以下幾個方面：一是分類意識，即什么情況下需要分類；二是如何分類，即要科學地分類，分類要標準統一，不重不漏。三是分類之后如何科學地研究；四是如何合理地整合。[2]

通過分析、總結歷年來的高考考點，可以看出分類討論的數學方法是其中的一個重要知識點。這主要是因為分類討論方法可以很好地鍛煉學生的邏輯思維，這對于解決其他的實際問題也非常必要。而且一般分類討論問題的綜合性較強，這樣考查考生多方面的知識，評估學生的實際學習能力。其次，掌握分類討論思想，有利于更好地解決實際問題，比如數學概念中會有分類討論的問題，包括等比數列前n項和公式、絕對值定義等；數學運算公式中有不等式兩邊同時乘以一個實數后對于不等號方向有何影響、偶次方根非負等；參數變化中參數取值不同導致結果不同；參數值不同采用不同的證明方法或者求解方法等。這些問題都必須采用分類討論思想解決。

二、分類討論思想在高中數學解題中的應用

1.高中數學的相關題型。在高中數學中，有很多的模塊都會用到分類討論思想。常見的比如：函數問題，不等式問題，等差等比數列問題，集合概率問題，以及平面幾何中的動點問題。在遇到這一類問題的時候，基本都要用到分類討論思想。原因很簡單，這一類問題會出現多種情況，而且喜歡在知識的交匯處考查學生，因此遇到這一類問題時，需要在大腦中產生分類討論思想，從而提高做題效率，避免因為盲目而浪費時間或者降低準確率，進而在高考中能夠取得理想成績。

2.分類討論思想的實際應用。高中數學題型之多，題量之大，上過高中的同學應該都深有體會。因此想要熟練掌握分類討論思想，需要在大量刷題的基礎上加以歸納總結，對題海進行分類，從而在應試時能夠輕車熟路，使思維更加活躍，思路更加清晰。

（1）在幾何和概率中的應用。從簡單的題型來說，統計概率問題，這一類題目中經常用到分類討論思想。例如：在集合中，我們就需要考慮空子集的存在可能性問題，統計中的不同排列組合的可能性的問題。在概率問題中，經常出現的錯誤就是漏掉了某種情況。采取分類討論思想，系統全面的思考問題，能夠大幅度的減少這一類的失誤，提高答題準確率。

（2）在平面幾何中的應用。在平面幾何問題中，經常遇到的動點問題。由于點運動的方向不確定，點運動的位置不確定，因此必須要使用分類討論的思想。這種題型很多同學可能會直接放棄，其實這是錯誤的思維方式，分類討論思想不僅僅是為了得到最后的結果，更大程度上是考察思維過程，在這一類題中，過程的分往往比結果分數要高，而這個過程，就是分類思考的過程。因此，掌握分類討論思想，對數學提高分數有著很大的作用。這個解題思維能讓你輕松找到解題突破口，從而一步一步找到正確答案。

（3）在函數不等式中的應用。在函數不等式方面，分類討論思想在這些題目中的作用更加重要。特別是在含有參數的情況下，例如：aX2+X>c這種類型中，我們需要討論a>0，a<0，a=0三種情況。這種題看起來復雜，實際上并不是這樣，很多同學也是，看到這種題目就想放棄，其實這是很錯誤的想法，熟練掌握分類討論思想，對于這種問題便可以迎刃而解，看似復雜的背后，其實就是由若干小問題組合而成，分類討論思想就是幫你把這些小問題一個一個的拿出來，具體的分析解決，即使最后沒有得到結果，但是過程分已經收入囊中。就像庖丁解牛一樣，一點一點，一步一步的解決問題。

三、分類討論思想在高中階段的重要性

讓學生全方位思考問題，活躍學生的思維。在應試中，碰到復雜的問題，不至于驚慌失措無從下手，在解決問題時條理更加清晰，思維更加嚴謹，在應試中心態更加平穩，更加得心應手。讓學生更加深刻的理解高中數學。誠然基礎知識占據大部分，但數學思維的掌握也是不可忽視的地位，它能讓學生從被動的學習變為主動的思考，這也是學習方式的一個變化，正是這種變化使得學生在考試當中能夠占優勢。促進學生之間的交流與合作。解題方法老師同學都可以教授，而思維的發散培養，從根源上來講，更需要學生自己的一步步努力培養，一步步地在實踐中積累適合自己的解題經驗。

結語

綜上所述，分類討論思想是高中數學解題中非常重要的一種解題思想，在歷年高考中也是重點考查的知識點。在數學解題中學會應用分類討論思想，有利于學生數學思維的培養和發展，提高學生的數學素養，教師在實際教學過程中應該不斷滲透分類討論思想，使學生能夠更好地掌握這種數學思想。[3]

參考文獻

[1]劉祝蕓.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].經貿實踐，2016，（19）：80.

[2]宋遠芬，孫德貴.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].科技風，2015，（13）：186.

[3]樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].教育教學論壇，2015，（07）：169-170.endprint