高中數(shù)學(xué)數(shù)列問(wèn)題高考題型及解題方法初探

王佳興

摘 要?數(shù)列是高中階段重要的數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容，做好高中數(shù)學(xué)列的學(xué)習(xí)能為以后的高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文主要分析了高中數(shù)學(xué)當(dāng)中，數(shù)列問(wèn)題的主要高考題型，并對(duì)相關(guān)的解題方法進(jìn)行了探究。通過(guò)例題分析高中數(shù)列問(wèn)題的解題技巧，對(duì)解決數(shù)列問(wèn)題具有參考意義。

關(guān)鍵詞?高中數(shù)學(xué);數(shù)列問(wèn)題;高考題型;解題方法

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2018）22-0142-02

前言：按照一定次序排列的一列數(shù)被稱之為數(shù)列，在高中階段數(shù)列是高考的必考考點(diǎn)。數(shù)列中項(xiàng)目的排序極具規(guī)律性，這也是解題的關(guān)鍵之處，解決數(shù)列問(wèn)題就是要找出這樣的規(guī)律，利用公式和技巧解答問(wèn)題。高中階段的數(shù)列知識(shí)內(nèi)容比較復(fù)雜，涉及到的高考題型也比較多樣，需要同學(xué)們掌握解題技巧靈活答題。

一、數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用類型題的解題方法

高中數(shù)列中的通項(xiàng)公式是將數(shù)列{a_n}的第n項(xiàng)用一個(gè)含有參數(shù)n的具體式子表達(dá)出來(lái)，是數(shù)列知識(shí)的核心內(nèi)容。要解決數(shù)列通項(xiàng)公式運(yùn)用類型題，需要靈活變化數(shù)列的遞推公式。在高考中，求數(shù)列的通項(xiàng)公式是比較基礎(chǔ)性的考題，通常需要根據(jù)已知的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式;或者是根據(jù)已知的前n項(xiàng)和第n項(xiàng)之間的關(guān)系，來(lái)求通項(xiàng)公式。以下題舉例：

已知數(shù)列{an}滿足a₁=1，a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），求{a_n}的通項(xiàng)公式。

解析：根據(jù)題干分析，我們已知等式a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2），那么通過(guò)公式換算可以得出a_n+1=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1+na_n;可以得出a_n+1-a_n=na_n，a_n+1=（n+1）a_n（n≥2）;所以我們可得=n+1（n≥2）。因此，我們可以得出a_n=··…·a₂=[n（n-1）·…·43]a₂=a₂。那么由a_n=a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1（n≥2）等式我們可以令n=2，然后可以得出a₂=a₁;根據(jù)題干我們又知道a₁=1，所以a₂=1，將其代入可得a_n=1·3·4·5·…·n=，所以{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=。

在解答求解數(shù)列的通項(xiàng)公式問(wèn)題時(shí)，一定要利用好題干中的已知條件，還要通過(guò)對(duì)遞推公式等基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用，找出題干中的潛在條件，在判斷出具體的數(shù)列類型后再進(jìn)行解答。

二、數(shù)列求和類型題的解題方法

數(shù)列求和也是最常見(jiàn)的數(shù)列問(wèn)題高考考點(diǎn)之一。在求和時(shí)需要先判斷數(shù)列的類型然后再根據(jù)相關(guān)的求和公式進(jìn)行求解。最基本的求和方法就是公式法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為S_n=a₁n+d或者是S_n=n。等比數(shù)列的前n項(xiàng)求和公式分為兩種情況，當(dāng)q=1時(shí)，S_n=n×a₁;當(dāng)q≠1時(shí)，S_n=或S_n=。

而在題干條件不充足的情況下還需要借助于具有技巧性的解題方法，才能解答數(shù)列求和問(wèn)題。比如，最常見(jiàn)的技巧性數(shù)列求和解題方法就是錯(cuò)位相減法。當(dāng)數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列時(shí)，由這兩個(gè)數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積組成了新數(shù)列{a_n·b_n}，對(duì)新數(shù)列進(jìn)行求和就可以使用錯(cuò)位相減法。以下題為例：

求數(shù)列{n·}的前n項(xiàng)和。

解析：根據(jù)題干我們可設(shè)a_n=n，其中數(shù)列{n}為等差數(shù)列，數(shù)列{}為等比數(shù)列且公比為，滿足錯(cuò)位相減法的使用條件。因此，我們使用錯(cuò)位相減法來(lái)解題，首先展開(kāi)公式。S_n=1×+2×+3×+…+n×，然后可知S_n=1×+2×+…+（n-1）×+n×，則S_n=+++…-n×;然后我們經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化整理可以得出S_n=2--，最終可得S_n=2-。

在利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，一定要通過(guò)題干確定被要求求和的數(shù)列是否滿足{a_n·b_n}的形式，是否滿足{a_n}為等差數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列。必須滿足條件才能進(jìn)行求和，同時(shí)要牢記錯(cuò)位相減法的計(jì)算要領(lǐng)和公式，在運(yùn)算當(dāng)中要靈活的運(yùn)用。在進(jìn)行等式化簡(jiǎn)時(shí)，一定要謹(jǐn)慎對(duì)待，不要出現(xiàn)疏漏。

三、等差數(shù)列與等比數(shù)列類型題的解題方法

（一）等差數(shù)列

顧名思義，等差數(shù)列就是指從數(shù)列的第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差等于一個(gè)常數(shù)的數(shù)列，等差數(shù)列的公差通常用d表示。在高考題型中，有一類考題是關(guān)于考察等差數(shù)列的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵就是根據(jù)等差數(shù)列的各項(xiàng)特性進(jìn)行全面分析，通過(guò)思考將已知條件和隱藏條件，再結(jié)合公式與技巧進(jìn)行答題。以下題為例：

等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁<0，S₉=S₁₂，該數(shù)列在n=k時(shí)，前n項(xiàng)和S_n取到最小值，那么k=______。

解析：通過(guò)觀察題干我們發(fā)現(xiàn)，這道例題當(dāng)中的a₁只給出了一個(gè)范圍，并沒(méi)有給出明確的數(shù)值，而數(shù)列{a_n}的前9項(xiàng)和與前12項(xiàng)和相等。

通過(guò)這兩個(gè)已知條件，我們可以實(shí)現(xiàn)等差數(shù)列各種公式之間的轉(zhuǎn)換書(shū)寫，然后根據(jù)等差數(shù)列的相關(guān)公式特點(diǎn)和題干中隱含的條件，進(jìn)行不斷的分化，逐步向所求數(shù)據(jù)靠攏。由S₉=S₁₂，我們可以先得出與公差d相關(guān)的等式，即d=-a₁，那么我們可以根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得出S_n=na₁+=n²+（a₁-）n，由此可以分析出，S_n=（-a₁）·n²+（）·n=-（n-）²+a₁（a₁<0），那么根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)我們可以得出，當(dāng)n==10.5時(shí)，S_n最小。但是nN^*，所以n=10或11的時(shí)候，S_n可以取到最小值。

（二）等比數(shù)列

等比數(shù)列是從數(shù)列的第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比值都是同一個(gè)常數(shù)，公比通常用q表示。在解決等比數(shù)列性質(zhì)類問(wèn)題時(shí)，也要根據(jù)等比數(shù)列的特點(diǎn)和基礎(chǔ)公式，對(duì)已知條件進(jìn)行轉(zhuǎn)換。通過(guò)分析規(guī)律找出等比數(shù)列的基礎(chǔ)項(xiàng)，然后再開(kāi)始答題。等比數(shù)列的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)與等差數(shù)列相比略有不同，下表對(duì)其中的細(xì)節(jié)進(jìn)行了區(qū)分。

以下面一道例題演示等比數(shù)列的高考常見(jiàn)題型和解題要點(diǎn)：

數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，a_n為正整數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=3，b₁=1，數(shù)列，{b_an}是公比為64的等比數(shù)列，b₂S₂=64。

（1）求a_n，b_n;

（2）求證++···+<。

解析：（1）設(shè){a_n}公差為d，{b_n}公比為q，根據(jù)題干我們可以得出結(jié)論公差d為正整數(shù)。那么可設(shè)a_n=3+（n-1）d且b_n=q^n-1，然后我們可以根據(jù)題干內(nèi)容得出等式①，以（6+d）q=64我們可知公比q為正有理數(shù)，那么d就是6的因子也就是1、2、3、6之一。然后根據(jù)推論對(duì)①進(jìn)行拆解，可以得出d=2、q=8，那么a_n=3+2（n-1）=2n+1;b_n=8^n-1。

（2）首先我們從題干中可知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，那么S_n=3+5+…+（2n+1）=n（n+2）;所以我們可以將所求不等式進(jìn)行替換，得到②：++…=+++…+，化簡(jiǎn)②=（1+--）<，由此可證明++…+<。

（三）綜合類數(shù)列題

在數(shù)列類型題中，有一類題會(huì)將等差數(shù)列、等比數(shù)列、函數(shù)等內(nèi)容綜合應(yīng)用。以下題為例：

5.設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知2S_n=3ⁿ+3.

（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式;

（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_nb_n=log₃a_n，求{b_n}的前n項(xiàng)和T_n。

解析：根據(jù)題干已知2S_n=3n+3，所以我們可以得出2a₁=3+3，所以可知a₁=3。

那么當(dāng)n>1時(shí)，2S_n-1=3^n-1+3，此時(shí)，2a_n=2S_n-2S_n-1=3ⁿ-3^n-1=2×3^n-1，即a_n=3^n-1，所以我們可以得出a_n的通項(xiàng)公式為。再來(lái)看第二個(gè)問(wèn)題，我們已知a_nb_n=log₃a_n，所以，我們可以得出b₁=，那么當(dāng)n>1，則b_n=3^n-1·log₃3^n-1=（n-1）×3^n-1，所以可得出T₁=b₁=;那么當(dāng)n>1時(shí)，T_n=b₁+b₂+…+b_n=+（1×3^-1+2×3^-2+…+（n-1）×3^n-1），所以3T_n=1+（1×3⁰+2×3^-1+3×3^-2+…+（n-1）×3^n-2），然后我們兩個(gè)等式相減可以得出：2T_n=+（3⁰+3^-1+3^-2+…+3^n-2-（n-1）×3^n-1）=+-（n-1）×3^n-1=-，所以我們可得T_n=-，經(jīng)檢驗(yàn)，n=1也適合。綜上可得，T_n=-。

四、結(jié)論

綜上所述，高中數(shù)列的知識(shí)內(nèi)容具有規(guī)律性，應(yīng)該要做好基礎(chǔ)知識(shí)的儲(chǔ)備。在解決數(shù)列問(wèn)題時(shí)，一定要進(jìn)行細(xì)致的分析，快速判斷試題類型和考點(diǎn)，這樣才能找出正確的解題方法。我們需要在答題時(shí)充分分析題干，進(jìn)行準(zhǔn)確的分析，一定要靈活的運(yùn)用掌握的基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行答題，切忌生搬硬套公式。

參考文獻(xiàn)：

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