從特殊到一般，由具體到抽象

史青

[摘要]針對中職網(wǎng)絡(luò)專業(yè)學(xué)生的情況，闡述“點(diǎn)到直線的距離”一課的教學(xué)設(shè)計(jì)，并對每一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)行解釋。

[關(guān)鍵詞]職業(yè)學(xué)校;教學(xué)設(shè)計(jì);創(chuàng)設(shè)情境

[中圖分類號]G712??????????? ?? ??????? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A???????? ????????????? [文章編號]? 2096-0603（2018）36-0118-02

“點(diǎn)到直線的距離”選自江蘇教育出版社《數(shù)學(xué)》第二冊第八章第5節(jié)，教學(xué)對象為我校網(wǎng)絡(luò)專業(yè)中職學(xué)生，他們已掌握了兩點(diǎn)間距離公式、直線方程、兩條直線的位置關(guān)系等有關(guān)知識，具備一定利用代數(shù)方法研究幾何問題的能力。職業(yè)學(xué)校學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，但動手操作能力強(qiáng)，對數(shù)學(xué)軟件的熟悉度高。基于以上分析，我將教學(xué)目標(biāo)定為：（1）了解點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程;（2）能應(yīng)用點(diǎn)到直線的距離公式解題;（3）培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。其中，公式的應(yīng)用是重點(diǎn)，公式的推導(dǎo)是難點(diǎn)。本課分為以下五個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)。

一、創(chuàng)設(shè)情境

引入課本中的例子：在已有公路附近有一大型倉庫，現(xiàn)在要修建一條公路與之連接起來，便于運(yùn)貨。那么怎樣設(shè)計(jì)才能使這段公路最短？最短路程是多少？（引例貼近學(xué)生生活，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣）

二、新知探索：點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過程

小組進(jìn)行討論，學(xué)生提出將公路看做一條直線，將超市看做一個(gè)點(diǎn)，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，那么超市到公路的距離就轉(zhuǎn)化為了點(diǎn)P到直線的距離。

為幫助學(xué)生更好地理解，我設(shè)置了問題1，給出具體的點(diǎn)的坐標(biāo)和具體的直線方程，為后面從特殊情況推廣到一般情況作好鋪墊。

問題1 假設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為P（2，1），直線方程為l∶2x-y+1=0，那么如何求點(diǎn)P到直線的距離？

學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P到直線l的距離就是點(diǎn)P、垂足Q兩點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)線問題此時(shí)就轉(zhuǎn)化成了點(diǎn)點(diǎn)問題。

（將上述分析的過程反過來就是解題的過程）

從特殊到一般，給出點(diǎn)和直線的一般形式，提出問題2。

問題2 如何求點(diǎn)P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距離？

從特殊到一般，假設(shè)P（x₀，y₀），l∶Ax+By+C=0，根據(jù)上述的解題過程

學(xué)生類比問題1，說出解題思路，由于運(yùn)算中含有大量字母，不要求學(xué)生說出具體解題過程。其中對A=0或B=0這兩種特殊情況，我們需要借助圖像進(jìn)行分析，把它放在下面的例1中加以強(qiáng)調(diào)。

三、鞏固提高：點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用及平行線間的距離公式

本環(huán)節(jié)的三個(gè)例題中，例1是教材中的例題，第（1）小題中所給直線的方程已經(jīng)是一般式，學(xué)生直接代入公式即可。因此在做第（2）小題時(shí)，容易忽略將方程化為一般形式的這個(gè)前提條件，學(xué)生在做錯的過程中發(fā)現(xiàn)問題，進(jìn)行自我糾錯，強(qiáng)化記憶運(yùn)用公式的前提條件。第（3）小題考查的是A=0的特殊情況，可以直接得出結(jié)論。這里只列舉了平行于x軸的直線，平行于y軸的情況可以同時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充。

例1 求點(diǎn)P0（-1，2）到下列直線的距離：

（1）2x+y-10=0 （2）y=-2x+10 （3）y-4=0

練習(xí)1：求下列點(diǎn)到相應(yīng)直線的距離：

（1）P（1，2）， l∶3x-2y+4=0 （2）P（3，-3）， l∶x+1=0

例2 （1）已知點(diǎn)A（-2，3）到直線y=ax+1的距離為，求a的值;

（2）已知點(diǎn)A（-2，3）到直線y=-x+a的距離為，求a的值。

在解決了例1的基礎(chǔ)上，結(jié)合學(xué)生熟悉軟件和動手操作能力強(qiáng)的專業(yè)特點(diǎn)，由淺入深，增加了含有參數(shù)的情況，讓學(xué)生通過操作數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行驗(yàn)證。

例2的兩個(gè)問題中，直線方程所含參數(shù)a都具有明顯的幾何意義：一個(gè)表示直線的斜率，另一個(gè)表示直線在軸上的截距，時(shí)間允許的話，解出參數(shù)a的值后，可以讓學(xué)生在“Geogebra”軟件中進(jìn)行操作，通過改變拖動直線，參數(shù)值和點(diǎn)線距離都發(fā)生改變，調(diào)整點(diǎn)線距，驗(yàn)證自己的結(jié)論，也鍛煉了學(xué)生用信息環(huán)境解決問題的能力。

在處理完點(diǎn)到直線的公式應(yīng)用后，引入例3解決平行線間的距離公式。

例3 求平行線2x+3y-8=0和2x+3y+5=0的距離。

例3緊扣教材，由于學(xué)生剛剛學(xué)過點(diǎn)到直線的距離公式，有過一次體驗(yàn)從特殊到一般的過程。于是我讓學(xué)生進(jìn)行自主探究，學(xué)生分組進(jìn)行探究，并匯報(bào)自己的結(jié)論。結(jié)合平行線間距離相等這一特點(diǎn)，很自然地想到在其中一條直線上取一個(gè)特殊點(diǎn)，用數(shù)學(xué)中轉(zhuǎn)化的思想方法將兩條平行線之間的距離轉(zhuǎn)換為點(diǎn)到線的距離。

練習(xí)2：求下列兩條平行線間的距離

（1）x+2y-1=0，x+2y-2=0 （2）x+3y-4=0，2x+6y-7=0

練習(xí)2是對平行線間距離公式的直接運(yùn)用，也是熟悉記憶公式的過程，在做第（2）小題時(shí)學(xué)生會發(fā)現(xiàn)兩條直線的A、B不同，這里既要復(fù)習(xí)平行直線的相關(guān)內(nèi)容，也要提示學(xué)生，將對兩個(gè)平行直線的系數(shù)A、B進(jìn)行處理。

此時(shí)，本課教學(xué)任務(wù)已基本完成，通過兩次具體到抽象，特殊到一般的過程，學(xué)習(xí)了點(diǎn)線、線線間的距離公式。這時(shí)回到本課開頭的引例，用本節(jié)課所學(xué)的知識解決引例中的倉庫到公路之間的距離問題，前后呼應(yīng)，學(xué)以致用，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行課堂小結(jié)并布置作業(yè)。

四、課堂總結(jié)

由學(xué)生自主歸納、總結(jié)本節(jié)課所學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，教師加以補(bǔ)充說明。

（1）點(diǎn)到直線的距離公式（補(bǔ)充：使用該公式的前提是將直線方程化為一般形式）。

（2）兩平行線間的距離公式。

（3）轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想：點(diǎn)點(diǎn)距？圮點(diǎn)線距？圮線線距

五、課后作業(yè)

必做：P86練習(xí)1、2，習(xí)題1。

選做：P86習(xí)題2。

課后作業(yè)進(jìn)行了分層處理，選做題需要結(jié)合直線和圓的知識，給學(xué)有余力的學(xué)生進(jìn)行思考。

本次課通過兩次轉(zhuǎn)化，化未知為已知，讓學(xué)生掌握了點(diǎn)線距、點(diǎn)點(diǎn)距兩個(gè)公式。學(xué)生在從特殊到一般、具體到抽象的數(shù)學(xué)思想中，通過動手操作作圖軟件、小組探討等方式自主進(jìn)行探究，構(gòu)建新知識，不僅培養(yǎng)了他們解決實(shí)際問題的能力，也培養(yǎng)了他們自主學(xué)習(xí)的綜合素養(yǎng)。