從特殊到一般，由具體到抽象

史青

[摘要]針對中職網絡專業學生的情況，闡述“點到直線的距離”一課的教學設計，并對每一個教學環節進行解釋。

[關鍵詞]職業學校;教學設計;創設情境

[中圖分類號]G712??????????? ?? ??????? [文獻標志碼]? A???????? ????????????? [文章編號]? 2096-0603（2018）36-0118-02

“點到直線的距離”選自江蘇教育出版社《數學》第二冊第八章第5節，教學對象為我校網絡專業中職學生，他們已掌握了兩點間距離公式、直線方程、兩條直線的位置關系等有關知識，具備一定利用代數方法研究幾何問題的能力。職業學校學生數學基礎薄弱，但動手操作能力強，對數學軟件的熟悉度高。基于以上分析，我將教學目標定為：（1）了解點到直線的距離公式的推導過程;（2）能應用點到直線的距離公式解題;（3）培養學生運用數學知識解決實際問題的能力。其中，公式的應用是重點，公式的推導是難點。本課分為以下五個教學環節。

一、創設情境

引入課本中的例子：在已有公路附近有一大型倉庫，現在要修建一條公路與之連接起來，便于運貨。那么怎樣設計才能使這段公路最短？最短路程是多少？（引例貼近學生生活，調動學生的學習興趣）

二、新知探索：點到直線的距離公式的推導過程

小組進行討論，學生提出將公路看做一條直線，將超市看做一個點，將實際問題轉化為數學模型，那么超市到公路的距離就轉化為了點P到直線的距離。

為幫助學生更好地理解，我設置了問題1，給出具體的點的坐標和具體的直線方程，為后面從特殊情況推廣到一般情況作好鋪墊。

問題1 假設P點的坐標為P（2，1），直線方程為l∶2x-y+1=0，那么如何求點P到直線的距離？

學生不難發現，點P到直線l的距離就是點P、垂足Q兩點之間的距離，點線問題此時就轉化成了點點問題。

（將上述分析的過程反過來就是解題的過程）

從特殊到一般，給出點和直線的一般形式，提出問題2。

問題2 如何求點P（x₀，y₀）到直線Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的距離？

從特殊到一般，假設P（x₀，y₀），l∶Ax+By+C=0，根據上述的解題過程

學生類比問題1，說出解題思路，由于運算中含有大量字母，不要求學生說出具體解題過程。其中對A=0或B=0這兩種特殊情況，我們需要借助圖像進行分析，把它放在下面的例1中加以強調。

三、鞏固提高：點到直線的距離公式的應用及平行線間的距離公式

本環節的三個例題中，例1是教材中的例題，第（1）小題中所給直線的方程已經是一般式，學生直接代入公式即可。因此在做第（2）小題時，容易忽略將方程化為一般形式的這個前提條件，學生在做錯的過程中發現問題，進行自我糾錯，強化記憶運用公式的前提條件。第（3）小題考查的是A=0的特殊情況，可以直接得出結論。這里只列舉了平行于x軸的直線，平行于y軸的情況可以同時進行補充。

例1 求點P0（-1，2）到下列直線的距離：

（1）2x+y-10=0 （2）y=-2x+10 （3）y-4=0

練習1：求下列點到相應直線的距離：

（1）P（1，2）， l∶3x-2y+4=0 （2）P（3，-3）， l∶x+1=0

例2 （1）已知點A（-2，3）到直線y=ax+1的距離為，求a的值;

（2）已知點A（-2，3）到直線y=-x+a的距離為，求a的值。

在解決了例1的基礎上，結合學生熟悉軟件和動手操作能力強的專業特點，由淺入深，增加了含有參數的情況，讓學生通過操作數學軟件進行驗證。

例2的兩個問題中，直線方程所含參數a都具有明顯的幾何意義：一個表示直線的斜率，另一個表示直線在軸上的截距，時間允許的話，解出參數a的值后，可以讓學生在“Geogebra”軟件中進行操作，通過改變拖動直線，參數值和點線距離都發生改變，調整點線距，驗證自己的結論，也鍛煉了學生用信息環境解決問題的能力。

在處理完點到直線的公式應用后，引入例3解決平行線間的距離公式。

例3 求平行線2x+3y-8=0和2x+3y+5=0的距離。

例3緊扣教材，由于學生剛剛學過點到直線的距離公式，有過一次體驗從特殊到一般的過程。于是我讓學生進行自主探究，學生分組進行探究，并匯報自己的結論。結合平行線間距離相等這一特點，很自然地想到在其中一條直線上取一個特殊點，用數學中轉化的思想方法將兩條平行線之間的距離轉換為點到線的距離。

練習2：求下列兩條平行線間的距離

（1）x+2y-1=0，x+2y-2=0 （2）x+3y-4=0，2x+6y-7=0

練習2是對平行線間距離公式的直接運用，也是熟悉記憶公式的過程，在做第（2）小題時學生會發現兩條直線的A、B不同，這里既要復習平行直線的相關內容，也要提示學生，將對兩個平行直線的系數A、B進行處理。

此時，本課教學任務已基本完成，通過兩次具體到抽象，特殊到一般的過程，學習了點線、線線間的距離公式。這時回到本課開頭的引例，用本節課所學的知識解決引例中的倉庫到公路之間的距離問題，前后呼應，學以致用，在此基礎上進行課堂小結并布置作業。

四、課堂總結

由學生自主歸納、總結本節課所學習的主要內容，教師加以補充說明。

（1）點到直線的距離公式（補充：使用該公式的前提是將直線方程化為一般形式）。

（2）兩平行線間的距離公式。

（3）轉化的數學思想：點點距？圮點線距？圮線線距

五、課后作業

必做：P86練習1、2，習題1。

選做：P86習題2。

課后作業進行了分層處理，選做題需要結合直線和圓的知識，給學有余力的學生進行思考。

本次課通過兩次轉化，化未知為已知，讓學生掌握了點線距、點點距兩個公式。學生在從特殊到一般、具體到抽象的數學思想中，通過動手操作作圖軟件、小組探討等方式自主進行探究，構建新知識，不僅培養了他們解決實際問題的能力，也培養了他們自主學習的綜合素養。