數形結合，引領數學思維發展的應然追尋

張莉

【摘要】數與形是數學的兩個基本屬性，數學是研究“數”與“形”的科學。通過數形結合，可以把抽象的數學語言、數量關系，與直觀的幾何圖形、位置關系結合，有助于促使學生對數學知識的理解，更好地建構知識。在數學課堂教學中，教師應從學生的已有知識經驗水平出發，直面學生的學習現實，基于數形結合，引導學生參與認知的全過程，在自主建構中不斷發展學生的數學思維，提升學生的數學學科素養。

【關鍵詞】數形結合；數學思維；數學思考；數學素養

《義務教育數學課程標準（2011年修訂版）》指出：“教師要發揮主導作用，處理好講授與學生自主學習的關系，引導學生獨立思考、主動探索、合作交流，使學生理解和掌握基本的數學知識與技能、數學思想和方法，獲得基本的數學活動經驗。”數學教學，不僅僅是知識與技能的教學，更重要的是讓學生在數學學習活動的過程中，積累數學活動經驗，感悟數學思想和方法，引領數學思維的發展，形成數學學習能力，培養學生的數學學科素養。

數學家華羅庚曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微。數形結合百般好，隔離分家萬事休。”數與形是數學的兩個基本屬性。通過數形結合，可以把抽象的數學語言、數量關系，與直觀的幾何圖形、位置關系結合，有助于促使學生對數學知識的理解，更好地建構知識。

一、從數到形，以數激趣

數與形，一直是數學學習中重要關注的對象，數學是研究“數”與“形”的學科。數與形的結合，一方面激發了學生學習的興趣，另一方面利于學生理解數學，引導學生從數學的認知上來展開探索的欲望，為后續知識的學習做好鋪墊。

如蘇教版數學三年級下冊“識識一個整體的幾分之一”的教學，是從數的認識開始引入，以數激趣，與圖形結合，不斷引導學生的認知走向深處。

課的開始，師引導學生回憶：大家對分數的認識不陌生，你能說出一個幾分之一的分數嗎？

生：二分之一，三分之一，五分之一……

師：能說一說這些分數的意思嗎？

結合學生說出的分數，引導學生說出這幾個分數的意思。

教師出示一個長方形，引導學生思考：如何表示出這個長方形的四分之一？

學生交流：把這個長方形平均分成4份，表示其中的一份是長方形的四分之一。

教師出示一根線段，引導學生思考：如何表示出這根線段的四分之一？

學生交流：把這根線段平均分成4段，表示其中的一段是全長的四分之一。

教師指出：把一個物體平均分成幾份，其中的一份就是它的幾分之一。

在教學中，教師先引導學生回憶分數幾分之一，在喚醒學生的認知基礎上，結合圖形表示分數的幾分之一，進一步讓學生體會分數與現實生活的聯系，增強學生學習數學的興趣，提高學生學好數學的信心。

二、由動到靜，借圖用數

數學學習，對于學生來說，重在理解知識的過程。一些抽象的數學知識，可以通過簡單的圖形進行轉化，便于學生更好地理解。把數學知識由數到形進行變化，由復雜的數的知識轉化成簡單的形，讓學生更好地把握問題的本質特征，充分地利用圖形來解決數的問題，讓學生以圖來建構數學知識。

如蘇教版數學五年級下冊“解決問題的策略——轉化”的教學，教師就是結合圖形，把復雜的數學變得簡單化，讓學生在解決問題的過程中，體驗轉化的數學方法，在應用轉化中感受轉化的思想方法，積累數學活動的基本經驗，發展學生數學思維的靈活性和敏捷性。

教師先引導學生觀察算式中分數的特點，結合特點，思考：如何求出這4個分數的和？

學生交流：可以把4個異分母分數運用通分的方法轉化成同分母的分數計算出得數。

在此基礎上，教師引導學生結合分數的意義，用圖來表示4個加數。

師：把正方形看作單位“1”，怎樣涂色表示二分之一，四分之一，八分之一，十六分之一這4個加數？

引導學生思考：要求這4個分數相加的和，是求正方形中什么部分的面積？

學生交流1：要求這4個分數相加的和，就是求正方形中涂色面積的大小是多少。

學生交流2：涂色面積的大小，也可以用整個正方形的面積減掉空白部分的面積。

在這里，教師依據加數的特點和規律，引導學生通過畫圖表示，發現算式的結果。除了通過求和表示，也可以通過用單位1來減去空白部分的面積。利用圖形與數的結合，把動態的求和過程轉化為簡單的以圖求解的過程，把枯燥的數學知識的理解，通過具體的幾何圖形，變成易于學生學習的生長點與延伸點，注重了知識的結構與體系，使學生感受了知識之間的聯系，由抽象到直觀，讓學生感受了轉化的策略，積累了數學活動的基本經驗，使學生依據問題的特點，及時把數轉化成圖形來解決問題。數學學習變得生動的同時，又不失數學的內涵，讓學生觸摸到了數學學科的本質。

三、以圖推數，依圖明理

史寧中教授曾說過：“數學的核心素養不能是終極目標，數學教育的終極目標是會用數學的眼光觀察現實世界；會用數學的思維思考現實世界；會用數學的語言表達現實世界。”

數學抽象是數學的本質特征之一，是數學學習中基本的數學思想方法。它是對客觀世界中的空間形式和感性表象進行加工、提煉，找出知識的本質屬性，形成易于學生理解的數學結論的過程。在這個過程中，學生能夠體會知識的形成過程，抽象思維的能力得以進一步發展。因此，在數學學習活動中，教師要引領學生參與知識學習的全過程，讓學生經歷數學抽象的過程，通過數學化的方式，及時培養學生的數學抽象概括能力。

如蘇教版數學六年級下冊“圓錐的體積計算”的教學，教師結合圖形，在圓柱和等底等高的圓錐體積關系的基礎上，引導學生進行推理，進一步探究數學的規律，提升學生的數學認知。

出示：一個圓柱和一個圓錐等底等高，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。

思考： 一個圓柱和一個圓錐底面積相等體積也相等，圓錐的高與圓柱高的關系？

通過引導學生進行數學推理，變封閉、被動的學習為開放、主動、動態的探究，不斷引領學生進行自覺的數學思維，使學生掌握數學學習的方法，提升學生的數學素養。

四、從思及用，用圖解題

學生學習數學的過程，是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。在數學活動中，教師應從學生已有的認知基礎和經驗出發，不斷地引導學生從抽象的數學語言開始，結合具體的數學圖形，培養學生不斷分析問題的能力，巧妙地催化解決問題的能力，啟發學生的數學思維，推動學生的數學核心素養的發展。

如蘇教版數學四年級下冊“解決問題的策略”的教學，教師就是充分利用線段圖，數形結合，從不同角度展開問題思考的。

教師出示：“小寧和小春一共有72枚郵票，小春比小寧多12枚，兩人各有多少枚？”引導學生畫出線段圖，思考并求出兩人各有多少枚？結合原有的解決問題的經驗，把條件中兩個不相等的數量轉化成相等的數量即可。學生自己解答，集體交流。

生1：把總數看成兩個小寧的郵票數，總數就需要去掉12枚是60枚，小寧是60除以2等于30枚，小春就是30枚加12枚等于42枚。

生2：把總數看成兩個小春的郵票數，總數就需要加上12枚是84枚，小春是84除以2等于42枚，小寧就是42枚減12枚等于30枚。

生3：把72枚總數平均分成兩份，小寧和小春各取一份是36枚，再把小春比小寧多的12枚平均分成兩份，每份是6枚，小寧的36枚去掉6枚等于30枚，小春的36枚加6枚等于42枚。

這個教學環節中，教師引導學生從不同的角度獨立思考，確定解題思路，數形結合，不斷生成不同的解決問題的策略，形成靈活而靈動的思維品質。

總之，在數學課堂教學中，教師應從學生的已有知識經驗水平出發，直面學生的學習現實，基于數形結合，引導學生參與認知的全過程，在自主建構中不斷發展學生的數學思考，提升學生的學習品質。

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.