巧借等差數列凸顯妙解之美

趙小青

【內容摘要】如今，在新課改下，對高中生創新思維以及創新能力加以培養屬于數學教學期間的重要環節。數學課上，除了要讓高中生對一些常規性的解題方法加以掌握之外，同時好虛站在不同角度對數學問題加以思考，進而實現一題多解。而本文重要借助例題對巧妙構建等差數列進行解題的方法加以說明，并且在教學中進行應用，進而對高中生創新思維以及創新能力加以提升。

【關鍵詞】等差數列?創新是為?高中數學

新課改下，高中階段的數學教學十分重視培養學生的思維能力，并且強調要對學生的創新思維加以訓練。而數學乃是培養學生思維的重要學科，教師如果可以對數學問題加以巧妙安排，并且對問題加以巧妙引導，給學生營造良好思維環境，這對訓練學生思維十分有利。在高中時期，函數思想始終貫穿其中，而等差數列屬于特殊函數，其是高考重點考查的對象。因此，數學課上，教師若能讓學生借助等差數列站在不同角度對問題加以思考，對問題加以巧妙解決，便可提升解題的靈活性，進而對高中生創新思維加以良好培養。

一、在函數當中顯現妙解之美

例如，如果x+y=4，求z=х2+у2的最小值。

分析：一般解答上題可進行代入消元，將其轉化為二次函數再進行解答。假設站在等差數列這一角度進行思考，從x+y=4可得到，x，2，y構成了一個等差數列，假設公差是d，那么x=2-d，y=2+d，將其帶入到z=х2+у2之中便能得到變量d有關的函數，進而使得運算得以簡化，對等差數列加以巧妙構建，并且對構造之美加以突顯。

解：設x=2-d，y=2+d，那么z=х2+у2=（2-d）2+（2+d）2≥8，

當d=0之時，可取“=”，即x=y=2之時，原式可取最小值8.

再如，如果3sina+cosa=0，那么1sin2a+cos2a的值是???.

A.103?B.53?C.23?D.-2

分析：平時在對此題加以解答之時，基本上都是把三角函數有關公式進行變形，而如果站在等差數列這一角度加以思考，從3sina+cosa=0能夠看到3sina，0，cosa可構成一個等差數列。

解：從3sina+cosa=0能夠看到3sina，0，cosa可構成一個等差數列。

現設3sina=0-d，cosa=0+d，因為sin2a+cos2a=1，就能得到d29+d2=1，因此d2=109

Sin2a+cos2a=sin2a+1-2sin2a=1-sin2a=cos2a=d2，

即1sin2a+cos2a=109

此題通過對等差數列進行構造，把三角函數方面求值運算變成代數分式方面求值運算，解法既新穎，又簡捷，能夠對構造之美加以突顯。

二、在方程當中顯現妙解之美

例如，解方程x-1+9-x-4=0.

分析：該題能夠移一個根號到等號的右邊，之后讓兩邊平方，然而做起來較為麻煩。而站在等差數列這一角度進行思考，根據x-1+9-x=4來構造一個x-1，2，9-x的等差數列，假設d是公差，那么x-1=2-d，9-x=2+d，通過兩邊平方來消除x，把原問題變成d有關的二次方程，能夠凸顯出妙解之美。

解：設x-1=2-d，9-x=2+d（-2≤ d≤ 2）

那么x-1=（2-d）2，9-x=（2+d）2，

把兩式進行相加，能得到8=（2-d）2+（2+d）2，通過整理能夠得到d=0.

因此x-1=2，最終解得x=5.

通過對等差數列加以構造，能夠對學生思維加以拓展，并且使得計算得以簡化。

三、在不等式中顯現妙解之美

例如，現已知a+b+c=1，a2+b2+c2=1，求c具體取值范圍。

分析：看起來此題和數列無關，然而卻可對等差數列進行巧妙應用，進而讓問題得以簡化，從而得到解決。

解：可把a+b+c=1進行變形，得到a+b=1-c，進而得到a，1-c2，b構成了一個等差數列，假設d是公差，那么則有a=1-c2-d，b=1-c2+d，

1=a2+b2+c2=（1-c2-d）2+（1-c2+d）2+c2，通過整理能夠得到：

4d2=-3c2+2c+1≥0，即3c2-2c-1≤0，解得-3≤c≤1.

此題是直接求解c的范圍，這樣就顯得十分麻煩。然而通過對等差數列加以構造，可以實現消元目的，將其轉化為不等式，這樣就可對計算加以簡化，并且對學生思維加以鍛煉，突顯出構造之美。

四、在幾何當中顯現妙解之美

例如，F1，F2分別為橢圓x2a2+y2b2=1，（a>b>0）的左焦點與右焦點，假設橢圓之上總有一個點P可以滿足PF2⊥PF1，求該橢圓離心率具體范圍。

分析：此題擁有不少解答方法，根據條件可知，滿足PF2+PF1=2a。站在等差數列這一角度進行思考，PF1，a，PF2可以構成一個等差數列，這樣問題便可被順利解決。

解：由于PF2+PF1=2a，同時PF1，a，PF2可以構成一個等差數列，因此可以設PF1=a-d，PF2=a+d，又因PF2+PF1=2a，那么PF12+PF22=F1F22，因此，a2+d2=2c2≥a2，所以e2≥12，也就是說22≤e≤1.

解答此題的常用解法就是借助橢圓定義以及性質，但計算起來稍顯麻煩[1-2]。假設可以站在等差數列這一角度進行思考，便能對計算加以簡化，這樣還能顯得解法十分特別，進而突顯出解法的巧妙。

結論

綜上可知，新時期，教學具有的根本任務就是讓所有學生都得到發展。而一堂質量高的數學課，需要教師對課堂良好氛圍加以創設，并且設置與內容相符的課堂情境，促使學生主動投入到知識體驗之中。所以，數學課上，教師需注重引導學生站在不同角度借助新思路對數學問題加以解決，并且對高中生自我潛能進行充分發揮，進而對其創新思維加以培養。

【參考文獻】

[1]杜文靜.芻議高中數學教學中如何培養學生的創新意識[J].中國校外教育，2017（35）：48-49.

[2]陳晨.如何在高中數學教學中培養學生解題能力[J].文化創新比較研究，2017，1（19）：72-73.

（作者單位：江西省贛州市南康區第四中學）