溝通數學表征和本質聯系，促進數學核心素養發展

李輝

摘 要 雞兔同籠的教學設計普遍存在以下問題：沒有實現表征的貫通；沒有凸顯插值法的數學本質。為了解決以上問題，筆者提出了以下解決方案，即理解假設法這一模式，而不在練習，核心思想的就是建立直觀表征和算式表征的貫通，培養學生數學建模意識，更好理解數學本質。

關鍵詞 雞兔同籠 表征貫通 數學本質

1問題提出

《義務教育數學課程標準（2011 版）》第一次獨立、明確地提出了“數學基本活動經驗”，“雞兔同籠”就是流傳至今的數學名題，就具有這樣典型的特點：綜合性、實踐性和趣味性。

人教版把這一教學內容安排在小學數學四年級的“數學廣角”中，此時學生還沒有接觸過方程，所以只能用四則運算的方法來解決， 這種計算簡單的方法往往需要付出邏輯思維的代價。“雞兔同籠”問題解決的過程， 教材呈現了三個層次“ 猜測—列表枚舉—列式解答”。 教學中，也是讓學生經歷這三個層次的過程：（1）大膽猜測，小心求證；（2）化繁為簡，建立模型；（3）拓展應用，鞏固模型。但在列表法和假設法的學生自主討時，無論學生的總結還是教師的引導，學生難以從根本上溝通兩者的聯系，除了做題，我們還有什么收獲？教師一下子把算式給了出來，學生還討論什么呢？這樣的課堂，學生又能夠感悟出什么數學思想呢？

2常規教學存在的問題

案例1：雞兔放在同一個籠子里，數頭 8 個，數腿 26 條。有幾只雞？幾只兔？

生1：我先畫8個頭，然后每個頭添上兩只腳代表是8只雞，然后多余的腳每個兩只加上去，發現只有16條腿，還差了10條腿。

師：為什么每個圖上加兩只？

生：因為兔子有四只腳，而雞只有兩只腳，所以每個要給它加上兩只。就知道是5只兔子，3只雞。如下圖：

師：你們聽明白了嗎？

生：聽明白了。

畫圖的實質是假設，只是比直接假設列式增加了比較直觀的示意圖。往往教師在學生畫圖嘗試之后，就把列表的方法舉例了，錯失了畫圖和假設法的第一次橫向溝通，學生也少了對假設這種方法的感悟。

在列表法中，基本都是常規的的逐一列舉，好處是有利于學生的理解，對于“雞增加一只，兔減少一只，腿減少兩條”，或者“兔增加一只，雞減少一只，腿增加兩條”有規律上的發現，能夠進行簡單推理，培養了學生用列表法解決問題的策略。缺點是一一列舉真的有必要嗎？特別是找到符合條件的一組數之后的列舉。

當過渡到列算式環節，學生沒有很好溝通這三種方法之間的聯系時，要么列不出算式，要么列出而不知道如何理解假設法的生成過程。

案例2：學生接著進行嘗試探究，呈現出如下結果，師生進行討論、交流。

師：表格你們能看懂嗎？下面我請這位同學來解釋一下

生：我是先有8只雞，腳有16只，然后是有7只雞1只兔子，有18只腳；有兩只兔子6只雞，有20只腳：有5只雞，3只兔子，那時一共有22只腳；找到了雞3只兔5只的時候，它們倆有26只腳

師：符合題目的條件，所以你確定雞3只，兔5只，對嗎？

生：對。

師：有沒有理解？同學們來看這張表格，從中我們能看出怎樣的規律？

生：減少一只雞，增加一只兔，增加兩只腳，

師：是的，減少一只雞，增加一只兔，增加兩只腳，那剛才我們使用列表的方法來解決這個問題。

通過表格的呈現，老師會讓學生來講評這種方法，學生通過表格得到了直觀結果，在討論的同時，發現雞和兔的腿數變化規律，進而為下一步畫圖法的理解做好鋪墊。

3教學建議

3.1列表法進行教學再優化

“雞兔同籠”這個題材，不是為了解決雞兔同籠問題的本身，而是要借助雞兔同籠這個載體，讓學生經歷列表、嘗試和不斷調整的過程，從中體會出解決問題的一般策略——列表。

對列表法進行優化，更好的為后面的假設法服務，就要從源頭探究，列表法的列舉過程，實際就是假設的過程，在這一過程中，數據的呈現是否要一一列舉出來呢？答案是否定的。

3.2凸顯假設法的作用

《雞兔同籠》的教學中，需要學生達到的目標是什么？這個授課老師必須要清楚，第一節課關鍵是理解雞和兔的腳數變換的這個道理，理解假設法的模式，理解方法是重點，而不在練習。

實踐表明，由畫圖導出推算，同時借助直觀說明推算過程中每一步的意思，不同層次的學生都能理解，是講解推算過程的一條捷徑。“假設——修正假設——得到正確結論”的探究思路，深入淺出，能夠真正溝通了畫圖、推算和列表的內在聯系，學生能理解，能應用，效果明顯。

參考文獻

[1] 李小麗.《雞兔同籠》教學設計[J].小學教學設計（數學），2015（02）.

[2] 熊斌.從“雞兔同籠”的教學設計談數學思想的滲透[J].教育科學，2016（07）.

[3] 張莉，羅燕，李昌勇.“雞兔同籠”問題的研究綜述[J].中國校外教育：下旬，2017（03）：53-54.