關(guān)于高中數(shù)學(xué)離心率題型解法的有效解決技巧

劉子泉

【摘 要】在高中數(shù)學(xué)中，離心率是描述圓錐曲線性質(zhì)的一個重要概念，是圓錐曲線的一個重要屬性。其定義是：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比是常數(shù)（記作e）的點(diǎn)的軌跡叫做圓錐曲線.其中常數(shù)e就是圓錐曲線的離心率，當(dāng)01時為雙曲線離心率;當(dāng)e=1時為拋物線離心率.它可描述橢圓的扁圓程度、雙曲線的開口大小，所以這類知識相關(guān)的題型考查的重點(diǎn)是圓錐曲線離心率的求值。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);離心率;題型;解決技巧

【中圖分類號】G633.6 ??????【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）09-0280-01

數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟能使所學(xué)的知識不再是零散的知識點(diǎn)，它能幫助形成有序的知識鏈，建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu);它是銘記在人們頭腦中起永恒作 用的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)和文化，是使提高數(shù)學(xué)思維水平，建立科學(xué)的數(shù)學(xué)觀念，從而發(fā)展 數(shù)學(xué)、運(yùn)用數(shù)學(xué)的保證，因此必須重視數(shù)學(xué)問題中蘊(yùn)含的思想方法。

一、數(shù)學(xué)離心率題型的概念

離心率是一個重要的幾何性質(zhì)，所以會與幾何圖形性質(zhì)有著千絲萬縷的聯(lián)系，圓錐曲線的離心率是高考中常考的一個知識點(diǎn)，年年高考年年有，變幻無窮新視角，隨著新高考試題將平面解析幾何的基礎(chǔ)問題——斜率、平行、離心率與向量有機(jī)結(jié)合，并與物理的光學(xué)知識結(jié)合，形成一個體現(xiàn)綜合能力的基礎(chǔ)題，教師更要挖掘平行條件、反射條件以及準(zhǔn)線知識才能確定離心率的大小，其中平面向量充當(dāng)一個“舞手”將圓錐曲線描繪的五彩繽紛.在平面解析幾何中，涉及線段長度，線與線的夾角，以及線與線的位置關(guān)系，而這些關(guān)系都可以用向量加以描述，因此向量與解析幾何的融合呈現(xiàn)出一個命題特點(diǎn)。

二、數(shù)學(xué)離心率題型解法的技巧

1.利用判別式得出不等式，求離心率的取值范圍。

【例1】已知P是F1、F2為焦點(diǎn)的橢圓+=1（a>b>0）上一點(diǎn)，若PF1⊥PF2，tanb>0）的兩個焦點(diǎn)為F1、F2，長軸兩端點(diǎn)為A1、A2，

（1）若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠F1QF2=120°，求橢圓的離心率的取值范圍。

（2）若橢圓上存在一點(diǎn)Q，使∠A1QA2=120°，求橢圓的離心率的取值范圍。

解：（1）設(shè)Q（x，y），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），│QF1│=a+ex，│QF2│=a-ex，在△F1QF2中，│F1F2│2=│QF1│2+│QF2│2-2│QF1││QF2│cos∠F1QF2，即4c2=（a+ex）2+（a-ex）2-2（a-ex）（a+ex）cos120°，化簡得x2=，又∵0≤│x│≤a2，0≤││≤a2，∴≤e≤1，又00），與直線l：x+y=1相交于兩個不同的點(diǎn)A、B，求雙曲線的離心率的取值范圍。

2.利用變量之間的關(guān)系構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式求離心率的取值范圍。

【例2】B（-c，0），（c，0），AH⊥BC垂足為H，且=3，D分有向線段的比為λ，A、D同在以B、C為焦點(diǎn)的橢圓上，當(dāng)-5≤λ≤-時，求橢圓的離心率的取值范圍。

解：設(shè)H的坐標(biāo)為（x0，0）有=3得x0=，∴H的坐標(biāo)為（，0），又AH⊥BC，可設(shè)A的坐標(biāo)為（，y0）。

設(shè)D（x1y1），有D分有向線段的比為λ得x1=，y1=，設(shè)橢圓的方程為+=1（a>b>0），把A、D的坐標(biāo)代入橢圓的方程得+=1……（1）+=1……（2），由（1）得=1-，代入（2）得e2=+1，∵-5≤λ≤-，∴≤e2≤ ∴≤e≤。

3.利用離心率求參數(shù)的取值范圍。

【例3】已知橢圓C的方程為+=1（a>b>0），雙曲線方程為-=1（a>0，b>0）的兩條漸進(jìn)線為l1與l2，其中l(wèi)2的斜率為正值，過橢圓C的右焦點(diǎn)F作直線l，使l⊥l1，又與l2交于P點(diǎn)，設(shè)l與橢圓C的兩個交點(diǎn)由上而下依次為A、B。當(dāng)FA=λAP時，求λ的取值范圍。

解：由題意可得，l2的直線方程為y=x，∵l⊥l1，可設(shè)l的方程為y=（x-c），求交點(diǎn)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），由FA=λAP得A。又∵A在橢圓上，把A的坐標(biāo)代入+=1，得+=1，即（c2+λa2）2+λa4=（1+λ）2a2c2，等式兩邊同除以a4得（e2+λ）2+λ2=（1+λ）2e2，整理得λ2==（2-e2+）+3，∵00），則B（2x，2y），根據(jù)橢圓的性質(zhì)有c=2x，a=，所以橢圓的離心率為e==，根據(jù)橢圓的第二定義知，點(diǎn)B左焦點(diǎn)與到準(zhǔn)線的距離為比等于離心率e，即=e=，化簡得y2=4x，所以點(diǎn)M的軌跡方程為y2=4x（x>0）。

三、數(shù)學(xué)離心率題型解法的變式

【變式一】已知雙曲線同類變式1：x 2 y2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在雙曲線的a 2 b2右支上，若此雙曲線的離心率為e，且PF1=e ，則e的最大值為多少。

由題意及橢圓第二定義可知PF1=me∴PF1+PF2=m（e+1）=2a m=2a，可知∵PF2 PF1≤F1 F2（當(dāng)且僅e+1）2a代入化簡可得e+1

當(dāng)P，F(xiàn)1，F(xiàn)2三點(diǎn)共線等號成立）∴m me≤2c，把m=2a（1 e）≤2c e2+2e 1≥0 e≥2 1又e<1∴e∈2 ，∴答案為e+1

【反思】求解圓錐曲線離心率的取值范圍，是復(fù)習(xí)解析幾何的主要題形，也是高考常考的內(nèi)容之一，線離心率的取值范圍，是復(fù)習(xí)解析幾何的主要題形，也是高考常考的內(nèi)容之一，解決此類問題關(guān)鍵是掌握其曲線本質(zhì)，則就變得容易了。

總之，圓錐曲線離心率相關(guān)的知識是高考的常考題型，教師在圍繞圓錐曲線可以從多個角度多個層面來考查學(xué)生綜合運(yùn)用圓錐曲線知識和分析問題解決問題的能力。因?yàn)殡x心率是圓錐曲線中的一個重要元素，它的變化會直接導(dǎo)致圓錐曲線的形狀和類型，同時它也是圓錐曲線統(tǒng)一定義中的三要素之一，所以與軌跡問題密切相關(guān);同時，因?yàn)椴煌膱A錐曲線的離心率有不同的范圍，因此可以求參數(shù)的取值范圍。

參考文獻(xiàn)

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