關注學生認知過程，促進數學概念建構

丁曉軍

[摘? 要] 數學概念的教學，需要以理論為指導，更需要重視學生的認知過程. APOS學習理論對于包括復數概念在內的多個概念的教學有指導意義，基于其四個階段設計概念教學，可以讓學生在一個合理的認知過程中，克服前概念的負遷移影響，有效地構建起數學概念. 同時在此過程中，還可以吻合數學學科核心素養的相關要素，從而實現核心素養的培育. 教師基于實踐，研習理論，對于提高概念教學的有效性，是非常必要的.

[關鍵詞] 高中數學;認知過程;概念建構;APOS學習理論

根據認知心理學的研究成果，人們一般認為學習過程是由認知支撐并促進認知發展的過程. 在高中數學教學中，概念教學是一個基礎，這個基礎體現在學生只有建立了對概念的真理解，才能在其基礎上繼續建構其他概念或規律，也才能實現數學問題的高效解決. 而在實際教學中，由于應試等原因，數學概念的教學往往被淡化，數學概念的教學逐步讓位于習題教學，這就是所謂“考點（概念）知識習題化”所導致的結果. 近年來，概念教學重新受到重視，但對于如何實現概念的高效教學，目前還處于經驗的重復運用與爭論當中，沒有形成真正的共識，實際上從認知發展的角度關心學生建構概念的過程，在數學概念的教學中真正尋找到一個堅實的理論基礎，是非常必要的. 筆者通過研究與梳理發現，APOS理論有著重要的作用.

APOS理論是美國著名數學教育家杜賓斯于20世紀80年代提出的關于數學概念學習的理論，是一種具有學科特色的建構主義學習理論，被譽為近年來數學教學領域最偉大的理論成果之一……APOS理論指出，在數學教學的過程中，學生經歷活動、過程、對象等階段，一般能在建構和反思的基礎之上，形成圖式，產生問題意識，并自主解決問題[1].

顯然，APOS理論不僅僅是面向概念的形成的，還是面向概念的理解與運用的，因而其能夠讓學生在一個系統的過程中完成概念建構，因而具有積極意義. 現以“復數”概念的教學，闡述筆者的簡單思考.

傳統復數概念教學的困境與APOS理論運用的可行性

經驗表明，復數對于學生來說是一個非常抽象的概念，尤其是對于一些學困生來說，復數根本難以容納到他們原有的認知體系當中去. 具體地講，有這樣幾個方面的干擾：

一是前概念的干擾. 在學生原有認知體系中，已經經歷過從自然數到整數，再到有理數，然后到實數等. 這個過程中，數的概念擴展了，數的運算規則也在增加，因此學生的認知系統也在被豐富. 如果梳理這一過程，可以發現每一次數的概念的擴展，都是相對比較自然的，學生是容易接受的. 而也正是因為這種自然與容易接受，使得學生內心對數的認識變得比較模式化，因而在復數概念（包括復數的運算法則）構建面前就只能具有低水平的思維定式. 顯然，這對復數概念的學習是有負遷移的.

二是復數的表達形式的干擾. 某種程度上講，形式的干擾實際上也是前概念的干擾，但筆者感覺還是有必要將其獨立表達出來，這是因為復數的表達形式與傳統的數是不一樣的，如果說傳統的數就是由阿拉伯數字表示的話，那復數的表達形式就是非常復雜的，比如說其有代數式a+bi（a，b都是實數），其有三角形式r（cosθ+sinθ），其還有點的形式（a，b）等，甚至還有向量形式與指數形式等. 在數學概念教學中，我們往往是忽視數學概念的表現形式的，往往都是認為用某個形式表示某個數學概念是天經地義的. 但對學生而言卻不是如此，數學概念的表現形式對學生理解數學概念實際上有很大的影響. 比如學生大腦中以數字為代表的數，忽然變成了以多種形式為表現的數，這是“難以接受的”，是“想不通的”（均是學生的原話），這種難以接受與想不通，對學生接納復數概念有著不可忽視的負面影響.

所有這些，都從實踐角度說明了關注學生的認知過程對于數學概念學習而言確實非常重要. 同時，這樣的事實與APOS理論相當一致. 該理論認為，一個人（學生）是不可能直接學到數學概念的，人總是通過自己的心智結構使數學概念產生意義的. 換句話說，只有學生擁有了恰當的心智結構，才能讓他們順利地構建起數學概念. 那么在APOS理論中，復數概念又應當如何構建呢？筆者結合APOS理論模型中的“四階段模型”，形成的初步思考是：在操作（action）階段，幫學生建立一個能夠便于學生加工的數學對象;在過程（process）階段，讓學生經歷一個不需要外部刺激而進行具體思維活動的構建復數概念的活動;在對象（object）階段，讓學生帶著復數概念去操作相關的數學運算;在圖式（scheme）階段，讓學生基于前面的理解產生一個相對穩定的關于復數的圖式.

這樣的分析至少從理論上證明了在APOS理論下實現復數概念的有效構建是可行的. 當然，是否真正可行，還需要在實踐中加以驗證.

在對學生認知過程高度關注過程中有效建構數學概念

APOS理論指導下的高中數學概念教學強調學習過程中數學活動的重要性，倡導教師構建直觀的概念學習背景，引導學生在實踐、思維運算和反思抽象等一系列數學學習活動中實現數學概念形式定義和本質理解的統一，豐富學生構建概念的過程，提升內化知識的效率[2]. 基于這樣的判斷，在復數概念的教學中，筆者基于學生的認知發展，進行了這樣的設計與教學.

首先，創設一個“數不夠用”的情境，如對負數開平方，將學生大腦中原有的“無意義”的認識，拓寬為尋找可能性的認識. 例如，■的結果是什么？這樣，學生的思維就有了一個明確的對象，通過這樣的操作（action）階段，學生的數學思維加工的對象就明確了. 為了幫學生明確這個研究是具有意義的，教師可以借助于數學發展史來創設更為形象的情境. 例如，介紹在18世紀，數學家在研究類似于x2=-1的問題的時候，他們決定通過拓展數的范圍，即通過創設新的數來化解這個難題，而且跟學生明確復數（這個概念先不要提出）中所用的i原本就是“虛構”的意思.

其后，在過程（process）階段，就需要幫學生建立一個能夠支撐復數學習的關鍵，即i2=-1. 實踐表明，這個認識一旦明確，那學生在理解復數概念的外延的時候，就容易得多了. 而這也表明這一步的關鍵，就是幫學生鞏固認識，確保沒有外界的刺激，學生也能迅速地運用i2=-1對復數概念進行理解與判斷. 此過程中，可以利用集合概念來幫學生建立理解，因為集合是學生熟悉的，而且復數中的i與實數一樣是可以運算的，且運算律是一樣的，這樣集合就起到了幫學生鞏固對i的認識的作用.

在對象（object）階段，學生利用建立起來的復數概念進行運算. 相對于前一步驟而言，這里實際上存在一些跨越，但根據APOS理論，數學運用原本就是非常重要的，在運用中可以鞏固學生對概念的認識. 在復數概念學習階段，數學運用可以結合概念本身進行，如給學生一個類似于“在復數z=m+1+（m-1）i中，當m為何值時，該復數就是實數？就是虛數？就是純虛數？”的問題，這樣的問題通過對m值的判斷，同時讓學生基于對實數、虛數、復數的理解，從而可以起到互相促進理解的作用，這對于建構復數概念是很有好處的.

在圖式（scheme）階段，就到了鞏固所形成的復數圖式的階段，筆者的觀點是要對前面的學習過程進行一個概括，讓學生從數系擴展的角度，認識到是基于新的問題的解決而引入了復數概念，這樣的鋪墊可以讓學生對復數的意義比較清晰，這容易促進學生尤其是高中學生學習數學概念，因為追求事物的邏輯性，是學生數學學習背后的重要心理.

事實證明，以上的步驟，確實可以讓學生比較順利地接受、理解、運用復數概念，而這個理想狀態，實際上就是重視學生認知過程的結果.

數學概念建構過程中蘊含數學學科核心素養培養要點

從核心素養培育的角度來看，數學概念建構的過程，就是一個核心素養要素蘊含其中且可以得到培育的過程. 眾所周知，高中數學學科核心素養有六個要素，而數學概念的構建與這六個要素密切相關. 復數概念的建立，雖然沒有一個明顯的從實際生活抽象出研究對象的過程，但其中的邏輯推理卻非常充分，基于一個出乎學生意料之外的問題，尋找一個用來表示負數平方根的符號，這需要高強度的推理，從而也就培養了學生的邏輯推理能力，其中也有一些直覺思維的參與，而這又恰好吻合著數學學科核心素養中的直觀想象;而最后形成的復數概念，實際上已經成為解決相關問題的一個基本模型，因此包括復數概念在內的數學概念的構建過程，是可以理解為一個數學模型被建立的過程的.

而在APOS教學理論中，我們看到的四個階段，其實也是與核心素養密切相關的，這四個階段立足于學生的科學認知規律，通過系列操作使學生完成概念構建，可以有效培養學生的能力，這些能力還能夠有效遷移到其他情境當中，因而可以被認為是關鍵能力，而這恰恰是宏觀視角下的核心素養的基本要義.

總之，高中數學概念教學中，重視學生的認知規律，借助于相關的理論作為基礎并積極實踐，是可以提升教學的有效性的.

參考文獻：

[1]? 于霞. APOS理論在高中數學概念教學中的應用[J]. 數學之友，2013（2）：25-25.

[2]? 沈敏鑒. APOS理論指導下的高中數學概念教學實踐研究[J]. 數學教學通訊，2016（9）：21-22.