數(shù)形結(jié)合法探究初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

歐陽(yáng)巧巧

【摘要】縱觀近年全國(guó)卷試題，考查函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的題頻繁出現(xiàn)在選擇填空題靠后的位置，難度比較大。函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性包括函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性和中心對(duì)稱(chēng)性，它們分別是偶函數(shù)和奇函數(shù)的延伸與拓展。本文系統(tǒng)地利用數(shù)形結(jié)合法闡述了一些初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，其直觀性和系統(tǒng)性有利于學(xué)生的學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】初等函數(shù);對(duì)稱(chēng)性;數(shù)形結(jié)合法

在全國(guó)卷和地方模擬卷中，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性這類(lèi)題難度比較大，但是如果把偶函數(shù)和奇函數(shù)順勢(shì)遷移到函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性和中心對(duì)稱(chēng)性，問(wèn)題就能迎刃而解。本文從以下兩個(gè)方面闡述初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性。一是從理論方面全面系統(tǒng)地論述常見(jiàn)初等函數(shù)和抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性;二是結(jié)合實(shí)際的題目用數(shù)形結(jié)合法解決問(wèn)題。

基本初等函數(shù)中指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)本身既無(wú)中心對(duì)稱(chēng)性又無(wú)軸對(duì)稱(chēng)性，但它們通過(guò)運(yùn)算和復(fù)合后的初等函數(shù)可能具有對(duì)稱(chēng)性的。部分冪函數(shù)本身具有軸對(duì)稱(chēng)性或者中心對(duì)稱(chēng)性，冪函數(shù)通過(guò)加減乘除運(yùn)算后的一元高次函數(shù)等初等函數(shù)也有軸對(duì)稱(chēng)性或者中心對(duì)稱(chēng)性、三角函數(shù)中的正弦型和余弦型函數(shù)、抽象函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性分別如表一、二、三。

全國(guó)卷中出現(xiàn)過(guò)的關(guān)于函數(shù)對(duì)稱(chēng)性的選擇題難度都比較大，這類(lèi)有難度的題在地方模擬卷中也屢見(jiàn)不鮮。下面我們挑選部分題目，結(jié)合函數(shù)的圖像進(jìn)行解析。

一、冪函數(shù)運(yùn)算復(fù)合后的初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性

1.冪函數(shù)運(yùn)算復(fù)合后的初等函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性

學(xué)生對(duì)一元二次函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性相關(guān)知識(shí)可以說(shuō)非常熟悉了，但是對(duì)于一元四次函數(shù)的軸對(duì)稱(chēng)性并不熟悉。但是只要對(duì)軸對(duì)稱(chēng)性的本質(zhì)能理解到位，做起題目來(lái)便得心應(yīng)手。

例1.1（2013年1卷16）若函數(shù)f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于直線x=-2對(duì)稱(chēng)，則f（x）的最大值是______.

解析：此題答案為16。我們?nèi)菀卓吹胶瘮?shù)f（x）的兩個(gè)零點(diǎn)1和-1，且函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故f（x）還有另外兩個(gè)零點(diǎn)-3和-5，可以知道函數(shù)中f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的參數(shù)a=8，b=15，由函數(shù)四個(gè)零點(diǎn)和最高次的系數(shù)為負(fù)數(shù)，可以結(jié)合函數(shù)圖形知道在（-5，-3）和（-1，1）之間取得最大值。然后通過(guò)求導(dǎo)的方法求出極大值點(diǎn)為-2±，進(jìn)而求出極大值，即為最大值f（-2±）=16。

2.冪函數(shù)運(yùn)算復(fù)合后的初等函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性

首先來(lái)看簡(jiǎn)單的f（x）=x3+ax2+bx+c形式的一元三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，在2013年的全國(guó)卷2中以選擇題的形式考查函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的性質(zhì)，其中有涉及到中心對(duì)稱(chēng)性。在地方卷中我們可以看到對(duì)于此類(lèi)函數(shù)的中心對(duì)稱(chēng)性的考查，例1.2.2就是例1.2.1的延伸。

例1.2.1（2013年全國(guó)2卷10）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）.

A.

B.函數(shù)y=f（x）的圖像是中心對(duì)稱(chēng)圖形

C.若x0是f（x）的極小值點(diǎn)，則f（x）在區(qū)間單調(diào)遞減

D.若x0是f（x）的極值點(diǎn)，則f '（x）=0

解析：此題答案選C。一元三次函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c的一階導(dǎo)函數(shù)f '（x）為一元二次函數(shù)，二階導(dǎo)函數(shù)f ''（x）為一元一次函數(shù)。結(jié)合三者的圖像可知，二階導(dǎo)函數(shù)f ''（x）的零點(diǎn)x0，即為一階導(dǎo)函數(shù)f '（x）的對(duì)稱(chēng)軸x=x0與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也即為原函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心（x0，f（x0））的橫坐標(biāo)。如下函數(shù)圖像可知A，B，C顯然成立。

例1.2.2（2018年廣州二模理數(shù)12）已知直線與曲線y=x3-x+1有三個(gè)不同交點(diǎn)a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3）且，則（xi+yi）=（ ）

A.0? ? ? ? ?B.1? ? ? ? ? C.2? ? ? ? ? ?D.3

解析：此題答案選D。由例1.2.1的結(jié)論可知點(diǎn)為該曲線的對(duì)稱(chēng)中心。令y''=6x=0得x=0代入y=x3-x+1得對(duì)稱(chēng)中心（0，1）。即B（0，1），A，C兩點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，xi=0，yi=3，則（xi+yi）=3。對(duì)一元三次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心熟悉以后，這類(lèi)題目便迎刃而解。

例1.2.3若函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）的圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱(chēng)，x1，x2分別是f（x）的極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)，則x1-x2=（? ? ）

A.? ?B.? ?C.? ? D.

解析：此題答案選B。此題可以參考例1.1.1的方法，我們?nèi)菀卓吹胶瘮?shù)f（x）的零點(diǎn)1，且函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對(duì)稱(chēng)，故（-2，0）在函數(shù)f（x）圖像上，此外f（x）還有另外一個(gè)零點(diǎn)-5，可以知道函數(shù)f（x）=（1-x）（x2+ax+b）中的參數(shù)a=7，b=10，得函數(shù)f（x）=-x3-6x2-3x+10，令f'（x）=-3x2-12x-3=0，解得x=-2±。結(jié)合圖像知

x1>x2，x1-x2=（-2+）-（-2-）=2。

此題還可以利用例1.2.1的結(jié)論，二階導(dǎo)函數(shù)f''（x）的零點(diǎn)x0，即為原函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)中心（x0，f（x0））的橫坐標(biāo)。因此，我們可得f''（-2）=14-2a=0，f（-2）=3（4-2a+b）=0，也可以求出a=7，b=10。后面的解法同上。

接下來(lái)看更復(fù)雜的冪函數(shù)運(yùn)算復(fù)合后的初等函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，對(duì)于不熟悉的函數(shù)我把它往熟悉的函數(shù)類(lèi)型化簡(jiǎn)，從而看出函數(shù)的的對(duì)稱(chēng)中心。

例1.2.4（2018年廈門(mén)質(zhì)檢第9題）函數(shù)y=（x+1）3+與y=-x+b的圖像的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為-2，則b=（? ? ）