基于素養涵育的函數與導數課程教學

王福忠 江嘉秋

摘 要：發展學生核心素養成為課程的主導價值觀，也成為貫穿整個課程的主線。在教學設計中，要從關注雙基轉向對四基、四能的全面關注，重視引導學生逐步形成學科一般觀念。教師要以問題情境為平臺，引導學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題。在經歷問題解決的過程中，讓學生體會數學抽象、數學推理、數學運算、直觀想象等方法，發展數學素養。

關鍵詞：核心素養;教學設計;思考

為了適應新時代要求，發展學生核心素養成為課程的主導價值觀，也成為貫穿整個課程的主線[1]。教師確立基于素養涵育的教學理念有助于學生全面認識數學價值，提高學習效率，促進學生可持續發展、全面發展。如何基于素養涵育的理念設計有益于學生素養培養的教學過程呢？本文以《函數的單調性與導數》的教學設計為例談幾點思考。

一、函數的單調性與導數教學設計

教材分析

本節的教學內容屬導數的應用，導數是研究函數性質的重要工具，是在學生學習了函數單調性定義、導數的概念、計算、幾何意義的基礎上學習的內容，學好它既可加深對導數的理解，又可為后面研究函數的極值和最值打好基礎。通過本節課的學習，要使學生理解函數單調性與導數的正負之間的關系，體驗導數解決問題的優越性。同時，要讓學生體會研究函數的一般思路，即函數到圖象到性質或函數到性質到圖象，認識導數工具提供了通過運算研究函數的方法。

教學目標

知識與技能

引導學生探究函數單調性與導數的正負關系，能應用函數單調性與導數的關系判斷函數的單調性。

過程與方法

通過函數單調性與導數關系探究，經歷數學抽象、邏輯推理的過程，學會數學抽象、邏輯推理的方法，培養數學抽象、邏輯推理素養。通過應用函數單調性與導數的關系判斷函數單調性，經歷數學建模、邏輯推理、數學運算的過程，領會數學建模、邏輯推理、數學運算方法，發展數學建模、邏輯推理、數學運算素養。

情感態度價值觀

通過建構函數單調性與導數的關系，讓學生自己發現問題，解決問題，經歷探究過程，形成從具體到抽象，由感性到理性的數學活動經驗，經歷解決問題的過程，體驗探究和發現的喜悅，培養獨立思考、合作交流的學習習慣，提高學習能力。培養數學地觀察、數學地思考、數學地表達能力。

教學重點、難點

重點：探究并應用函數單調性與導數的關系。

難點：發現函數單調性與導數的關系。

學情分析

學生已經學習了函數的單調性，會用圖象法、定義法判斷函數的單調性;學生已經具備研究函數的一定經驗，具備一定的抽象概括能力。學生已掌握了導數概念及幾何意義，會求簡單函數的導函數;學生好奇心強，探究導數與函數單調性關系對他們而言是一個挑戰，以探究的方式去發現性質能激發他們學習興趣。

學生獨立發現問題和解決問題能力欠缺，對于函數單調性與函數的導數關系探究，教師要注意創設問題情境，給學生適當的指引，從而讓學生自主發現規律，總結結論。

教學方法

本節課以“問題解決”貫穿始終，采用發現式、啟發式的教學策略。通過問題激發學生求知欲，使學生主動參與探究活動，在教師的指導下發現問題、提出問題、分析問題和解決問題，培養積極探索的科學精神.利用數學信息技術工具，通過數形結合，使抽象的知識直觀化，形象化，以促進學生的理解。

教學過程

【環節一】復習舊知，提出問題

問題1判斷函數y=x2的單調性，歸納判斷函數單調性有哪些方法？

問題2用以上方法判斷函數f（x）=ex-x+1，f（x）=sinx-x的單調性.

問題3函數的單調性和什么有關呢？

設計意圖：問題1讓學生回顧判斷函數單調性的兩種方法，問題2讓學生意識到用定義法、圖象法在處理一些單調性問題時難度之大，讓學生發現問題。在發現問題的基礎上引導學生提出問題，函數的單調性和什么有關，單調遞增過程中是否存在不變的規律呢？

【環節二】創設情境，啟發思考

情境1觀察函數y=x2，函數單調遞增過程中是否存在不變的規律呢？

情境2圖1.3-1（1）表示高臺跳水運動員的高度h隨時間t變化的函數h（t）=-4.9t2+6.5t+10的圖象，圖1.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數v（t）=-9.8t+6.5的圖象.

圖1.3-1（2）

問題4運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水離水面的高度隨時間變化的關系有否區別？有何區別？

問題5運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水，速度隨時間變化有否區別，有何區別？

問題6高度函數與速度函數有何關系？兩個函數變化有何關系？

問題7由高度函數與速度函數的關系你有何發現？跟情境1的發現一致嗎？

設計意圖：通過函數y=x2，利用GGB工具，探究函數單調性與切線斜率關系，初步感知函數單調性與導數關系;通過高臺跳水這一實際情境，引導學生發現高度函數與速度函數的關系，進一步驗證函數單調性與導數正負的關系，在對具體函數研究的基礎上推廣結論，猜想函數與導數的一般關系，關注數學抽象素養的培養。

【環節三】提出猜想，合作探究

問題8猜想是否具有一般性呢？

問題9你能得到單調性與其導數正負的關系嗎？

設計意圖：研究其他具體函數，經歷從具體到一般的抽象過程，體會數學抽象的方法，發展數學抽象素養。

【環節四】歸納結論，建構知識

問題10嘗試用數學語言表達函數與導數的關系

問題11如果在區間（a，b）上，那么函數在區間上單調遞增。如何直觀理解這句話？

問題12（1）聯系平均變化率的表達式，單調性定義可以如何表達？

2函數在某一點處導數大于0，那么能否知道在這點附近函數單調性？利用什么思想？

3在區間（a，b）內，每一個點處導數大于0，能否知道在這個區間內函數的單調性？

設計意圖：通過歸納函數與導數關系，培養學生數學表達能力;通過問題11和問題12，建構導數、平均變化率、函數單調性定義等知識間的聯系，發展學生邏輯推理素養。

【環節5】應用結論，鞏固知識

例1：已知函數y=f（x）具備下列信息：

①當1

②當x>4或x<1時，f'（x）>0;

③當x=1或x=4時，f'（x）=0，試畫出函數的大致圖象.

設計意圖：結合導數正負判斷原函數圖象，體會從性質得到函數圖象的方法;建構研究函數的一般套路：函數到性質到圖象，關注直觀想象素養的培養。

—á2.判斷函數的單調性并求其單調區間

（1）;

（2）;

（3）.

設計意圖：依據導數的正負與函數單調性的關系，本質上是通過構造導數函數這一模型研究函數，體現數學建模思想的應用，通過例2可培養學生數學建模的意識。

【環節6】歸納梳理，提升素養

問題13通過本節課的學習，你有什么收獲？

基礎知識與基本技能：函數單調性與導數關系，畫圖象，求函數的單調區間;

基本思想：數形結合思想、特殊到一般思想、數學建模思想;

基本活動經驗：利用從具體到一般發現結論的思路探究函數與導數的關系，利用從函數到性質到圖象的研究思路研究函數的單調性。

設計意圖：引導學生從基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗四個方面歸納一節課的收獲，引導學生從關注知識的獲得轉向既關注知識，又關注獲取知識的過程，從而轉變學習方式，在學習知識的過程中發展能力。

二、基于素養涵育的教學設計思考

數學核心素養是數學課程落實“立德樹人”這一教育根本任務的具體體現，是從發展性角度對數學課程的目標定位，為當前數學課堂教學的價值取向指明了方向。章建躍博士明確指出：“數學教育要著眼于學生的長遠利益，數學育人要發揮數學的內在力量，充分挖掘數學課程所蘊含的價值觀資源，圍繞學生數學學科核心素養的發展需要，以培育學生理性精神、提高學生的數學思維能力為核心，使學生掌握‘四基’、‘四能’，學會有邏輯地、創造性地思考，成為善于認識、解決問題的人才。”[2]在教學設計中，要從關注雙基轉向對四基、四能的全面關注，引導學生領悟學科一般觀念，學會數學地觀察，數學地思考，數學地表達，在解決問題過程中培養數學素養。

（一）以發展核心素養為導向，著眼四基的全面關注

在《函數的單調性與導數》教學設計中，筆者注重引導學生領會數學思想和方法，經歷探究過程，積累數學活動經驗。如在歸納結論建構知識環節：如果在區（a，b）上f'（x）>0那么函數在區間上單調遞增。如何直觀理解這句話？筆者沒有直接把結論給學生，而是基于對‘四基’的關注，設計了三個遞進的問題：（1）聯系平均變化率的表達式，單調性定義可以如何表達？（2）函數在某一點處導數大于0，那么能否知道在這點附近函數單調性？（3）在區（a，b）內，每一個點處導數大于0，能否知道在這個區間內函數的單調性？在小結環節，筆者設計了讓學生從四基角度總結一節課的收獲，引導學生不但關注獲得具體的知識和技能，而且關注獲取知識的過程，促進學生轉變獲取知識的方式。

（二）以發展核心素養為導向，著力四能的發展

以往強調老師怎么教，現在則要強調老師怎么引領學生自主探究學習[3]，以問題情境為平臺，引導學生發現問題，提出問題，分析問題，解決問題。在本節課的設計中，先讓學生判斷函y=x2的單調性，歸納判斷函數單調性有哪些方法？學生順利利用已有知識解決問題。然后給出函，學生發現已有知識不能解決問題.教師引導學生思考并提出問題，函數單調性和什么有關呢？在分析問題環節，引導學生從具體函數入手，首先觀察函y=x2的單調性與導數的關系，通過探究，得到初步認識。接下來引入生活情境中的問題，圖1.3-1（1）表示高臺跳水運動員的高h隨時t變化的函的圖象，圖1.3-1（2）表示高臺跳水運動員的速v隨時t變化的函的圖象.高度函數與速度函數有何關系？兩個函數變化有何關系？由高度函數與速度函數的關系你有何發現？通過生活情境中的問題，進一步驗證，形成判斷。在數學情境和生活情境的兩個函數研究基礎上，引導學生抽象出函數單調性與導數正負的關系，讓學生經歷抽象的過程，積累數學抽象過程的活動經驗，培養學生數學抽象的素養。

（三）以發展核心素養為導向，著意學科一般觀念滲透

學科一般觀念是解決本學科問題的金鑰匙。數學教學的根本任務是發展學生的思維能力，說到底就是要使學生在面對問題時總能想到辦法。注重一般觀念的思維引領作用，可以提高思維的系統性、結構性，有效克服‘做得到但想不到’的尷尬，使數學的發現更具‘必然’性。[4]以一般觀念為指導發現和提出問題，分析和解決問題的過程，在問題解決中不斷總結思維的方法和研究問題的一般思路，學生將在潛移默化中學會研究一個個數學問題的基本套路，提高分析問題的能力。從函數到性質到圖象再到性質是應用導數研究函數的一般思路，掌握研究函數的一般思路是解決函數問題，提高分析解決函數問題能力的關鍵。在應用結論鞏固知識環節，筆者通過例題1，引導學生理解從函數性質得到函數圖象的過程，并與高一時研究函數的從函數圖象到函數性質的一般思路進行比較，滲透了函數與導數研究問題的一般觀念。

數學教學應從關注雙基轉向對四基的全面關注，應基于學科知識發生、發展過程，著力于發展學生發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力;應注意從滲透進而逐漸明確解決問題的一般思路，幫助學生逐步形成學科一般觀念，把握方法本質，發展思維能力;通過發展學生能力提高學習成績，將提分和提升素養有機結合，著眼于學生可持續發展，為學生未來進一步學習數學、研究數學打下良好基礎。

參考文獻

[1]史寧中，王尚志.普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M].北京：高等教育出版社.

[2]章建躍.核心素養導向的課堂教育變革[R].上海市“雙明工程”攻關計劃數學基地活動，上海市建平中學，2019，3.

[3]徐解清.數學核心素養：從內隱走向外顯——《直線和平面平行的判定》的教學思考[J].數學通報，2017，（7）：24-27.

[4]章建躍.章建躍數學教育隨想錄[M].杭州：浙江教育出版社，2017.