談數形結合在高中數學中的應用技巧

尤曉綿

【摘要】步入高中，高一學生往往會有“措手不及”的感覺，如果老師不能夠及時調整學生的學習狀態，改變他們原有的數學學習方式，就很容易使學生難以理解相關知識點和題目的內在原理關系，今后的學習會更加吃力.而數形結合思想是高中數學中最為常用且實用的思維方法，它把代數與幾何問題相互柔和，相互貫通，對于一些抽象條件的理解分析有明顯幫助，同時能增強學生的學習自信心，激發他們的學習興趣，鞏固提升數學學習能力.

【關鍵詞】高中數學;數形結合法;運用分析

引?言

高中新的學習理念方法要求教師應以進一步培育和提升學生數學核心素養為目標，引導學生掌握一些關鍵的數學思維方法，將看似抽象且難以理解的數學問題形象化.在方法的講授和運用時，教師要注重學生個體情況的差異，結合題目實際給出多元解決方案，鍛煉學生的創新和發散思維，同時讓學生對于每個章節的知識重點有更加全面系統的認識.

一、高中數學教學中開展數形結合應用技巧的價值

進入高中階段數學學習后，知識內容更加呈現體系化、層次化和抽象化特征.高中數學知識更加抽象，很多公式定理都是由符號、字母或者其他形式做了代替，高度的凝練和簡潔，直觀性的內容少之又少，這就讓很多從初中剛剛進入高一的同學感到學習難度的上升.特別是一些在初中基礎較為薄弱的同學，突然接觸到理解層次要求較高的數學知識，心中難免會打退堂鼓;而對于前期基礎較為扎實，學習情況良好的學生，如果一時不能轉換思維，數學學習很可能中途受挫，影響其后續的積極性，學生的學習興趣就會大打折扣，很不利于在以后長期的學習中建立足夠的應對能力.在高一階段的數學教學中會涉及不等式的基礎知識，而不等式、曲線方程、二次函數等內容是高中數學課程中比較抽象、難度較大的知識點，單一的理論學習對于學生的邏輯、歸納、轉換能力要求都很高，老師這時就應當將數學核心素養中關鍵的數形結合思想應用到實際教學過程中，能夠把一些數字、字母等代號公式通過較為直觀的幾何圖形和函數圖像向同學們展示，讓他們更容易判斷出變量之間的關系，從而找到解題的突破口，降低了的題目的破解難度;而更重要的是為學生找到了一種可以應對當前學習困境的有效方法，極大地增強了其學習信心.在運用該方法的過程中，還有很多技巧，如果運用得當，能夠減少大量的運算，非常奇妙，這對于青春期的高中生來說，既迎合了他們的求知欲，也能提升他們的學習興趣.

在興趣提升方面，老師既要注重方法的講授，也要關注課堂氛圍的創建，通過較為活躍的課堂氛圍來吸引學生，把單一的“老師講課學生聽課”轉換為相互的交流與探討，以此增強學生的主動性，激發他們的學習動力.以高中一年級數學A冊中的二次函數內容為例，結合例題來看 ，設f（a）是一個二次函數，當a=2的時候，f（a）存在最小值.求a2系數對應的取值范圍[1].這道題可以運用二次函數的定理來解答，也可以結合圖形進行判斷.因為二次函數存在最小值，那么根據圖形的形狀，很容易確定其是開口向上的拋物線，那么其值的范圍就可以瞬間鎖定.可見，及時運用圖形與函數對應的方法，可以讓更加容易理解的圖形“說話”，對于一些需要大量計算而最后只需要做大概的定性判斷的問題，使用這種方法能夠簡化較多的計算過程，縮短運算時間，極大地提升解題的效率，更能夠培養學生善于創新和靈活處理問題的習慣，增強他們的破題和簡化運算能力.

二、數形結合方法的應用形式簡析

（一）根據數量條件創設圖形

這在很多不等式的計算中應用很大，把簡單的一元一次不等式用數軸來表示，同時反映了一個區間，又能和集合的知識聯系起來.一方面，教師運用圖形可以把題目的重點更加形象直觀地表達出來;另一方面，學生也可以更容易理解.比如，現在有兩個不等式，X+8>6和X-7<9，經驗豐富的人很容易得到取值范圍是-2

（二）結合圖形判斷數量關系

圖形的特點是易于觀察，較為形象，容易理解，不過在高中數學教材中，很多圖形是較為繁雜的，有些圖形還含有很多隱藏的信息，學生一時難以察覺.這時就要靈活使用數形結合的方法，讓圖形轉換為數字語言，把隱匿的關鍵信息顯示出來，讓學生可以準確地找到題目的切入點.我們仍以高一數學A冊的二次函數為例，假設有函數f（t）=t2-2at+2，當t的取值區間為 [-1，+∞]時，f（t）>a是永遠成立的，則要求出a的取值范圍.對于這類題目來說，圖形可以畫出，但是根據已知條件難以對圖形中的具體特征和數值進行歸類確認，但最后還是要歸位到傳統的數學計算當中.所以，我們就要根據圖形演示背后的數量關系，列出關系式，通過代數運算的相應法則進行運算，繼而求出答案.解答這類題目的關鍵在于未知數的代換和方程的消元與合并，因此教師要針對重點內容對學生進行詳細的講解.

（三）數形相互轉化結合應用

某些數學問題的計算環節較多，程序也相對復雜，單純依靠簡單的某種數形轉化方式是很難解決根源性問題的，這就需要對該方法進行一個綜合性的運用，讓數和形之間反復轉換，有機結合，達到綜合運用的目的.這種方法多在三角函數和復雜數軸問題上加以應用.結合具體題目來看，如高一數學中提到二次函數的知識時，有這樣一道題目：當曲線y2=1-x2，y>0，和y=k（x-2）+4交會于兩個點，這時問k的取值區間是多少.該題目就要綜合使用數形之間相互轉換的方法.具體的解題思維路徑如下，根據第一個曲線方程，我們容易知道它的函數圖形是一個半圓形，那么第二個函數是一個一次函數，它的截距不為零，肯定恒定經過一個點，讓x=0時，y=4，即坐標（2，4），這時就再根據函數的圖像判定取值區間，為

四、實際教學中數形結合法的技巧應用要點

（一）從學習觀念意識入手逐漸提高方法運用的敏感度

數形結合方法運用是核心數學素養中的必備能力，而素養培育的關鍵在于意識的培養.因此，教師在實際的教學中，要重點關注學生思維觀念的轉換和思路的啟發，只有學生主動思考，才能給后來的方法正確使用做好鋪墊.在課堂教學中，老師要首先制定好相應的教學計劃，把數形結合方法列為一項專題內容或者是與其他的知識點講解相互融合，同時設定相應的教學情境，激發學生的學習興趣.確定具體的教學環節普及相關的數形結合方法的思想和用法，可以通過一些典型問題入手，讓學生先行思考，組織學生集中討論，看是否可以找出更加有效簡便的方法，讓同學積極發言，老師做好總結點評，對于已經探索出數形結合方法的學生要積極鼓勵指導，完善其思路方法;對其他學生可以讓他們充分思考后給出提示，這樣學生就有恍然大悟的感覺，也能感受到數學學習的奇妙性所在，對于以后數形結合方法的學習興趣也會提升.

（二）緊扣教材核心，挖掘數形結合方法應用的亮點

在當前的教材體系中，人教版的高中數學教材在很多內容上都體現出了數形結合的思想.特別是在高一A冊的教材中，對于集合、不等式、一元二次函數、指數、冪函數、三角函數等均有所體現.因此，教師就要結合教材的知識點，深度挖掘其中的數形結合的方法內涵和亮點，讓該階段的學生能夠熟練地掌握這一種典型的數學解題思維，并且可以靈活運用.在教學過程中，老師也要避免另一極端，即學生把數形結合當成“萬能神藥”，把所有難以解答的題目都生搬硬套該方法，這樣容易造成邯鄲學步的尷尬局面.教師應讓同學們認識到除了數形結合方法外，假設法、賦值法、特殊值法、極限法等都是數學解題的好的思路和方法[3]，要根據題目的實際考查點進行合理選擇;同時要讓同學意識到數形結合的關鍵是背后的數學思維的塑造，而不是簡單把方法照搬照抄.在教材題目的歸類挖掘中，教師之間也要相互協作，利用教學研討會、公開課等方式加強交流.

（三）注重方法思維滲透，引導學生熟練運用

教師在講授時，應當重點突出數形結合方法的優勢和亮點，以及應用的先決條件.比如，題目已知的條件或者后續的問題十分抽象，難以通過相應的方法轉換成簡單易懂的數量關系，這時可以考慮使用該方法，讓其變得更為直觀，畫面感和代入感也更強.又如，在不等式問題的研究上，很多一元一次不等式都可以轉換為直角坐標系內的幾條直線的交點和內外部區域確定的問題，這樣就大大地簡化了關系式變形的步驟，更容易快速得出答案.以人教版教材數學為例，在不等式內容中有如下例題：設有向線段AB的起點A和終點Q的坐標分別是A（-1，1），B（2，2）.加入有直線a：x+py+q=0和之前的線段有交點，問實數p的取值區間是多少.這是一道幾何問題，也可以轉換為簡單的不等式求解.思路如下：把a的直線方程化為函數式，y+1=-qp（x-0），那么可以看出這條直線恒經過點c，同時這個直線的斜率是-qp，當該條線和另一條直線相交時，通過圖形函數容易看出，當直線和AB相平行的時候，A直線a的斜率最小，當穿過c點時，斜率最大，而l只能在該區間內活動，即kac

結束語

綜上所述，高中數學中的數形結合方法是破解一些層次較多、直接計算困難較大的數學題時使用的一種較為實用的方法，它對于解題效率提升、解題思維開闊、解題正確率提升都有著極大的促進作用，同時可以幫助學生樹立學習數學的自信心，提高學習的主動性，激發學習興趣.教師在教學中應注重技巧的運用，結合實際情況，合理運用，從而達到預期的教學目標.

【參考文獻】

[1]戴玉娟.試析高中數學教學中數形結合法的運用[J].新課程（中學），2015（5）：139.

[2]杜路敏.淺析高中數學教學中數形結合思想的運用和實施[J].學周刊，2013（22）：141.

[3]徐童童.談數形結合在高中數學中的應用[J].中華少年，2018（13）：230.

[4]呂群英.數形結合在高中數學中的應用探討[J].高考，2017（15）：128.