自治自動　合作共享

姜衛東

[摘? 要] 通過創設問題情境，引導學生自主探究、主動建構二項式定理及相關概念，在合作學習中體驗二項式定理及通項的應用，積極打造“自治自動，合作共享”的課堂教學模式. 文章擬通過對教學過程的記錄整理，對課堂教學行為進行反思與改進.

[關鍵詞] 自治自動;小組合作;二項式定理;教學實錄;教學反思

筆者所在學校一直倡導并踐行“自治自動”的教育教學傳統（成功申報了省級課題《指向數學思維的“自治自動”教學研究》），注重學生的自主研究與思考，強調學習之間的合作與交流，積極打造學生學習共同體.本文以“二項式定理”的教學為例，探討如何打造“自治自動，合作共享”的課堂教學模式.

教學動因

1. 教師方面：課題《指向數學思維的“自治自動”教學研究》在我校的順利開展，進一步提高了教師改革數學課堂教學實踐的熱情，引領教師積極構建“自治自動，合作共享”的課堂教學模式.

2. 學生方面：“二項式定理”是高二學習的內容，高二學生的心智、心理及情感發展已達到一定的高度，他們已經掌握了具體與抽象、特殊與一般、轉化與化歸等數學思想方法，以及觀察、分析、類比、歸納、猜想和證明等數學探究能力，這些思想與能力為學生自治自動思考、合作探究學習提供了保障.

3. 教材方面：“二項式定理”是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數學（選修2-3）》第一章第5節的內容. 學生在初中已經學習了多項式乘法，二項式定理可以看成是多項式乘法法則的推廣，同時，本章前面也已介紹了計數原理及排列組合的知識，這些知識為實施“自治自動，合作共享”的教學模式提供了可能.

教學實錄

1. 創設情境，引入課題

情境1：若今天是星期二，再過8100天后的那一天又是星期幾？

情境2：利用多項式乘法法則，分別計算（a+b）1，（a+b）2，（a+b）3，（a+b）4，（a+b）5，…，（a+b）100.

設計意圖：設計生活情境與數學情境，讓學生感受到今天所學內容，既是現實生活中的需要，更是數學知識內部發展的需要.這兩個問題情境，都處在學生的最近發展區，便于學生上手探究.同時，這兩個問題也會引起學生的認知沖突，從而激發學生的興趣和求知欲.

2. 自治自動，初步探究

師：請同學們先獨立自主研究上面兩個問題，然后老師請兩位同學匯報成果.

生1：由于一個星期有7天，要看再過8100天后的那一天是星期幾，關鍵是要看8100除以7的余數是多少？

（生1對于8100除以7的余數問題，束手無策，在教師的引導下，最終將問題轉化為求（7+1）100的展開式，進而將問題一般化，引出本節課的主題：求（a+b）n（n∈N*）的展開式.）

生2：分別用多項式乘法法則計算得到部分展開式：（a+b）1=a+b;（a+b）2=a2+2ab+b2;（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3;（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4;對于（a+b）5，我知道可以看成（a+b）4·（a+b）來進行解決，但沒時間計算.而對于（a+b）100，如果用此法計算，就實在太難了，真不想算，必須另辟蹊徑.

（老師首先肯定了生2的實事求是的學習態度，同時贊同他改變思路的想法.由于有情境1的鋪墊，生2也很快將問題歸結為求（a+b）n（n∈N*）的展開式.）

師：既然直接用多項式乘法求（a+b）n較困難，那么就要尋找更優的解法. G·波利亞告訴我們“回到定義去”，讓我們對多項式乘法進行再認識.

設計意圖：通過初步探究與獨立思考，讓學生在“做中學”，引起他們的認知沖突，使尋求新方法成為必然.

3. 合作學習，建構知識

問題1：（蘇教版教材2-3第9頁上的習題10）乘積（a+b+c+d）（m+n）（x+y+z）展開后共有多少項？每一項是怎樣構成的？

生3：將多項式利用乘法法則直接展開，可得24項，通過觀察可知，每一項都是三次式，由每個括號內取一個字母相乘而構成.

師：是否還有簡便的方法得到結果？以小組為單位進行合作學習，然后推選一位代表發言.

生4：有. 首先，根據多項式乘法法則可知，展開式中的每一項都是從三個括號內各取一個字母相乘得到的，結合分步計數原理，可得共有4×2×3=24項.

（通過問題1的探究，使學生明確展開式中項的結構就是每個括號內任取一個字母相乘而得到.）

追問：是否所有多項式相乘求展開式項數的問題都可以用類似問題1的方法快捷得出？

（由于這個問題學生不容易一下子回答準確，所以教師再次組織學生進行合作探究學習，然后派學生代表進行展示.）

生4：不可以.

師：為什么？能否舉例說明.

生4：因為問題1中多項式展開后沒有同類項，所以項的個數就可以由分步計數原理直接求出，各項的系數都是1.但若多項式展開后出現了同類項，那么就不能這樣來求. 例如：（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，由于存在同類項，項的個數不是2×2×2=8，而是4項.

問題2：剛才生4給我們提出了一個新的問題，當因式相同時展開后會有同類項需要合并，項數發生改變，各項的系數也發生改變. 下面，就以（a+b）3為例，請同學們繼續合作探究，項的結構有哪些形式？各項的系數究竟與什么有關？

（這個問題是本節課的一個教學難點，教師可以提醒學生將（a+b）3看成（a+b）（a+b）（a+b），然后利用乘法法則將它展開為a3+a2b+ba2+ab2+a2b+ab2+b2a+b3，再合并同類項，進而發現各項系數的規律.）

生5：由于（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），結合問題1的討論，它的展開式中只有四種類型的項，即a3，a2b，ab2，b3，各項前的系數就是項的個數吧.

（生5對項的結構的回答是清晰的，但對各項系數的理解還不透徹，于是教師設計問題3.）

問題3：為什么a3，a2b，ab2，b3這些項在展開式中的個數就是1，3，3，1呢？

生5：數出來的.

師：當n較小時，可以數出來.但n較大時，就不能數了.我們繼續思考，尋找它的數學本質.

生6：a3這樣的項只能3個括號都取a（沒有括號取b）相乘，因此系數為1=C;a2b這樣的項只能2個括號都取a，1個括號取b相乘，因此系數為3=C;ab2這樣的項只能1個括號取a，2個括號都取b相乘，因此系數為3=C;b3這樣的項只能3個括號都取b（沒有括號取a）相乘，因此系數為1=C.

（盡管生6的表達與展示非常清晰，但教師通過觀察發現還是有少部分學生在理解上有障礙，于是教師進行追問.）

師：生6的分析非常好！但比較抽象，同學們能否聯系前面剛學過摸球模型進行形象化的解釋？[1]

（分析多項式的展開結果時，常見的策略有三種：根據多項式乘法法則直接展開;利用乘法原理分析;采用摸球策略.而且摸球的策略可以將抽象的數學問題形象化，便于學生理解. 當然，要讓學生構造出摸球的模型具有一定的難度，還是集中大家的智慧，采用小組合作學習，請小組代表走上講臺展示交流.）

生7：將字母a對應黑球、b對應白球.如圖1與圖2，在圖1中有三個盒子，每個盒子中分別放有完全相同的1個黑球和1個白球，a2b前的系數就相當于從三個盒子中取出2個黑球、1個白球的個數（如圖2），即C，以此類推其他各項的系數.

問題4：通過上面的方法我們得到了（a+b）3的項的結構及項的系數，而且發現項的系數與組合數有關. 那么，這種方法及結論對其他特殊情形（a+b）1，（a+b）2，（a+b）4，…，也適用嗎？

生：也適用. （a+b）1=Ca+Cb;（a+b）2=Ca2+Cab+Cb2;（a+b）3=Ca3+Ca2b+Cab2+Cb3;（a+b）4=Ca4+Ca3b+Ca2b2+Cab3+Cb4.

（至此，二項式定理的特殊情況已探究完成，接下來研究一般情況自然水到渠成.）

問題5：根據前面得到的規律與方法，類比猜想一下（a+b）n（n∈N*）的展開式會是什么？

生8：（a+b）n=Can+Can-1b+…+Cabn-1+Cbn.

追問：以上僅僅是猜想，不一定正確，大家能否給出證明？（關鍵是看項的結構、項的個數及項的系數.請小組探究討論，派學生代表展示交流.）

生9：由于（a+b）n展開式中的每一項，都是從n個因式中任取一個字母的乘積，故項的結構形式共有n+1種，即an，an-1b，an-2b2，…，abn-1，bn. an這樣的項只能n個括號都取a（沒有括號取b）相乘，因此系數為C;an-1b這樣的項只能n-1個括號都取a，1個括號取b相乘，因此系數為C;an-2b2這樣的項只能n-2個括號都取a，2個括號取b相乘，因此系數為C;……;bn這樣的項只能n個括號都取b（沒有括號取a）相乘，因此系數為C.

師：生9對生8的猜想給出了證明，這樣我們就得出了（a+b）n的展開式，它正是我們今天要學習的二項式定理，其中右邊的展開式叫做二項展開式. 當n分別取1，2，3，4，5，…時，它們所對應的系數構成一個三角形狀的數陣，此表是我國宋代數學家楊輝1261年的杰作，稱為“楊輝三角”.

問題6：對于二項展開式，從項數、指數、系數等方面探究具有什么特點？

生10：項數共n+1;指數和為n，其中a的指數從n降為0，b的指數從0升為n;系數為C（r=0，1，2，…，n）.

師：二項展開式中共有n+1項，能否像數列的通項一樣，用一個式子來代表這n+1項呢？

（為了便于發現規律進行歸納，可以提醒學生將首項與末項的形式進行改寫.）

生10：可用Can-rbr來表示，當r分別取0，1，2，…，n時，就對應展開式中的第1，2，…，n+1項.

（教師通過追問Can-rbr是展開式的第幾項，給出二項展開式通項的概念及公式.）

設計意圖：教師利用問題串，在自治自動探究及小組合作學習的基礎上，幫助學生從特殊到一般，具體到抽象，通過類比、歸納、猜想、證明，建構起二項式定理的知識體系.

4. 精選例題，應用數學

師：觀察例1中兩個式子的結構，你準備如何解決這個問題？

生11：對于（1），二項式定理的左邊用“+”連接，所以將原式變形，有（a-b）6=[a+（-b）]6，接著展開.

生12：對于（2），將作為一個整體，應用二項式定理直接展開.

追問：有無其他解法？

生12：有. 可以將原式先變形為，然后分子用定理展開，化簡即可.

例2 求（1+2x）7的展開式中第4項的二項式系數及系數.

（通過例2向學生強調兩者的區別：二項式系數是指C，而項的系數是指這一項所有數字的乘積.）

例3 求x-的二項展開式中的常數項.

（教師在發現有少數學生試圖將二項式展開后，逐項尋找常數項時，可以做適當引導或讓數學資優生做示范，啟發其他學生通過通項來處理此類問題.）

師：能否根據今天所學的內容自己編一道題，讓其他同學來做？

（學生對這個問題興趣很濃，但編題的質量不太高. 當然，設置問題6的目的，不在于學生能編出多好的題，關鍵在于培養學生發現問題與提出問題的意識.）

5. 拓展思維，提升能力

師：下面解決本節課開頭的問題，請問再過8100天后的那一天是星期幾？

生：將8100=（7+1）100展開后，易知它除以7的余數為1，故再過8100天后的那一天是星期三.

例4 求（x2+x+y）5展開式中x5y2的系數.

（啟發學生將原式轉化為二項式的形式，并結合解題目標，可將原式變形為[（x2+x）+y]5，然后根據二項式定理求解.）

設計意圖：通過解決開頭的情境問題，讓數學回歸生活，使學生體會到數學的應用價值;設置例4的目的就是讓學生利用研究二項式定理的方法來解決新問題，使學生不僅獲得數學知識與思想方法，而且獲得進行數學活動的基本經驗.

6. 自主總結，回顧反思

問題7：本節課后你有哪些收獲？（自主總結，可從知識層面、思想方法層面及活動經驗層面展開.）

生：知識上，學到了二項式定理、二項展開式的特點、通項公式，要注意二項式系數與項的系數的區別;經驗思想上，學到了類比、歸納的能力及科學的思維方式，特殊與一般的數學思想.

7. 課外練習，鞏固新知

必做題：筆者所在學校自主編寫的《自治自動手冊》第22課時.

選做題：探究（a+b+c）n（n∈N*）的展開式.

延伸閱讀：查閱書籍或登錄網站，了解楊輝三角的有關數學史料，為后續的學習做準備.

設計意圖：安排必做題與選做題的目的在于體現層次性，滿足學生的個性化需求，使不同的學生都有所收獲.這里安排閱讀題，也是契合新課程改革和全國卷命題趨向的需要，提高學生的數學閱讀理解能力不能指望通過幾節復習課就能實現，必須在平時的教學活動中逐步落實.

教學反思

1. 突出學生主體作用，自治自動. 在課堂教學中，學生永遠是“主體”，教師只能是學生學習活動的引導者、組織者與管理者.任何知識只有經過學生的獨立思考、主動建構，才能成為學生自己的知識.正如張奠宙教授所說：“數學不同于其他學科，需要進行邏輯化、符號化、數量化，其過程必定經歷獨立的、個性化的思考，因此，在合作之前必須先‘獨立’”.在設計本節課時，無論是學生自主探究問題，還是小組合作學習，都是教師組織下的學生“自治自動”的自我學習過程.

2. 強化問題導引作用，主動探究. 沒有思維就沒有數學，沒有問題就沒有思維.貫穿整堂課始終的就是問題主線，七個主問題成為連接課堂教學活動的紐帶，這些具有邏輯關聯的問題串層層遞進，引導學生進行主動探究，在探究中學會知識與思想方法，提升思維品質與能力. 這些問題有預設的，也有生成的，還有學生自己提出的，它們都指向學生的思維，指引教學目標的達成.

3. 注重培育活動經驗，合作共享[2]. 新課程標準提出要加強學生的“四基”培養，筆者以為最重要的是加強數學基本活動經驗的培養，因為只有習得活動經驗，學生才有后續學習與發展的可能，所以在本節課的教學中，筆者始終聚焦學生活動經驗的培育，例如：為研究（a+b）n的展開式，首先從一般退到特殊，獲得特殊情況下的研究方法與結論，再用它們進行猜想與證明，最終解決一般情形問題. 當然，要獲得豐富的數學活動經驗，光靠學生個體往往不易實現，而要借助小組合作學習才能完成，例如：在突破“二項展開式中項的系數”教學難點時，正是經過多次小組合作探究才得以成功.

4. 關注數學育人價值，立德樹人. 數學不是只有概念、公式與各種法則，數學更有豐富的育人元素.本節課中所使用的類比、觀察、猜想、數學抽象、數學運算、邏輯推理等數學思想與方法，都助推學生理性精神的培養. 同時，在課堂教學及課外作業中都涉及與“楊輝三角”有關的數學史，就是要在數學教育中，增強學生的民族自豪感，真正將立德樹人落到實處.

5. 進一步處理好預設與生成的關系. 在本節課中，有大量的預設與生成的課堂資源，它們推動著教學進程的開展，但在某些地方兩者之間的關系處理得不太妥當. 例如，在預設的問題2中，學生將其抽象為二項展開式問題時，不是很順利. 筆者以為不如將此預設后移，等學完新知識后再出現;又如，在給出問題3后，如何通過摸球模型得到形象化的解釋，這是課堂上及時生成的問題，但學生得到這一模型較困難，所以，筆者認為將此問題作為剛開始時的預設問題較妥帖.

6. 進一步關注學生的心理與情感活動. 數學課堂是學生活動的場所. 在本節課中，筆者對學生數學思維活動關注較多，但對學生在數學學習中的心理活動及情感活動關注偏少，重視對學生智力因素的培養，忽視對學生非智力因素的培育，還未真正實現數學教學向數學教育的根本性轉變.

參考文獻：

[1]? 劉志誠. “二項式定理”教學設計[J]. 中國數學教育，2019（10）：16-19.

[2]? 史寧中，王尚志. 普通高中數學課程標準（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

3826501908293