例說錯題與學生數學思維品質的培養

劉冬

[摘? 要] 錯題就是引導學生探究性學習的極好素材，同時對培養學生良好的思維品質有著不可低估的作用. 基于理論與教學實踐，文章認為：覓錯，有利于培養學生數學思維的深刻性;析錯，有利于培養學生數學思維的批判性;糾錯，有利于培養學生數學思維的發散性.

[關鍵詞] 錯題;思維品質;高中數學

日常教學中，時常碰到一些錯題. 面對錯題，有的教師“舍而棄之”，有的教師“改而用之”，有的教師“將錯就錯”. 筆者認為，對待錯題，可以檢驗出一個教師的教學水平和成熟程度. 面對錯題，教師能因勢利導，錯題就是引導學生探究性學習的極好素材，同時對培養學生良好的思維品質有著不可低估的作用. 關于這一點，筆者擬通過幾個教學片段作一探討.

[?] 覓錯：培養學生數學思維的深刻性

教師給出題目及其錯解，讓學生探究錯誤原因，在尋找錯誤的過程中，學生的思維會由淺入深，得到進一步的發展.

片段1：

在一堂“立體幾何”課上，筆者給學生出了這樣一道題：

已知某長方體的對角線的長為8，它的長、寬、高之和是14，試求該長方體的表面積.

經過五分鐘的思考與解答，學生中主要出現了以下兩種解法：

解法1：設長方體的三邊為a，b，c，則a2+b2+c2=64①，a+b+c=14②，所以長方體的表面積為（a+b+c）2-（a2+b2+c2）=132.

解法2：由①-8×②，配方得（a-4）2+（b-4）2+（c-4）2=0，所以a=b=c=4，故長方體的表面積為6×42=96.

按理說，正確的不同的解法會得到相同的結果，但以上兩種解法的答案卻迥然不同. 孰是孰非？學生詫異，都紛紛審查自己的解題過程是否有漏洞. 經過數分鐘的斟酌與推敲，學生覺得兩種解法都無懈可擊. 難道是題目有誤？一個大大的問號悄然出現了. 又經過幾分鐘的合作探究，學生終于發現題目給出的條件不合理：因為≥

=

2，即a2+b2+c2≥，這是不可能的，所以這是一道錯題.

筆者問道：“那么長、寬、高之和最多是多少，問題才能有解？”學生經過一番探索后得出：a+b+c≤=8. 找到了問題的“癥結”，把原題“改邪歸正”后再解答就不是難事了.

片段1給出的錯題，是筆者教學中特意留給學生的一個“陷阱”，目的在于讓學生去爭論、去辨析、去質疑、去反思，在失敗與挫折中求發展. 同時，也想通過不等式與立體幾何知識相互滲透，以培養學生數學思維的深刻性. 試想，倘若筆者起初就給學生一個“正題”——“已知長方體的對角線是9，長、寬、高之和為14，求該長方體的表面積”——不難發現，學生一定會在幾分鐘內得到一個正確答案，除此之外，學生似乎什么也沒有得到.

[?] 析錯：培養學生數學思維的批判性

學生做作業時總會出現這樣或那樣的錯解，讓學生來分析錯誤，并由此及彼，糾正一類問題的錯誤，可以培養學生思維的批判性.

片段2：

在一堂高考總復習課上，筆者向學生出示了如下一題及其解答過程，要求學生判斷其正誤.

題：已知tanα，tanβ是方程x2+4x+5=0的兩根，且α，β都是銳角，求α+β的值.

解：由韋達定理得tanα+tanβ=-4①，

tanα·tanβ=5②，

所以tan（α+β）===1;又0<α+β<π，故α+β=.

學生經過討論，一致認為，這是一道錯題，理由如下：由已知條件推出的①式、②式互相矛盾，根據題意，tanα，tanβ不能是負值，只能是正值. 所以這是一道錯題.

筆者接著問道：“你能舉出錯題的例子嗎？”

一石激起千層浪，學生躍躍欲試，有的苦思冥想，有的查閱資料，有的相互討論. 幾分鐘后一只只手舉了起來，課堂氣氛達到了高潮.

生1：請看這道選擇題：若把函數f（x） 的圖像沿x軸的正方向平移3個單位后得到圖像C，又設圖像C與圖像C′關于直線y=x對稱，則圖像C′對應的函數解析式是（? ）

A. y=f（x）+3 B. y=f-1（x-3）

C. y=f-1（x）-3 D. y=f-1（x）+3

該題本身有問題，因為題中沒有告訴我們這個函數有反函數，所以應增加“它有反函數”這個條件才可作答.

生2：我遇到過這樣一道題：已知圓C：x2+y2=1和圓C：x2+y2-6x-6y+17=0，求它們公共弦所在的直線方程.

本題似乎可以通過兩個圓方程相減得到一個二元一次方程3x+3y-8=0就是所求的公共弦所在的直線方程. 但事實上，兩圓的位置關系是相離的. 所以本題是無解的錯題.

生3：我也找到了一道錯題：三角形ABC中，BC的邊長為8，AC邊和AB邊上的中線長分別為8和7，求三角形ABC的重心G的軌跡.

該題的本意是利用AC邊和AB邊上的中線長的和與圓錐曲線的定義求重心的軌跡. 但因為兩條中線長是定值，所以重心G是固定的點，與軌跡無關.

生4：我新編了這樣一道題：若某正棱錐的側面積是8，底面積是10，求該正棱錐的高.

設該正棱錐的側面與底面所成的角是θ，則cosθ===1.25>1，這是不可能的，所以這樣的正棱錐是不存在的，因此本題是一個錯題.

生5：聽了生4的發言，我忽然想起了前天看到的一道測試題：某正三棱臺的下底周長為30，上底周長為12，側面積是兩底面積之差，求該正三棱臺的斜高.

根據本題的已知條件，我推導出“下底面積=側面積+上底面積”，這與“多面體的任一面的面積小于其他各面面積之和”是矛盾的. 事實上，這樣的三棱臺是不存在的.

……

教學中，筆者借助于錯題讓學生自由發揮糾正錯誤，頗似語文中的“話題作文”，通過筆者“拋磚引玉”，使學生主動參與找錯題、編錯題這個非常有趣的智力活動中，在找錯題、編錯題及剖析錯因的同時，不知不覺地培養了學生思維的批判性，真可謂“隨風潛入夜，潤物細無聲”.

[?] 糾錯：培養學生思維的發散性

試卷中出現錯題在所難免，錯題是培養學生發散性思維的好素材.

片段3：

有一次，在函數單元的測試中，由于筆者的疏忽，試卷中出現了如下一道錯題：

函數y=log（x2+4x+3）的單調遞減區間為（? ）

A. （-∞，2] B. （-∞，1）

C. （3，+∞） D. （1，2]

怎么辦呢？是“舍而棄之”，還是“改而用之”？筆者考慮再三，還是讓學生自己處理. 考試時，筆者告訴學生這是一道無答案可選的錯題，允許在原題上改動一至兩處，再選擇正確答案，并約定“多一種改法且答案正確，可另加5分”.

批閱試卷時，筆者發現，大多數學生都不滿足于一種改法，有的學生竟然提出了5種改法，筆者將其摘錄如下：

改法1：重新確定“選擇支”，4個可選答案中任選一個改為“（-∞，-3）”，并選之;

改法2：把原題中“4x”前的“+”改為“-”，并選B;

改法3：把原題中“4x”前的“+”改為“-”，并把“減”改為“增”，此時選C;

改法4：把原題中的“+4”改為“-2”，并選B;

改法5：把原題中的底數“2”改為“”，把答案C“（3，+∞）”改為“（-1，+∞）”，并選之.

面對試卷中出現錯題的突發事件，筆者不是僅為了學生能順利答題而去“糾錯”，而是創設“糾錯”情境，放寬“糾錯”條件，讓學生“一錯多糾”，舉一反三，這無疑有利于培養學生思維的發散性.

唯物辯證法認為，“任何事物的好壞都是一分為二的”，錯題也是如此. 從表面上看，錯題似乎只能給解題者帶來不必要的麻煩，但從上述幾個片段中可以看出，錯題其實很有利用價值，關鍵在于教師的因勢利導. 倘若教師能認識到這一點，便會積極“開發”錯題的利用價值，“變廢為寶”“化腐朽為神奇”，讓錯題為培養學生的思維品質“發揮余熱”.