淺談高中數學數列問題的解題思路與技巧

王雯然

摘 要：數列作為高中數學學習的重要內容，它和代數、方程、函數、解析幾何等許多知識相關。在數列知識中運用的遞推思想方法、分類討論等思想方法與解題技巧在數學解題中非常有用，掌握數列解題的思路與技巧對提高數學解題效率益處巨大。對高中數列解題的思路技巧進行了總結。

關鍵詞：高中數學；數列問題；解題思路

高中數學的數列問題解題方法思路靈活多樣，其中包含遞推思想、函數思想等許多數學思想和方法，因此，掌握和靈活運用數列問題的解題思路和技巧對提高數學思維能力有重要作用。筆者作為一名高中數學愛好者，結合高中數學學習實踐，對數列問題的求解思路和方法進行總結，希望對數列部分的學習有所幫助。

一、運用化歸的思想和方法求解數列問題

數列的通項公式、前n項和公式和數列知識應用是整個高中數列解題的核心問題。在數列問題的解題中，求通項公式對解決數列問題來說非常重要。其解題方法多種多樣，其中許多數列問題可以用化歸的思想方法，把問題轉化成等差（比）數列問題進行解決，這樣就能非常方便地進行求解。

例1.把數列問題轉化成等差型數列an-an-1=f（n）形式求通項公式。

已知a1=1，an-an-1=n-1。求：an。

解題分析：對于此類等差型數列，常采用疊加法進行求解。

∵an-an-1=n-1，a2-a1=1，a3-a2=2，

∴a4-a3=3…可求出an-an-1=n-1。把上面式子相加能得到an-a1=1+2+3+…+n-1，∴an= 。

解題要點：用該方法求通項公式，一是疊加后等式左邊能進行錯項相消，二是等式右邊要能容易求和。

例2.把數列問題轉化成等比型數列 =f（n）形式求通項公式。

已知a1=1， = 求：通項公式an。

解題分析：對于等比型數列求通項公式，一般采用把若干等式的左右兩邊分別相乘的方法，即累乘方法來求通項公式。

∵ = ， = ， = … = 。

把這些等式左右分別相乘可得： = ，∴an= 。

要求：運用累乘方法求通項公式，要求等式兩邊能夠化簡。

二、運用函數和方程的思想求解數列問題

運用函數的概念與性質對數列問題進行分析轉化，從而使數列問題容易求解；運用方程的思想求解數列問題，就是從數列問題的數量關系出發，把數列問題轉化成方程或不等式的形式來使問題得到解決。運用這兩種方法求解數列問題，要注意挖掘問題中的隱含條件，建立函數解析式和方程式是其解題的重點。

例3.有等差數列an，其前n項之和是Sn，a3=12，S12>0，S13<0。

（1）求公差d的取值范圍；（2）求S1，S2，S3…S12中的最大值，并講出原因。

解題分析：（1）在本題中利用方程（不等式）的思想就比較容易求解問題，通過利用通項公式an和前n項和公式Sn來構建不等式就能方便求出公差的范圍。（2）對于在數列問題中求前n項和的最大值問題，利用函數的思想和方法，把Sn的表達式轉化成二次函數，這樣問題就變成求函數的最值問題，此題就容易解

決了。

解題思路：（1）∵a3=a1+2d，可求出a1=12-2d，∴S12=12a1+66d=12（12-2d）+66d=144+42d>0，S13=13a1+78d=13（12-2d）+78d=156+52d<0，解不等式組144+42d>0156+52d<0，可求出：-

（2）求Sn的函數表達式，Sn=na1+ n（n-1）d=n（12-2d）+ n（n-1）d= n- （5- ）2- （5- ）2，∵d<0，∴ （5- ）2取最小值時，前n項和Sn最大。結合（1）中d的取值范圍，可求出6< （5- ）<6.5，∵n只能取正整數，∴n=6時，[n- （5- ）]2最小，由此可求出S6最大。

對于本題還可以換另一種思路來求解，即通過求出an>0，an+1<0來求解。∵d<0，∴a1>a2>a3>…>a13，根據S13=13a7<0，得出a7<0，再根據S12=6（a6+a7）>0，得出a6>0，∴可得出S6的值最大。

三、運用數學歸納法求解數列問題

數學歸納法也是求解數列問題的常用基本方法之一，運用歸納法其關鍵是要證明n=k+1時命題成立，該方法也是由遞推來進行歸納的解題方法。

例4.假設有an= + + +…+ ，n∈N

證明： n（n+1）

解題分析：此題和自然數n相關，可運用數學歸納法求解證明。當n=1容易求證，重點在于求n=k+1時，ak+1=ak+ 式子成立，因此，在n=k的式子中加入 ，再與所證明的結論進行比較來求解。根據歸納法的步驟，其求解思路如下：

當n=1時，an= ， n（n+1）= ， （n+1）2=2，∴n=1時結論成立。

假設n=k時結論成立，即有， k（k+1）

當n=k+1時，只要證明下式成立即可：

k（k+1）+

可先證明結論左邊式子： k（k+1）+ > k（k+1）+（k+1）= （k+1）（k+3）> （k+1）（k+2）。

再證明結論右邊式子： （k+1）2+ = （k+1）2+ < （k+1）2+（k+ ）= （k+2）2。

（k+1）（k+2）

解題思路要點：本題在解題中適當運用了縮放法，即分別將 縮小成了k+1和將 放大成了k+ ，這兩步的放與縮是證明結論成立的關鍵步驟，如何縮與放要與結論進行比較后確定，但要按照適當的原則進行縮與放。

總之，在數列問題的解題中思路方法比較多，只要靈活運用各種解題的思路和方法就能高效快速地求解數列問題。

參考文獻：

[1]毛裕潔.高中數學數列問題的解題技巧[J].科技風，2016（23）.

[2]王云霞.數學建模方法在高中數學解題中的探究[J].西北大學，2014（7）.

編輯 李建軍