經歷憤悱過程，發展數學思維

賈富華

摘 要：小學數學教師們雖然已經普遍接受了啟發式教學的思想，但如何在教學中實施啟發式教學仍然存在不少困惑.本文以“雞兔同籠”的教學為例，闡述如何在小學數學教學中實施啟發式教學，讓學生經歷“憤”、“悱”的過程，從而發展數學思維、洞察數學的本質和感悟數學的思想方法.

關鍵詞：啟發式教學；數學思維；雞兔同籠

《論語·述而》中記載孔子關于啟發式教學的闡述.原文為“不憤不啟，不悱不發”.意思是說：不到學生想弄明白，而仍然想不透時，教師先不要去開導他；不到學生心里明白，卻又不能完整表達出來時，教師也先不要去啟發他.宋代學者朱熹進一步解釋道：“憤者，心求通而未得之意也；悱者，口欲言而未能之貌也”、“啟，謂開其意；發，謂達其辭”.這就是啟發式教學.而如何在教學中采用啟發式教學？本文以“雞兔同籠”為例，試圖在該課的教學中闡釋啟發式教學的具體過程，以期為小學數學的教學提供參考.

1 留足時間，讓學生經歷“憤”的過程

《義務教育數學課程標準（2022版）》指出：學生是數學學習的主人，教師是數學學習的組織者、引導者和合作者.教師要充分相信學生，給學生足夠多的時間和空間，讓學生充分經歷“憤”的過程.教師則需在學生“憤”的時候，順勢而“啟”，引導他們在觀察分析、獨立思考、合作交流、自主探究的過程中，參與知識的建構過程.

1.1 進入“憤”的學習狀態

愛因斯坦說，“興趣是最好的老師”.教師要利用有趣的問題、生動的情境、富有挑戰性的場景，讓學生主動參與到學習活動中.因此，數學教師要發揮主導作用，精心挑選數學問題、用心設計教學活動，為學生的數學學習搭建廣闊的舞臺.

教學片斷1

師：“雞兔同籠”是一個古老而有趣的數學問題.它出自我國古代數學名著《孫子算經》.原文是“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足.問雉兔各幾何？”

生：它的意思是什么？

生：籠子里有若干只雞和兔，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，雞和兔各有多少只？

生：這個問題很有意思.如何解答這個問題呢？

師：大家想怎么解決這個問題呢？

生：可以畫圖，也可以通過一個一個地數去試.

師：你覺得這些方法怎么樣？

生：數比較大，畫圖和試數都很麻煩.

生：那我們把數變小一點，用畫圖和試數的方法來解決就會簡單一些.

師：大家的想法很好.我們現在把數變小一些，問題變成“雞和兔一共有8個頭，26條腿，雞和兔各有多少只？”大家能解決嗎？

在這個教學片段中，教師選擇“雞兔同籠”這個古老而有趣的數學名題，引起了學生極大的學習興趣.學生們圍繞這個富有挑戰的數學問題進行思考、交流、討論，最終發現數太大不好解決，也不容易進行探究，于是化繁為簡，即把數變小.由此可見，學生們帶著對古代數學題的迷茫和求知欲進入了“憤”的學習狀態.

1.2 經歷“憤”的學習過程

維果斯基的“最近發展區理論”認為，學生的發展有兩種水平：一種是學生的現有水平，指獨立活動時所能達到的解決問題的水平；另一種是學生可能的發展水平，即在別人的幫助下能夠達到的水平.兩者之間的差異就是最近發展區.教學應著眼于學生的最近發展區，為學生提供帶有適當難度的內容，調動學生的積極性，發揮其潛能，超越其最近發展區而達到下一發展階段的水平.學生經歷最近發展區的過程，就是努力想要弄明白而又弄不明白的過程，是學生思維苦苦掙扎的過程，也就是“憤”的學習過程.

教學片斷2

師：請你用自己喜歡的方法嘗試著解決這個簡化版的“雞兔同籠”問題，并把你的想法記錄在學習單上.

學生自主探究，嘗試解決簡化版的“雞兔同籠”問題.教師巡視，根據學生在自主探究過程中出現的問題進行適時的啟發和點撥.在巡視過程中教師發現有的學生一直在沒有根據地列算式，便會給出提示，“如果列算式有困難，能不能先畫畫圖來表示你的想法？”當學生一直畫線段圖找不到數量之間的關系時，教師提示，“如果畫線段圖不好找數量之間的關系，能不能畫其它圖？”經過一段時間的探索，學生們有了自己的想法（見圖1-圖6）.

在這個教學片段中，教師鼓勵學生調動自己以往的學習經驗來自主嘗試解決問題.在自主探究的過程中，學生經歷了思考的困惑，經歷了不知所措，也遇到了很多問題.但通過教師的點撥，他們的思維系統被激活，原始經驗被調動，進入到了主動探索和合作交流階段，運用不同的方法解決了問題.教師在學生“憤”的時候，通過“啟”來幫學生建立新舊知識間的聯系，打開思維的閘門，使學生先“惑”而后“明”.

2 給足表達的機會，讓學生走出“悱”的狀態

《義務教育數學課程標準（2022版）》提出，通過義務教育階段的數學學習，學生逐步“會用數學的眼光觀察現實世界，會用數學的思維思考現實世界，會用數學的語言表達現實世界”，實現對數學的理解、掌握和運用.學生經歷的特殊過程——“用數學的眼光發現和提出問題，用數學的思維與數學的語言分析和解決問題”——其實就是“悱”的過程.

2.1 適時而導，疏通思路

學生對問題的認知是有一個過程的，學生的思路有時會出現“堵塞”.例如，有些學生有思路卻難以表達出自己的思考過程；有些學生會找到解決問題的方法卻講不出其中的道理；有些學生越講越糊涂以致把自己繞進去再也出不來.這就是學生進入“悱”的狀態，此時需要教師順勢而導，幫助學生疏通思維通道，走出“悱”的狀態.

教學片斷3

生：我先畫了8只雞，然后試一試，最后變成了5只兔子3只雞（見圖1）.

生：你為什么先畫8只雞？為什么不畫8只兔子呢？

學生聽后把黑板上的8只雞改成了8只兔子.

生：你剛才說最后是5只兔子3只雞.你為什么又把它們畫成8只兔子了呢？

學生站在前邊一時不知如何回答.教師見女生手足無措，就順勢問：你先畫了8只雞，怎樣從這8只雞想到的5只兔子3只雞的呢？

生：我發現腿不夠.

師：你是怎么知道腿不夠的呢？

生：計算.

師：一邊畫一邊計算，是個不錯的辦法.說說你是怎樣計算的？

生：2乘8等于16，16比26少了10條腿.

師：少了10條腿，又該怎么辦呢？

這位學生拿起紅色粉筆，將這10條腿加上.

師：哪位同學讀懂了她的畫法？

生：她是給每只雞加上兩2條腿，5只雞一共加了10條腿，5只雞變成了5只兔子，還剩3只雞.

師：你是這樣想的嗎？你能再完整地說說你的想法嗎？

生：我先畫了8只雞，通過計算發現腿少了10條，就給1只雞加上2條腿，5只雞一共加了10條腿，最后有5只兔子3只雞.

在這個教學片斷中，同學自己能夠解決問題，卻難以表達自己的想法，處于懵懂的狀態.此時教師適時介入，進行有效的啟發引導，幫助學生尋找思維的突破口，排除疑難.學生在教師的引導下，梳理了自己的思路，解決了困惑，走出“悱”的狀態.

2.2 適時追問，辨析真理

任何教學中少不了老師和同學的追問.追問是數學課堂教學的重要手段，是精妙的課堂藝術.教師應抓住追問的時機適時追問，使課堂成為智慧啟迪、心靈碰撞的場所.當學生的思考出現錯誤、矛盾、困惑時，教師應及時追問，激活學生思維，促進學生深入思考.學生在追問中慢慢地“悟”，在交流思辨中理清知識的來龍去脈.

教學片斷4

在全班交流環節，還有一位男同學用列算式的方法解決了問題（見圖5）.

生：我是這樣想的：8乘2等于16條，26減16等于10條，10除以2等于5只，兔子5只，8減5等于3只，雞有3只.大家還有什么疑問？

師：咱們來問問他，8×2＝16（條）表示的是什么？

生：就是先把這8個頭假設成8只雞，8乘2等于16，一共有16條腿.

生：為什么26-16＝10（條）？

生：26-16＝10，就是差10條腿.

生：那10÷2＝5是什么意思？

生：還差10條腿，每只雞是2條腿，10除以2等于5.

生：這個“2”是雞的腿嗎？

教師見學生面露疑惑，于是追問道，“誰能說說這個‘2表示的是什么？”

生：我們可以結合剛才的圖來幫助理解，這個“2”不是雞的腿，是給每只雞添上的2條腿，添了5個2，所以是10÷2＝5（只）.

師：這5只是雞還是兔呢？

生：是兔，因為每只雞添上2條腿后就變成了兔，10除以2等于5，添了5個2，相當于把5只雞變成了兔，所以5是兔的只數.

師：你明白了嗎？這個2是什么？

生：是給每只雞添上的2條腿.

師：為什么是添上2條腿呢？

生：因為雞添上2條腿才能變成兔.

師：“2”是怎樣求出來呢？

生：4-2＝2（條）.

師：10÷2＝5（只）表示的是什么？

生：還差10條腿，每只雞添上2條腿后就變成了兔，10除以2等于5，也就是添上了5個2，把5只雞變成了兔.

在這個教學片斷中，同學雖然可以自己列式解決問題，但只能讀出每一步算式，講不明白其中的道理.教師引導學生追問，“8×2＝16（條）表示的是什么？”，并給予點撥和啟發.在學生“悱”的時候，教師“發”，其他學生“順藤摸瓜”，摸清了提問的方法.在交流對話中，學生的思路一步一步變得清晰.接著，師生抓住本課難點進行追問——“10÷2＝5是什么意思？”學生回答：“還差10條腿，每只雞是2條腿，10除以2等于5.”這樣，又一次引發了認知的沖突——“這個2到底是什么呢？”.隨著生生對話的深入，結合圖形直觀，學生終于弄清了“2”表示的意義，攻克了“雞兔同籠”問題的難點.

總之，基于啟發式教育思想，在教學過程中，教師要把學生當作學習的主人.教師應最大限度地把課堂交給學生，讓他們充分經歷知識的形成過程.教師應該給予學生足夠的思考空間，讓其在“憤”中學會思考.此外，教師還需要給予學生足夠的表達機會，讓其在“悱”后學會表達.在小學數學教學中，只有讓學生的數學思考真正發生，數學核心素養才會落地生根.

參考文獻：

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