挖掘內在聯系，揭示數學本質

［摘? 要］ 文章拓展一道課本習題，引進直線法向量的概念，利用它幫助學生理解直線一般式中系數的幾何意義、平行垂直的條件、點到直線的距離公式等解析幾何內容，站在向量的角度挖掘這些問題，更能看清問題的本質所在.

［關鍵詞］ 習題；法向量；數學本質

課題提出

本節課安排在學生學習完點到直線的距離公式后. 人教A版必修2推導點到直線的距離公式時，主要采用了以下兩種方式：①在代數的視角下，構造方程，求出垂足的坐標，然后利用兩點間的距離公式求解；②在幾何的視角下，構造直角三角形，利用等面積法處理距離問題. 這兩種處理方法計算量較大，然而得到的公式卻如此簡潔優美. 為了讓學生看到公式的本質特征，在解析幾何中滲透向量法，為后面學習利用空間向量研究幾何問題做鋪墊. 筆者從一道課后習題出發，上了一節數學拓展課.

教學過程

環節1：回顧舊知，提出問題

問題1 昨天我們已經用多種方法推導了點到直線的距離公式，你能簡單說說這幾種方法嗎？

生1：代數法，先求垂足的坐標，然后將點到直線的距離轉化為兩點間的距離.

生2：幾何法，利用“降維”思想，將“斜”距離轉化為平行于坐標軸的距離來處理.

生3：將點到直線的距離轉化為點到直線上的動點距離的最小值，得到了這個公式.

筆者向學生展示生3的推導過程，大家都佩服不已.

師：前面的幾種推導方法運算量都比較大，也不能很好地反映公式的本質特征，有沒有更簡單的方法來推導這個公式呢？今天這節課我將和大家一起來探究這個優美公式背后的數學本質，我們先一起來回顧一道課本習題.

設計意圖 學生盡管已經掌握了公式的推導方法，但是公式推導過程的復雜與公式結構的簡潔形成了鮮明的對比，能否優化推導過程或者有沒有更好的方法來推導這個公式是大家需要考慮的問題. 本問題的設計旨在激發學生的好奇心，引導學生繼續探究點到直線的距離公式的本質.

環節2：習題拓展，引入新概念

問題2 人教A版必修2介紹完直線方程的五種形式后，在第107頁的B組題中安排了這樣一道題：設點P（x，y）在直線Ax+By+C=0上，求證這條直線的方程可以寫成A（x-x）+B（y-y）=0.

師：大家回顧一下當時你是如何證明的.

生4：設P（x，y）為直線Ax+By+C=0上的任意一點，則Ax+By+C=0. 又點P（x，y）也在直線Ax+By+C=0上，所以Ax+By+C=0. 兩式相減就能得到這個結論.

師：很好，其實我們做完題后，還可以思考以下問題.

問題3 直線寫成“A（x-x）+B（y-y）=0”這種形式，它有什么作用？或者說由這個結構特征，你想到了什么？

生5：這個結構很像向量垂直的條件，即xx+yy=0.

師：不錯，能不能說得具體一點？

生5：記n=（A，B），=（x-x，y-y），實際上，可以看成直線的一個方向向量，向量n可以看成與直線的方向向量垂直的一個向量.

師：如圖1所示，畫出圖來看一下，我們把與直線的方向向量垂直的向量n=（A，B）叫做直線的法向量，后面學習空間向量的時候也會學到這個概念.同學們繼續思考下面的問題.

設計意圖 解析幾何利用代數法來研究幾何問題，而許多代數式的結構也隱藏著幾何的影子，利用幾何圖形能幫助學生直觀理解代數問題. 問題2這道課本習題顯現的是向量相互垂直的一個代數結構，實質是直線的另一種表示——“一個點和一個與直線方向向量垂直的向量”. 筆者借此題引入法向量，引導學生利用向量來研究解析幾何問題.

環節3：概念應用，再看直線的一般式方程

問題4 你們認為還可以如何確定一條直線？

生6：給定直線上的一個點和這條直線的一個法向量.

師：給定直線上的一個點P0（x，y）和這條直線的一個法向量n=（A，B），那么該直線上的任意一點P（x，y）都滿足⊥n，即滿足關系式A（x-x）+B（y-y）=0，這是從向量的角度來理解直線的一般式方程.

問題5 請說說直線一般式方程Ax+By+C=0中的系數的幾何意義.

生7：n=（A，B）表示直線Ax+By+C=0的一個法向量，而C=-Ax-By.

師：這樣一來，直線的一般式方程中系數的幾何意義我們都知道了. 下面我們繼續看一道習題.

問題6 （人教A版必修2第107頁B組第4題）已知直線l，l的方程分別是l：Ax+By+C=0（A，B不同時為零），l：Ax+By+C=0（A，B不同時為零），且AA+BB=0，求證l⊥l.

師：同學們能用直線的法向量來求證嗎？

生8：由AA+BB=0可知兩條直線的法向量相互垂直，從而證明兩條直線相互垂直.

追問：如果兩條直線平行或者重合時，A，B，A，B應該滿足什么條件？

生8：如果兩條直線平行或者重合，那么它們的法向量共線，即AB=AB.

設計意圖 課本在章小節的“回顧與思考”中，讓學生指出直線的點斜式、兩點式、斜截式、截距式方程中系數的幾何意義，沒有提及直線的一般式方程中系數的幾何意義，因此筆者通過拓展課本習題，引入直線的法向量，這不僅能夠解答學生心中的疑惑——“直線的一般式方程中系數的幾何意義是什么”，還能讓學生真正理解直線垂直與平行條件的本質所在.

環節4：概念應用，再探點到直線的距離公式

問題7 已知點P（x，y）和直線l：Ax+By+C=0，我們已經得到了點P0到直線l的距離公式為d=. 你能從向量的角度來認識這個公式嗎？

師：我們可以觀察公式的結構特征，思考其背后的知識，如我們知道向量a=（x，y）與向量b=（x2，y2）垂直的條件是xx+yy=0，你能從與Ax+By+C中分別想到哪些知識？

師：由于直線上的任意一點P（x，y）滿足Ax+By+C=0，所以C=-Ax-By，這樣Ax+By+C就可以寫成Ax+By-Ax-By=A（x-x）+B（y-y）的形式，請同學們繼續思考.

生10：式子A（x-x）+B（y-y）可以看成兩個向量的數量積.

師：哪兩個向量？

生10：向量=（x-x，y-y）與法向量n=（A，B），因為·n=A（x-x）+B（y-y）.

師：通過問題7的探究，我們可以將點到直線的距離公式寫成向量的形式，即d==（其中P為直線上的任意一點）.

問題8 回顧向量的相關知識，請解釋d=的幾何意義.

由于向量是高一上學期學習的內容，學生對向量投影的概念忘記得差不多了，這里筆者和學生一起解答.

的幾何意義是向量在直線法向量n上的投影的絕對值. 故以向量的角度來看，點到直線的距離d可以理解為直線上任意一點P（x，y）和點P（x，y）構成的向量在直線法向量n=（A，B）上的投影的絕對值，這也是點到直線距離的本質特征所在. 后面我們學習空間向量時，也是這樣處理點到面的距離的.

當這節課上到這里，學生看到點到直線的距離公式可用向量表示時，都贊嘆不已.

問題9 你能根據以上分析，用向量來證明點到直線的距離公式嗎？

筆者巡視5分鐘后，發現很多學生的答案都不完整，所以自己展示證明過程，讓學生核對.

師：已知直線l：Ax+By+C=0的一個法向量為n=（A，B），P（x，y），在直線l上任意取一點P（x，y），向量=（x-x，y-y），則點P到直線l的距離為d===. 又C=-Ax-By，所以d=.

師：同學們，簡潔是智慧的靈魂，對比上節課我們推導點到直線的距離公式的方法，用向量法是不是顯得更加簡潔，更具形象直觀，更能反映公式的本質，彰顯我們的數學智慧？這里向量法不僅幫助我們證明了點到直線的距離公式，而且還是我們后面研究空間距離的重要方法.

問題10 對比點到直線的距離公式的各種推導方法，你認為它們各自蘊含著哪些數學思想？

（學生討論后回答）

生11：交點法利用了轉化與化歸思想，將點到直線的距離轉化為兩點間的距離；等面積法利用的是“降維”思想，將“斜”距離轉化為“水平”距離，然后通過等面積來處理；最小值法利用的是函數思想，將點到線的距離轉化為點到直線上動點的距離的最小值；向量法利用了數形結合思想，將“距離”理解為“投影”來研究.

師：四種推導方法各自蘊含著幾種不同的數學思想，分別帶領我們從不同的角度認識了“距離”的本質，理解了知識間的內在聯系.

設計意圖 利用向量法來研究點到直線的距離公式，不僅能讓學生看清楚公式的本質，還能讓學生初步體會用向量處理一些解析幾何問題時所表現出來的優越性.

課堂小結 回顧本節課，我們研究了哪些問題？我們是如何展開研究的？

生12：我們學習了直線的法向量，通過法向量研究了直線方程Ax+By+C=0中系數的幾何意義，以及兩直線平行與垂直的條件，更精彩的是利用向量推導出了點到直線的距離公式.

師：說得很好. 這節課我們從一道課本習題出發進行了拓展研究，引進了直線的法向量這個“神器”，它不但幫助我們更深刻地理解了直線的一般式方程以及其平行和垂直的條件，還讓我們進一步認識到了點到直線的距離公式的本質.

課后反思

1. 拓展、延伸是研究數學問題、揭示數學本質的常用手段

因為向量具有幾何和代數的雙重屬性，所以很多解析幾何問題都能引用向量來解決. 盡管教材沒有介紹利用向量研究直線問題的方法，筆者思考可能是由于教材內容安排順序所導致的，因為在人教A版必修4第121頁的復習參考題中出現了利用向量研究直線的問題. 本節課中，筆者嘗試拓展課本習題，引進了直線法向量的概念，不僅完善了直線五種形式中系數的幾何意義，加深了學生對直線一般式方程下“垂直”與“平行”條件的本質理解，而且引導學生從向量觀點來理解和推導點到直線的距離公式，方法更加簡潔，也更能反映公式的本質特征. 同時，本節課內容也為后續利用空間向量研究空間距離和空間角做好了鋪墊.

2. 源于課本，對教材實施“再開發”

課本是一科之本，它是學生獲取數學知識的主要來源，也是數學教師施教的根本所在. 然而在目前的課堂教學中，很多教師脫離課本的現象普遍存在，認為“教材太簡單，不足以應付高考”，崇尚各種教輔資料，殊不知教材中的例題是經過專家反復打磨的，習題是精挑細選出來的，它們的育人價值是很多粗制濫造的教輔資料無法替代的. 當然，如果我們只是照本宣科，不去深刻研討教材，挖掘知識間的內在聯系，那么這些例題和習題離真正的高考題還有一些差距. 因此，在教學中，需要教師認真研究教材中的例題和習題，創造性地使用它們，才能很好地幫助學生理解數學的本質.

作者簡介：蔡斌（1984—），碩士研究生，中學一級教師，佛山市順德區高中數學兼職教研員，從事高中數學教學工作.