基于數學本質的幾何概念教學有效路徑

史偉琴

【摘 要】數學本質是指從數學學科的視角研究數學知識究竟是什么，包括數學知識的來源、發展以及運用。基于數學本質的教學設計，是正確實施數學課堂教學的前提。文章從整體視角分析，厘清本質；創設問題情境，直逼本質；經歷數學化過程，形成本質；感悟數學思想，強化本質幾個方面闡述基于數學本質進行幾何概念教學設計。

【關鍵詞】數學本質 幾何概念 教學路徑 教學設計

數學本質是指從數學學科的視角研究數學知識，包括數學知識的來源、發展以及運用。基于數學本質的教學設計，是有效實施數學課堂教學的前提。幾何概念能反映幾何圖形的本質屬性，經歷了從感性認識到理性認識的抽象過程。那么，如何凸顯數學本質，進行幾何概念教學設計呢？可以從以下幾方面展開。

一、整體視角分析，厘清本質

整體的視角意味著要從多角度分析數學知識，而不是單一地、孤立地看待數學知識。數學知識的本質并不等同于數學教材中的描述與說明。數學教材往往要考慮學生的接受能力，有時會舍去一些嚴謹性而規范性的表達。同時，數學教材由于篇幅的限制不可能充分展開，只能摘其要點，不會對“是什么”“為什么”“怎么用”等進行完整的敘述。

例如，圓的本質是什么，可以從數學教材中圓的概念部分去解讀。在數學教材中，對于“圓”的定義主要采用的是描述性的定義，通過圓的要素半徑和直徑的特征來幫助學生了解圓這種圖形。中學階段圓基本上給出的是幾何定義：平面內到定點的距離等于定長的所有點組成的圖形，其中定點和定長分別為該圓的圓心和半徑。當然，圓還有其他兩種定義說法：一種是軌跡說，另一種是集合說。從幾種不同的定義方式，我們能發現小學階段的圓的定義采用的是靜態定義方式，比較直觀，利于形成圓的表象；而初中階段針對圓的定義采用的是動態定義的方式，在運動過程中體現出圓的本質特征，即到定點距離一定的所有點運動形成的曲線圖形。

圓的本質是什么，還可以通過數學史去梳理。中國歷史上最早提出圓的概念的是墨子。早在2000年前，《墨經》中就記載了“圓，一中同長也”。

從整體的視角分析意味著要弄清知識的來源、發展與應用，教師可以從數學概念定義本身出發，厘清不同定義的區別和聯系，把握數學知識的基本內涵；也可以從數學知識的發展脈絡出發，梳理不同歷史階段人們對數學知識的理解，弄清知識的來龍去脈，從而深刻把握知識的本質。

二、創設問題情境，直逼本質

把握了知識的本質，接下來要思考怎樣把知識的學術形態轉為可為學生可接受的教育形態。知識的教育形態是指將知識融入適當的問題情境中，讓學生基于情境進行學習。這種問題情境往往基于學生的數學現實，蘊含著數學知識的原型，同時又帶有一定的問題意識，可以激發學生強烈的探究欲，引發認知沖突。

如在蘇教版數學五年級“圓的認識”一課的教學設計中，為了凸顯圓的動態定義這一核心知識，筆者創設了一個具有探究性的問題情境：同學們將要進行一個游戲活動——套圈。至少3個同學做套圈游戲，怎樣站立才公平？套圈的位置可以用一個圓點表示，玩家的人數可以是3人、4人，甚至更多的人。明白了嗎？出示學習單（如圖1），學生自主思考。

在“套圈游戲”的情境中，蘊含著一個問題：怎樣站才公平。這一情境的創設從套圈游戲到怎樣站才公平，有意識地引導學生學會從數學角度發現和提出問題。“怎樣站才公平”這一問題助推學生主動參與數學活動，積極探索新知。學生在自主探究過程中形成的活動經驗也是進一步學習的基礎。由此，學習不斷深入，直至問題解決。在解決問題的過程中，學生能感悟到圓的本質，即到定點距離定長的點的集合，從而進一步理解“圓，一中同長也”。合理的問題情境不僅可以凸顯數學知識的本質，還要設法讓學生“卷入”探究過程中。

三、經歷數學化過程，形成本質

弗賴登塔爾認為，學生學習數學是一種“數學化”的過程。數學化就是數學地組織現實世界的過程。這里的“數學化”過程不能僅僅依靠教師的灌輸，更重要的是學生自我的建構，讓學生嘗試用自己的方式表達對數學的理解，建立數學知識之間的內在聯系。在此基礎上，不同思維層次的學生通過互動交流，不斷糾錯，不斷完善，才能實現感性經驗向理性知識的躍升，完成感性經驗向數學知識的轉化。

如在教學“圓的認識”一課時，教師創設了“套圈游戲”的問題情境后，組織學生交流匯報。

【教學片段】

學生交流后，匯總出了5種不同的方法。

方法1：排成一條直線的。

方法2：排成長方形，人放在頂點。

方法3：擺成正方形，人的位置放在頂點和每條邊的中點。

方法4：擺成正三角形、正多邊形的，人放在頂點。

方法5：放在一段弧上的。

師：同學們真愛動腦筋，想出了這么多方案。這些方案有什么共同點？看來只要點到中心點的距離相等就可以。

師：如果兩個人之間的距離相等，就會形成正三角形；如果四個人呢？人越來越多，會形成什么樣的圖形？

師：結合剛才的研究，閉上眼睛想象，你認為圓是一個什么樣的圖形？

生：到中心一樣長的無數點就形成一個圓。

本節課中出現了比較有代表性的3個學生的作品。1號作品（如圖2），學生通過測量或根據已有的知識“點到直線的所有線段中，垂直線段最短”，能夠發現這一設計是存在缺陷的，由于每個人到套圈位置的長度不同，游戲是不公平的；2號作品（如圖3），通過精準的測量，展示每個人到套圈位置的距離要相等；3號作品（如圖4），在測量的基礎上，又進一步發揮自身的想象，把可能的點的位置描了出來。不同作品體現出學生不同的思維特點，通過課堂中的交流辨析，學生都能領悟到“圓，一中同長”這一本質特征。

在此基礎上，多數學生已經感受到這些點的集合會形成一個圓形。此時，教師設計想象無數點匯集成圓這一環節。圓，作為一個抽象的數學圖形，在生活中雖然隨處可見其實物模型，但這些都不是真正數學意義上的圓。數學意義上的圓是沒有瑕疵的，沒有直線的，這些特質只能付諸學生的自我想象。這一環節中想象圓的形成過程是不可缺少的部分，突破圓的實物模型束縛，領悟數學中的圓的本質。

四、感悟數學思想，強化本質

從數學本質出發，不僅要關注數學知識的本質，還要深入分析數學思想。數學可以分成不同的知識板塊，知識之間有著聯系和區別。如果將數學知識比喻成散落的珍珠，那么數學思想就是將這些珍珠串聯起來的金線。解釋和分析現實世界的數學知識會不斷地更新，但數學基本思想是數學的靈魂。

如在蘇教版數學五年級上冊“圓的面積”的教學中，教師在引導學生探究圓的面積推導時，就設計了體悟轉化這一思想的教學環節。首先，通過回顧學過的長方形、正方形、三角形、梯形等平面圖形面積的推導過程，激活學生已有的認知經驗，體會轉化思想，為圓的面積推導做鋪墊。但圓不同于其他直線圖形，它是一種曲線圖形，那么如何進行分割，將其轉化成哪種我們學過的圖形來推導它的面積，就成為學生迫切需要思考的問題。對于如何轉化圓這一曲面圖形這一問題，教師先讓學生動手嘗試未果后，出示一張生活中常見的比薩圖片，學生便恍然大悟，可以從圓心，沿著圓的半徑等分圓。

解決了如何分割圓之后，轉化成哪種平面圖形進行推導？聯系已有直線圖形的面積推導，學生不僅可以想到轉化成平行四邊形、長方形，也可以轉化成不常見的三角形和梯形。（如圖5）

【教學片段】

師：我們通過生活中等分比薩的事例，類比出等分圓的方法。那么，我們需要將圓這一曲線圖形轉化成哪種學過的平面圖形呢？

小組合作，拼一拼，說一說圓的面積推導過程。

生1：我把圓等分16份后，可以將其轉化成平行四邊形。平行四邊形的底是圓周長的一半，高是圓的半徑，底×高就得到平行四邊形的面積，也就是圓的面積。

生2：也可以將圓轉化成一個梯形來求，上底和下底的長度和就是圓周長的一半，高是圓半徑的2倍，利用梯形面積公式，求出梯形面積，也就是圓的面積。

生3：我把圓轉化成了一個三角形，三角形的底是圓周長的，高是半徑的4倍，據此就能求出三角形的面積，也就是圓的面積。

師：用這些方法雖然將圓轉化成不同的平面圖形，但有什么相同的地方？

生4：都是將圓轉化成我們學過的平面圖形，找到轉化過后底和高與原來圓的關系，再推導出圓的面積公式。

……

如此體現轉化的具體方法的多樣化，進一步拓寬學生的思維空間，增強學生思維的靈活性。

【參考文獻】

[1]傅贏芳，喻平.從數學本質出發設計課堂教學——基于數學核心素養培養的視域[J].教育理論與實踐，2019（20）.

[2]石志群.數學教學如何突出數學本質[J]. 數學通報，2019（6）.

[3]弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995．