解三角函數最值問題的不同策略分析

于飛

【摘? 要】? 三角函數最值問題是高中數學三角函數主要內容的凝練，以填空或者選擇題形式較為常見.求解三角函數最值問題有對應的策略，如利用函數的有界性、換元方法以及配方法對問題做出解答，掌握這些解題策略有助于學生把握解題思路，提升解題效率.本文結合例題對不同解題策略進行分析，具體介紹三種解答三角函數最值的方法與思路.

【關鍵詞】? 高中數學；三角函數；最值問題

1? 利用函數有界性求解

利用函數有界性這一解題策略，實質上是指借助輔助角公式或恒等變換公式將問題相關解析式轉化為類型的解析式，在已知區間內討論變形后三角函數的單調性，繼而得到最值大小.

解題思路為：①對問題所求的解析式進行分析，運用輔助公式和三角變換恒等式將其等價轉化為，②求出變形后的定義域區間，討論對應單調性，③根據單調性求得最值，也等價于問題所求最值.

例1? 已知函數試求出應取何值時取最大值.

剖析? 首先對解析式進行觀察與分析，可利用公式和將原函數解析式中所含角度一致，然后借助輔助角公式對其變形得到.由于未對定義域做出特殊規定，故對應范圍求得知，在具體范圍內討論的單調性，依照具體單調性即可推斷得到函數的最值大小.

解? 由題意可得，

，

因為，

所以當，

即時函數有最大值，

當時，函數取最大值，.

2? 利用換元方法求解

求解三角函數的最值，也可利用換元法求解，解題關鍵在于引入變量對函數解析式進行簡化，使其轉化為更為熟悉的函數模型，再根據定義域求得最值.

運用此解題策略求解三角函數最值的具體步驟為：①引入變量對問題所求解析式進行等價替換，常見的換元方式有，，用新變量表示解析式，②根據已知條件得到新變量的范圍，列出與函數相關的不等式或不等式組并解答，③所求的最值，等價于問題所求原三角函數的最值大小.

例2? 已知函數，求函數的最大值.

剖析? 原函數解析式中包含有兩種三角函數形式，故可考慮運用換元簡化該解析式.考慮對 用變量替換，進而用表示出原函數式，得到.求出的取值范圍，在相關范圍內求一元二次函數的最值，即可得到的最值大小.

解析? 假設

聯系，

可得，

所以，，

當，即，

.

3? 利用配方法求解

配方法求解三角函數最值問題，也是常見的一種解題策略，主要對問題所求解析式進行配方，得到類似的解析式，進而在對應范圍內求出三角函數的最值.

具體的解題思路為：①對問題有關解析式進行添項或減項進行配湊，得到形式的解析式，②根據已知條件求出或的范圍，在對應范圍內求出一元二次函數的最值，③所求的最值大小，即為問題所求三角函數的最值.

例3? 求函數的最大值.

剖析? 首先對解析式進行化簡，運用倍角公式得到，此時可對解析式進行配湊，得到等價的函數解析式.由于問題為對做出限定，故可知，在對應范圍內求解一元二次函數的最值，即可得到問題所求的三角函數最值.

解析? 由二倍角公式化簡可知

，

配方得，

因為 ，

所以時，即 時，

有最大值，.

故函數的最大值為.

4? 結語

不同解題策略具有各自特點的解題思路，從上述例題的分析中不難得知這三種解題策略都要靈活運用恒等變換公式、輔助角公式以及一些常見關系等式.熟悉并掌握這些不同解題策略，是學生要保證解題正確率的重要前提，也是拓展學生解題思路的重要內容，應得到一定程度的關注與重視.

參考文獻：

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