在一般觀念引領下研究概率的性質

摘" 要：概率是研究隨機現象的數學分支，其研究工具是代數、函數等重要知識. 研究概率的一般觀念就是要運用類比、歸納、特殊化和一般化等邏輯推理方法進行思考，且類比的方法在概率的研究中體現得尤為突出. 概率的研究對象是隨機事件，而隨機事件又是樣本空間的子集，因此可以類比集合的研究方法對隨機事件展開研究；概率和隨機變量本質上都是一種映射，是廣義上的函數，于是又可以類比函數的研究方法對概率和隨機變量進行研究，建立相應的研究路徑，并發現它們的研究內容和研究方法. 通過大量邏輯推理方法的運用，讓學生逐步體會到一般觀念在概率學習中發揮的重要的思維引領作用.

關鍵詞：概率；一般觀念；數學思維；邏輯推理

中圖分類號：G633.6" " "文獻標識碼：A" " "文章編號：1673-8284（2024）11-0005-05

引用格式：謝永清，王雙兵. 在一般觀念引領下研究概率的性質［J］. 中國數學教育（高中版），2024（11）：5-9.

對于數學教師而言，認真鉆研教材，理解教材的編寫意圖是提高自身教學水平的有效途徑. 章建躍博士強調在數學教學中發展學生思維能力的重要性，認為注重一般觀念的思維引領作用可以提高學生思維的系統性和結構性，有效克服“做得到但想不到”的尷尬，使數學發現更具“必然性”，為實現育人目標提供了重要途徑. 在數學教學中，教師可以通過引導學生類比、建立研究路徑等方法培養學生的思維能力，使學生在面對問題時總能想到辦法. 認真研究人教A版《普通高中教科書·數學》（以下統稱“人教A版教材”）和對應的教師教學用書就會發現，該理念已經融入其中. 例如，人教A版教材必修第一冊教師教學用書第15頁寫道：“教科書除了介紹集合的基本知識，還特別注意指引學生‘如何研究一個數學對象’，即引入一個新的數學對象后，需要研究些什么，研究方法是什么等. 事實上，這是整套教科書貫穿始終的編寫理念之一.”用一般觀念的視角審視數學知識，超越碎片化的知識觀，追求數學的整體性，是人教A版教材的最大特點之一.

章建躍博士多次提到，數學教師在教學中一定要重視一般觀念的思維引領作用，提升課堂教學的品位. 那么，到底什么是數學中的一般觀念？他給出數學中的一般觀念的定義：所謂一般觀念，是對內容及其反映的數學思想與方法的進一步提煉與概括. 它涵蓋了對數學對象的定義方式、幾何性質、代數性質、函數性質、概率性質等問題的一般性回答. 他認為，一般觀念不僅是研究數學對象的方法論，更是學生學會學習的重要標志. 該定義對教師的教學工作具有非常重要的指導意義. 他多次在講座和文章中直接談到如何運用一般觀念在函數、代數、幾何中進行教學. 例如，在函數性質的教學中，要注意“變化中的不變性就是性質，變化中的規律性也是性質”（人教A版教材必修第一冊第76頁旁白）這一一般觀念；在代數的教學中，要重視“運算中的不變性就是性質”（人教A版教材必修第一冊第40頁旁白）這一一般觀念；在立體幾何的教學中，要重視“幾何體的組成元素及其相互關系”（在人教A版教材必修第二冊第97頁節引言中首次出現）這一一般觀念. 那么，在概率的教學中，什么是概率的一般觀念呢？怎樣運用概率的一般觀念進行有效教學呢？

通過研讀相關文獻，發現對于概率的一般觀念具體指什么，并沒有像函數、代數、立體幾何等內容一樣給出明確的說法. 但是根據上述一般觀念定義的第一句就可以找到獲得概率一般觀念的方法，即概率內容所反映的數學思想和方法正是它的一般觀念. 概率是研究隨機現象數量規律的數學分支，采用了集合語言、代數、函數等研究工具. 因此，可以類比確定性數學的研究方法，運用邏輯推理的方法進行思考，如類比、歸納、特殊化和一般化等方法的運用.

一、大量運用邏輯方法，發揮一般觀念的方法論作用

概率研究的對象是隨機現象，屬于不確定性數學. 對于不確定性數學，如果經驗不足，必然會想到能否借助確定性數學的研究方法進行研究. 正是這種自然而然的想法，使得在概率的研究中大量使用了與確定性數學中合適的數學對象進行類比探究的方法，且概率的一般觀念就體現在運用這些邏輯推理的方法中. 對于不確定性數學，采用整體類比確定性數學的方法進行研究，具體如下.

1. 類比確定性數學對象的研究套路

通過確定性數學對象的研究，可以知道研究一個數學對象的基本套路是：實例—定義—表示—分類—特例—關系—性質—應用. 因此，可以通過類比得到概率知識的研究套路，如圖1所示.

2. 類比函數的研究路徑，形成概率的研究路徑

由于概率是一個映射，因此可以將其視為定義在樣本空間子集上的“集函數”. 由此，可以通過類比函數的研究路徑，構建概率的研究路徑，并發現概率的研究內容與研究方法. 類比的研究結構和內容如表1所示.

3. 類比集合的關系與運算，理解事件的關系與運算

由于隨機事件被定義為樣本空間的子集，因此可以通過類比集合的關系與運算研究事件的關系與運算，具體過程如表2所示.

4. 類比函數的性質，發現概率的性質

由于概率是一個映射，是自變量為集合的一種“集函數”，因此可以類比函數的性質發現和提出概率的性質. 例如，類比函數的特殊值、值域、單調性等性質，可以研究必然事件、不可能事件等特殊事件的概率、概率的取值范圍，以及概率的單調性等性質，具體如表3所示.

5. 類比度量的性質，提出概率的性質

由于概率是對事件發生可能性大小的一種度量，因此可以通過類比度量的性質提出問題. 例如，類比幾何度量的基本性質（如非負性、運動不變性、疊合性、有限可加性和不可公度性等）可以研究概率的基本性質，包括非負性、規范性和可加性等.

6. 類比集合中的元素個數，得出概率的性質

由于概率的性質建立在隨機事件的關系與運算的基礎之上，且事件的關系與運算本質上又是集合的關系與運算. 因此，可以類比集合中的元素個數關系進一步得出概率的性質，具體如表4所示.

此外，由于概率自身具有特殊性，因此概率具有區別于集合的性質. 例如，交事件的性質要用到條件概率：對任意兩個事件A與B，若[PAgt;0]，則[PAB=][PAPBA].

特別地，當事件[A]與事件[B]相互獨立時，有[PAB=PAPB].

7. 通過類比函數的研究路徑，展開對隨機變量的研究

我們知道隨機變量是對隨機試驗可能結果的量化呈現，從本質上說，它是樣本空間向實數集的映射. 在引入隨機變量的概念后，與之相關的隨機事件同樣能夠借助隨機變量的表達式予以表示. 離散型隨機變量的分布列能夠類比函數的表示方式進行展現，進而通過計算隨機變量的數字特征進行決策.

人教A版教材選擇性必修第三冊中對隨機變量的定義為：一般地，對于隨機試驗樣本空間[Ω]中的每個樣本點[ω]，都有唯一的實數[Xω]與之對應，我們稱[X]為隨機變量. 從該定義中可以看出隨機變量其實就是一個映射，其定義與函數的定義類似，這里的樣本點相當于函數定義中的自變量，而樣本空間相當于函數的定義域，隨機變量相當于函數值，隨機變量的取值范圍相當于值域. 如果這樣理解，離散型隨機變量與數列更類似，因為數列本質上就是自變量取正整數時所對應的一列函數值，只不過數列與順序有關，而離散型隨機變量的各個取值與順序無關. 另外，隨機變量與一般意義上的函數定義最明顯的區別在于隨機試驗的樣本空間[Ω]不一定是數集，而高中階段所描述的函數的定義域必須為非空數集. 不過，隨機變量也可以說是一種廣義上的函數.

實際上，為了描述隨機變量，只知曉它的可能取值是遠遠不夠的，更重要的是要了解它取各個值或者在某一范圍內取值時所對應的概率，即概率的分布. 例如，拋擲一枚骰子，只知道向上的面的點數可以為1，2，3，4，5，6并不夠，更重要的是要知道每個點數出現的概率都是[16]. 這樣就產生了另一個更重要的函數，即隨機變量的分布函數：設[X]是一個隨機變量，對任意實數[x]，稱[Fx=PX≤x]為隨機變量[X]的分布函數. 具體來說，離散型隨機變量的概率分布列[PX=xi=pi i=1，2，…]具有[pi≥0]，且[pi=1]的性質，所以我們可以把[pi]解釋為分布在質點[xi]上的質量，其質點組的總質量為1. 類似地，也可以把連續型隨機變量[X]落在區間[a，b]上的概率[Palt;Xlt;b]看作區間[a，b]的質量. 討論線段的質量，關鍵在于線段的密度，研究某一點的質量是沒有意義的. 相應地，研究連續型隨機變量[X]取某個值[x0]的概率也是沒有意義的，只有說隨機變量[X]落在某個區間內的概率才是有意義的.

對于隨機變量[X]，如果存在非負可積函數[px][x∈R]，使對任意[a，b alt;b]都有[Palt;Xlt;b=abpxdx]，則稱[X]為連續型隨機變量，[px]為[X]的概率密度函數（簡稱為概率密度或者密度）. 由此定義可知，連續型隨機變量與概率密度函數是同時定義的. 從以上定義中可以看出，隨機變量的學習重點是對由隨機變量作為自變量產生的函數進行研究. 因此，無論是離散型隨機變量還是連續型隨機變量，都可以通過類比函數的研究路徑和方法進行探究，并且可以根據它們各自的特點，選擇不同的數學工具表示隨機變量的概率分布，從而建立各種概率分布模型，如兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態分布等. 這些模型能夠便捷、有效地刻畫隨機現象. 該過程與引入函數概念后，針對現實中直線上升（下降）、指數增長（衰減）、對數增長、周而復始等現象，選用不同數學工具表示變量之間的對應關系，進而建立冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等基本初等函數的做法類似. 利用基本初等函數可以有效描述現實世界中的各種確定性現象.

具體來說，對函數的研究從定義出發，先研究一般函數的表示方法、性質，再研究幾類重要的基本初等函數（包括冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等），最后研究函數的應用. 當然，對這些函數的研究同樣遵循了這樣的研究過程，即“實例—定義—性質與圖象—應用”，這也是研究一個數學對象的基本套路.

隨機變量也從定義出發，先研究與隨機變量相關的表示與性質，再研究幾類重要的隨機變量分布（兩點分布、二項分布、超幾何分布、正態分布等），最后研究隨機變量的應用.

函數的表示方法主要有解析法、列表法、圖象法，隨機變量也具有類似的表示方法；函數的性質有單調性、奇偶性、最值、周期性、對稱性等，隨機變量也具有性質，包括概率的非負性、概率和為1等. 另外，還研究了離散型隨機變量的數字特征，即均值與方差，它們分別反映了隨機變量取值的平均水平與離散程度.

在研究函數時，一般函數與幾類重要的基本初等函數的研究路徑一致，隨機變量的研究同樣可以類比函數的研究方法，在研究幾類重要分布時，分別研究它們各自的均值與方差等性質.

8. 通過特殊化方法得到特殊事件的概率

由概率的定義出發，可以非常直觀地得出：隨機事件概率的取值范圍為[0，1]，然后將隨機事件特殊化為必然事件和不可能事件，可知必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.

9. 運用特殊到一般、一般到特殊的推理方式

通過類比幾何度量的可加性可以得到概率的加法公式，即若事件A，B為互斥事件，則有[PA?B]=[PA+PB]. 去掉“事件A，B互斥”這一條件，通過類比集合中元素的個數的計算公式“若A∩B =[?]，則[cardA?B=cardA+cardB]”，將其一般化，可以得到“[cardA?B=cardA+cardB-cardA∩B]”. 結合具體實例進行歸納，可以得出更一般化的并事件的概率計算公式：[PA?B=PA+PB-PA∩B]. 此外，將概率的加法公式推廣到一般情形，即如果事件[A1]，[A2]，…，[Am]兩兩互斥，那么有P[A1]∪[A2]∪ … ∪[Am]=[PA1+PA2+…+PAm]. 對概率的加法公式再次進行特殊化處理得到：當A∪B = Ω，即事件A與B互為對立事件時，有[PA+PB=1].

二、感悟概率中的數學思想，升華對一般觀念的理解

一般觀念除了體現在數學方法的研究中外，更深層次地體現在運用這些方法時感悟內容所蘊含的數學思想，只有這樣才能加深學生對一般觀念的理解.

1. 隨機思想

概率旨在研究隨機現象的規律性，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法，其核心思想為隨機思想. 因此，概率內容的教學應該以理論聯系實際為導向，借助概率知識解釋客觀事實和某些規則的合理性，并進行風險決策，使學生在解決實際問題的過程中領悟隨機思想，提高數學抽象、數學建模等素養.

2. 模型思想

隨機數學中的一部分內容可以借助概率的模型予以呈現. 例如，古典概型、伯努利概型和正態分布等皆能從隨機問題中探尋到具體特點. 基于此，學生要能夠構建抽象模型或者現實模型對該隨機問題進行刻畫. 因此，教師要引導學生通過對多個實例進行總結、理解和概率模型的運用，提高學生構建模型的能力，從而在概率的學習中，讓學生加強理解，不斷感悟模型思想.

概率課程主要的育人功能在于培養學生分析隨機現象的能力，同時提升學生的數學抽象、邏輯推理、數學建模和數學運算等素養. 在概率的教學中，教師要充分發揮一般觀念的理性思維引領作用，發展學生認識不確定性現象的思維模式，讓學生學會辯證地思考問題，最終成為善于認識問題、解決問題的優秀人才.

參考文獻：

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基金項目：山西省教育科學“十四五”一般規劃課題——一般觀念指引下的高中數學單元教學實踐研究（GH-240026）.

作者簡介：謝永清（1969— ），男，正高級教師，主要從事高中數學教育和課堂教學研究；

王雙兵（1979— ），男，高級教師，主要從事高中數學教育和課堂教學研究.