基于APOS理論的高中數學概念教學研究

【摘要】數學概念是數學知識體系的核心，是其他數學知識學習的基石.APOS理論詳細闡述了概念形成的四個階段，分別是活動、過程、對象和圖式，為建構主義倡導的“學習需要經歷同化、順應、平衡過程”的思想在教學實踐中提供了路徑和方法.文章以普通高中教科書選擇性必修第一冊數學人教A版“圓的方程”這一課的概念為例，探討了如何運用APOS理論指導教學，引導學生親身參與數學概念的生成過程，從而實現對新概念的感知、理解、形成和內化，以期提高數學概念教學效果，落實數學學科核心素養的養成.

【關鍵詞】APOS理論；高中數學；概念教學

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》強調了核心概念教學的課程理念，突出了教師在教學過程中對學生自主構建核心概念框架的引導作用.然而，受應試教育觀念的制約，教師往往采用以自身為主導的講授方式，導致學生缺乏自主搭建概念的思維過程，不利于學生對概念的深刻理解.數學概念作為構建數學知識體系的基石，具有高度的抽象性和廣泛的應用性.因此，教師需要有序地引導學生，以系統的方式構建這些概念.

根據建構主義的觀點，學生在學習過程中不是被動地接受知識，而是主動地將自身已有的認知結構與外部環境相協調，從而形成新的認知圖式.建構主義強調學生對知識進行深層次的理解和記憶，而不是表面化的重復和記憶.APOS理論強調學生的過程性學習.該理論提出了學生習得概念應當經過4個階段，與建構主義具有相似之處.因此，將APOS理論運用到高中數學教學中是一種具有價值的探索.

一、APOS理論與數學概念教學

APOS理論是由美國數學家杜賓塞斯等人基于建構主義學習理論建立的一種數學概念教學理念.該理論將數學概念的建構過程分為活動、過程、對象和圖式四個階段.活動（Action）：通過體驗與概念有關的情境，學習者在參與設計好的活動中，對概念形成初步的理解.過程（Process）：學生對外顯數學活動進行描述和反思，經過內化和概括，把概念的所有特征抽象出來.對象（Object）：學生賦予抽象出的概念形式化的定義及符號，確立概念的內涵、性質.圖式（Scheme）：其是指與其他概念建立聯系，形成綜合的知識結構，并將其納入自身的認知體系中，與已有的知識建立新的實質性聯系.

二、數學概念教學

（一）數學概念

在學界，關于“數學概念”的定義存在多種觀點，但他們普遍強調“數學概念”是一種認知方式，本質上是人腦對現實對象的數量關系和空間形態的表達方式.筆者在概括不同“數學概念”定義的基礎上，將數學概念確定為“數學概念是個體利用數量關系和空間形態通過分析、綜合、抽象和概括等對現實對象簡明、概括的反應”.

（二）數學概念教學

數學概念教學是指將數學概念作為主要內容，教師通過恰當的教學方法，有序地組織教學活動，引導學生明確概念的內涵與外延，系統性地歸納和分析數學概念背后的規律和原理，構建全面的概念結構體系，使學生形成對數學基本的、概括性的認識.

三、基于APOS理論的高中數學概念課教學案例

（一）教學實錄

活動階段（Action）：

活動1：教師引導學生觀察多媒體上展示的生活中常見的圓形圖案（自行車輪、摩天輪、瓶蓋等），讓學生欣賞圓的美感和實用性.

活動2：教師介紹數學史上關于圓的一些知識，讓學生了解圓的文化內涵.例如，古希臘的哲學家畢達哥拉斯認為：一切平面圖形中，圓形是最美的圖形；一切空間圖形中，球形是最美的圖形.“圓”字對國人也有特殊的情結，因為其有團圓的寓意，因此有了中秋節、元宵節這些與圓密切相關的節日.

設計意圖：通過活動，教師引導學生從生活中發現和感受圓的存在和意義，培養學生的數學美感和文化素養.

過程階段（Process）：

問題1：直線與圓都是平面幾何中的兩種基本圖形.在上節課直線方程的學習中，我們都研究了哪些問題？

追問：類比直線的研究過程，如何研究圓的方程呢？

師生活動：回顧上一節直線的研究內容與方法：首先，我們利用代數的方法，根據直線的幾何特征在平面直角坐標系中建立了直線方程；其次，我們通過直線方程探究與直線有關的位置關系、幾何度量等問題.同理，我們可以用類似的方法研究圓：首先，根據圓的幾何特征在平面直角坐標系中建立圓的方程；其次，通過圓的方程探究與圓有關的位置關系、幾何度量等問題.

問題2：在平面直角坐標系中，直線方程是如何建立的呢？

師生活動：根據直線的幾何要素（過直線的一點和直線的方向）在平面直角坐標系中建立直線方程的點斜式.

追問：類比直線方程的建立過程，如何確定一個圓呢？

師生活動：我們回顧一下初中對圓的定義：圓是平面內與一個定點（圓心）的距離等于一個定長（半徑）的點的集合.由此可見，圓的位置和大小是由圓心和半徑確定的.因此，我們只要知道圓心的坐標和半徑的長度，就可以在平面直角坐標系中確定一個唯一的圓.

問題3：設圓心A（a，b），半徑為r（r>0），怎樣求得圓的方程呢？

設計意圖：在過程階段，教師從學生的最近發展區出發設置一系列問題，能引導學生回顧和總結直線方程的研究過程與方法，并借助類比思想引導學生探索圓的研究過程與方法.根據圓的幾何性質以及兩點間距離的公式，教師能幫助學生初步推導出圓的標準方程.整個過程銜接自然，能讓學生體會概念的生成過程并對概念形成初步的認識和理解.

對象階段（Object）：

追問：方程（1）一定表示圓的方程嗎？

師生活動：要判斷是否是圓的標準方程就要明確M的坐標與圓上的點是否滿足一一對應的關系.如果點M（x，y）在圓上，那么它到圓心的距離就等于半徑r.根據兩點間的距離公式，我們可以得到方程（1）；反過來，如果一個點滿足方程（1），那么它到圓心的距離也就等于半徑r，所以它也在圓上.因此，方程（1）就是圓的方程，它表示了平面內與點A（a，b）的距離等于r的所有點的集合.我們把這種方程叫作圓的標準方程，因為它的形式簡潔，并且可以直接看出圓的圓心和半徑.

例1 求圓心為A（2，-3），且經過點B（6，0）的圓的標準方程.

設計意圖：在對象階段，目的是讓學生深入理解圓的標準方程的本質和特點，掌握其推導和應用的方法.首先，通過追問和師生活動，教師引導學生深入思考方程（1）是否一定表示圓的方程，以及如何判斷一個方程是否是圓的方程，從而加深學生對圓的標準方程的理解.其次，通過具體的例題和問題，教師引導學生從幾何和代數兩個角度分析圓與方程之間的一一對應關系，體會數形結合思想.最后，師生共同歸納總結，教師讓學生掌握點與圓的位置關系的判定方法和公式，為后續學習做好鋪墊.

圖式階段（Scheme）：

練習1：寫出圓心為A（2，-3），半徑為5的圓的標準方程，并判斷M（5，-7），N（4，2）與圓的位置關系.

練習2：已知△AOB的三個頂點分別是點A（4，0），O（0，0），B（0，3），求△AOB的外接圓標準方程.

師生活動：教師引導學生從幾何與代數兩個角度思考，進行小組交流，求得圓的標準方程，然后請學生代表上臺板演，師生共同評價.

問題5：你能對本節課的學習做一個概括嗎？請嘗試將今天所學的內容與之前的內容聯系起來.

師生活動：教師引導學生分別從所學內容與所用思想方法兩個維度進行總結與概括，和學生共同梳理本節課知識與之前所學知識之間的聯系，繪制知識網絡圖，使學生在頭腦中形成知識結構體系.

設計意圖：在圖式階段，教師通過練習題檢測學生對本節課知識的掌握情況，引導學生從幾何與代數兩個角度思考問題，求得圓的標準方程.同時，教師讓學生對本節課知識進行梳理與總結，明確本節課的學習內容，領會本節課的數學思想方法.這個過程不僅有助于學生反思和整理知識，而且對提高學生的數學語言表達能力和在頭腦中搭建知識圖式起到重要作用.

（二）教學啟示

1.活動階段———創設情境，激發興趣：活動階段是學生對概念理解的起點，強調學生感受圓的美和底蘊，體會圓與現實生活以及與傳統文化間的聯系.在這一階段，教師需要結合實際生活創設恰當的情景，使學生領悟概念產生的背景與概念間的聯系，激發學生的學習興趣.

2.過程階段———類比推理，引入概念：過程階段是學生形成概念的必經之路，強調學生將舊知與新知建立聯系，構建概念的研究過程與方法.在這一階段，教師需要不斷引導和提問，讓學生主動思考和進行類比，獲得概念的構建過程，提煉出概念的本質特征.

3.對象階段———精致定義，深化內涵：對象階段是學生深入理解概念的關鍵一節，強調學生對概念進行理解和反思，從不同角度抽象出概念的內涵與外延.在這一階段，教師需要引導學生辨析、總結并歸納概念，深化概念內涵，擴展概念外延.

4.圖式階段———鞏固加深，搭建體系：圖式階段是將“活動”“過程”“對象”三個階段進行整合而形成的一種認知結構和心理圖式的過程.在這一階段，教師需要引導學生將所學的知識通過自己的邏輯思維串聯起來，構建知識網絡，完善概念結構體系.

結 語

APOS理論強調從學生的最近發展區出發，將概念與學生已有的認知經驗相聯系，依次經歷構建概念的各個階段，從初步感受概念的“活動階段”到構建概念體系的“圖式階段”.整個過程循序漸進，深入淺出，符合學生在概念學習過程中螺旋式上升的思維發展規律，有利于學生理解和掌握，對高中數學概念教學也有積極的導向作用.教師應積極探究APOS理論在高中數學教學中的運用策略，搭建合理的概念教學框架，不斷提高教學的質量與效率，促進學生更好發展.

【參考文獻】

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