基于波利亞解題理論的高中數學習題課教學探究

【摘要】為響應核心素養培育號召，踐行高中數學科目新課改戰略，保證學生學科能力和數學思維的綜合發展，文章引入波利亞解題理論進行了深入系統探究.先簡要分析波利亞解題理論在高中數學習題課教學中的應用價值，然后基于波利亞解題理論，探索高中數學習題課教學策略及要點，提出理解題目培養良好審題習慣、制訂計劃提高日常解題效率、妥善執行鍛煉解題分析能力、及時回顧鍛煉解題邏輯思維等建議，希望能為高中數學教學實踐提供借鑒.

【關鍵詞】波利亞理論；高中數學；習題課

引 言

波利亞解題理論是現代數學教育中較為流行的研究話題之一，主張從理解問題、擬定計劃、執行計劃、回顧反思四個階段入手推進題目解析，以提高解題效率，鍛煉學生的解題能力和邏輯思維.近年來我國高度關注高中階段課程改革問題，結合國內教育形勢提出了核心素養培育號召，如何引入和應用波利亞解題理論，如何讓波利亞解題理論成為發展核心素養、培養良好習慣的驅動引擎，成了諸多教育學者、高中教師關注的焦點問題，有必要進行深入探究.

一、波利亞解題理論在高中數學習題課教學中的應用價值

（一）有助于優化課堂教學效率

高中數學學科知識點密集，邏輯體系嚴謹縝密，解題過程中學生不僅要牢固掌握基礎知識，還要把握一定的解題分析技巧和規律，確保解題速度和效率的提升.傳統習題課模式中，多采用題海戰術、反復練習的教學方法，學生難以準確把握解題規律，長此以往還容易打擊學生的學科興趣和自信.而波利亞解題理論采用分步驟解題思路，主張在解題之前先引導學生理解問題、擬定計劃，在具體計劃的指引下轉換已知條件、明確問題指向，并找到解題的思路和方向，解題過程更加條理清晰，可以在防止缺漏、遺忘的同時，提高解題速度，有助于優化習題課教學效率.在習題課結束之后，波利亞解題理論還倡導及時的反思回顧，能夠更好地幫助學生梳理所得，鞏固既有的解題流程和思路，避免出現盲目、無措的情況，保證教學效率的提升.

（二）有助于增強學生解題能力

解題能力是高中數學習題課教學的目標培養能力之一，傳統方式下學生多以重復訓練為主，容易刻板、單一地模仿教師的解題方法，進而損傷學生主動探索、主動思考的積極性.而波利亞解題理論科學性、先進性特征十分明顯，學生基于該理論進行習題解答時，會有意識地進行題目的理解，挖掘題目中存在的已知條件和隱含條件，精準捕捉和簡化相關問題，同時做好計劃的制訂、執行工作.后續的所有解題操作均是在嚴謹、縝密的計劃指引下進行的，有助于節省試誤精力和時間，進而促進學生解題能力的發展.此外，波利亞解題理論尤其強調了反思回顧階段的重要性，學生在經歷過習題課的訓練之后，通過錯題集查缺補漏，對應完善基礎知識架構、掌握解題方法技巧，或者找尋更加簡便、省時的解題思路，有助于學生解題能力的綜合提升.

（三）有助于提高學生核心素養

對于高中數學學科來說，核心素養的培育范疇不僅包含數學抽象、邏輯推理、數學運算，還涵蓋了直觀想象、數學建模、數據分析等多個方面，教師需要借助習題課幫助學生鞏固既有的知識架構，查缺補漏完善學生認知，同時鍛煉學生的核心素養與解題能力.傳統模式下對于學生解題能力的培育較為疏忽，學生通過題海戰術鍛煉自身解題能力，長此以往很容易形成思維定式，阻礙學生創新能力、實踐能力的發展，使學生數學建模思維、數據分析素養等遭受損傷.而波利亞解題理論采用分步驟解題教學方式，鼓勵教師從理解題目開始帶領學生層層深入，挖掘高中數學習題中的已知條件和隱含條件，嘗試進行解題思路的建構和對比篩選，在遇到復雜問題時，還可以帶領學生進行一題多解，有助于鍛煉學生的發散思維，促進學生核心素養的發展進步.

二、基于波利亞解題理論的高中數學習題課教學策略分析

（一）理解題目，培養良好審題習慣

1.精準捕捉已知條件

已知條件是數學習題解答的重要依據，只有準確、完整地把握題目中提及的已知條件，才能確保習題解答的準確性.當前很多學生在解題時，存在一目十行、粗心大意的狀況，對于題目中涉及的限制條件掌握不夠充分，存在缺漏、理解錯誤等情況，很容易影響解答正確率.因此基于波利亞解題理論探索高中數學習題課教學策略時，要重點培養學生良好的審題習慣，在前期多帶領學生進行已知條件的梳理和挖掘，幫助學生鞏固基礎知識的同時，掌握文字語言、符號語言、圖形語言的轉換技巧，引導用更加簡潔的數學表達方式羅列已知條件，促進解題習慣和解題思路的優化，防止缺漏、遺忘等問題.以“函數最值”習題課為例，課中呈現問題如下：

從習題中可以看出，題目所呈現的問題包含兩個，即函數最小值和y取最小值時x的值，題目所包含的條件較為隱晦，看似只給定了x的限制條件.但仔細觀察后會發現，由x>1完全可以推導出x-1>0，如此一來2x便可以變形成為2（x-1），題目問題實際上得到了簡化.因此基于波利亞解題理論優化習題課教學時，要特別注意精準解讀題目問題，適當運用轉換、推導等方式挖掘隱含條件，促進問題的簡化和解題思路的簡化.

（二）制訂計劃，提高日常解題效率

計劃制訂階段在波利亞解題理論中占據核心地位，計劃的完善性、正確性直接影響到解題速度、效率和準確度.在高中數學習題課中引入和應用波利亞理論時，必須給予計劃問題更多的關注.實際制訂過程中，教師可以從如下幾個角度入手把控要點：（1）調動學生已有經驗.要著重明確已知條件、未知答案之間的聯系，并根據聯系編制具體計劃，確保計劃與題目之間的適配性.把握這種聯系時，可使用的切入點是非常多樣的，教師可以引導學生思考是否見過類似問題，是否可以更換表述方式簡化問題內容，是否可以將問題轉換為更為普遍的問題等，通過層層遞進、環環相扣的問題鏈條鼓勵學生調動已有知識經驗，喚醒類比推理思維進行解答，為后續計劃的執行奠定強有力基礎.（2）明確解題思路.在調動經驗的基礎上，形成較為粗淺的解題思路，通過類比推理看已經做過的習題中是否有可應用的解題“通法”.對于較為復雜的數學習題，可以一次性多構建幾條思路，多找切入點鍛煉自身的發散思維.（3）加強對比推理.要在腦海中構建出較為精細的解題思路，做好問題的細化分解，并依托已有知識經驗對設想好的解題方向進行逐一試驗，找到相對適宜的解題思路，在保證準確率的基礎上提高解題速度和效率.總之，計劃制訂階段在波利亞解題理論中同樣有著重要作用，學生應當以擬定好的計劃方案為依托，逐步、逐級開展問題的剖析和解答，在解題過程中學會總結規律、一題多解，比較和找到最佳解題方法，進而提高解題效率和能力.

（三）妥善執行，鍛煉解題分析能力

1.加強規律總結

高中數學學科體系邏輯嚴謹、架構完善，理解和掌握難度相對較大，學生需要在熟知公理、知識的基礎上學會靈活運用，通過習題課理清思路，摸索和把握習題中的規律和內核，進而掌握解題“通法”，提高解題剖析的效率和速度.因此基于波利亞解題思路優化習題課教學模式時，要有意識地引導學生進行規律總結，在計劃執行中找準解題方向，同時積累有益的解題經驗，增強對類似問題的分析能力，節省解題時間和精力.以“一元二次不等式”板塊為例，習題課教學中呈現了如下兩道例題：

例3中涉及典型的函數恒成立問題，基于波利亞解題思路進行分析時，應當先引導學生理解問題，明確題目中包含的已知條件，即x為任意實數，且滿足題目給出的不等式.根據題目內容還可以推導出隱含已知條件f（1）=0，然后制訂計劃、執行計劃，明確使用二次函數圖像解題的方向思路，完成習題的解答和剖析，題目較為基礎和簡單.例4題目則涉及導函數問題，通過函數求導可以得出f′（x）=2ax-a-lnx-1，考慮到導函數的正負難以判斷，解題難度是相對較大的.但深入分析后可以發現，兩題之間是存在一定聯系的，對于例8得出的導函數來說，同樣存在f（1）=0的特殊解，借助該點挖掘題目背后的隱含條件，進而化繁為簡，有助于提高解題的效率和速度.因此基于波利亞解題思路提高教學效能時，要特別引導學生加強規律總結，把握題目考查的本質和內核.

2.嘗試一題多解

一題多解是高中數學習題課中較為常用的教學方法，通過多種解法的探究，不僅可以補全學生既有知識架構，幫助學生查缺補漏發現盲區和誤區，更好地扎牢、扎穩數學基礎，而且可以鍛煉學生的發散思維，促進學生數學核心素養的建設發展.基于波利亞解題理論優化高中數學習題課教學模式時，同樣要有意識地應用一題多解教學方法，鼓勵學生從習題的本質入手，找尋不同的切入點和解題方法，根據不同思路制訂差異化的解題計劃，進而促進學生綜合能力的發展.實際應用過程中，要特別引導學生借習題課進行思維訓練，避免模仿化、固定化解題套路，嘗試通過不同切入角度變換解題思路.以“圓錐曲線與方程”板塊為例，習題課中可以設計如下例題：

題目中涉及橢圓表達式和橢圓上的弦等相關知識點，習題課訓練環節，可以引導學生直接從問題入手，設直線AB的方程為y-1=k（x-2），通過搭建方程組，配合韋達定理求解.也可以引導學生從直線AB與橢圓的交點坐標入手，設交點坐標分別為A（x1，y1）和B（x2，y2），將坐標代入橢圓方程進行求解.還可以借助中點轉移法進行解題，設橢圓的弦其中一個端點A坐標為（x，y），根據已知條件推出B點坐標，并分析題目求解.多種方法的應用可以幫助學生建立起更為全面、完善的知識點框架，掌握更多解題方法與思路技巧，有助于提高學生的邏輯思維能力，體現了波利亞解題理論的先進性.

（四）及時回顧，鞏固解題邏輯思維

除習題理解階段、計劃制訂階段、計劃執行階段外，波利亞解題理論中還特別強調了回顧反思階段的重要性，倡導通過及時回顧反思鞏固已知，使學生更加熟練、深入地掌握解題規律，實現學科素養和解題能力的綜合提升.回顧反思環節要特別加強對錯題的分析，鼓勵學生將錯題收集起來，按照錯誤原因進行分類，可以劃分為基礎知識不扎實、方法應用生疏、條件篩選錯漏等類別，方便學生進行分析和改進.錯題分析環節同樣可以采用波利亞解題理論，引導學生按照理解問題、制訂計劃、執行計劃、反思回顧的方式分解解題思路，具象化邏輯思維，找到不同階段的待改進部分，并針對性地進行強化練習.對于解題時間較長的習題，學生同樣要有意識地給予關注，找到解題時間過長背后所反映的問題，嘗試通過一題多解、比較反思，找到更加適宜的解題方式，盡可能在保證正確率的同時，提高解題速度和效率.此外，習題課與常規課程一樣，也需要多元教學方法的介入和參與，通過教學方法的優化幫助學生培養學科興趣，提高學習質量和效率.因此反思回顧過程中，教師還可以引入小組合作探究方法，鼓勵學生按照需求進行分組，在小組中分享自己的做題經驗和技巧思路，合作分解錯題、加深印象，取長補短完成核心素養的培育和發展.

結 語

綜上所述，波利亞解題理論具有鮮明的高效性、科學性特征，應用于高中數學習題課教學之中，能夠有效優化教學效率，促進學生解題能力、核心素養的良好發展，實踐中務必要給予充分重視.要引導學生主動理解題目，精準捕捉已知條件、多元解讀題目問題，在理解的基礎上制訂解題計劃，并妥善執行計劃，加強規律總結和一題多解，通過對比、反思、回顧，鞏固解題邏輯思維，促進自身素養能力的綜合發展.

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