以圖繪思，提升學生數學思維品質

摘要：數學是一門與實際生活聯系非常密切的基礎性學科，因其抽象性、邏輯性極強的特點，學習起來難度比較大。圖示作為溝通數學與學生心靈世界的橋梁，通過圖文互補、數形結合的形式，可以讓抽象的問題具象化、讓復雜的問題簡單化、讓困難的問題容易化，從而最大程度激發學生學習數學的興趣和自信心。“一題多畫”“一畫多題”等訓練可以讓學生掌握作圖方法，在經歷分析問題、解決問題的過程中，提升學生的數學思維品質。

關鍵詞：圖示" 圖文互補" 數形結合" 思維品質

引言

在關注學科核心素養的當下，培養學生“用數學的思維思考現實世界”的能力顯得尤為重要。小學階段的學生受年齡和思維水平的限制，認識概念、理解計算、解決問題的時候都離不開直觀形象的圖示。圖示不僅具有直接、簡潔、利于思考的特點，而且信息量大，概括性強，是幫助學生思考、提升學生思維品質非常好的工具。由于小學生正處在以形象思維為主向抽象思維過渡的階段，所以教學中，可以多讓學生自己在紙上涂一涂、畫一畫，借助線段圖、示意圖、思維導圖或實物圖把抽象的數學問題具體化，讓學生的思維外顯，促進解決問題能力提高的同時，提升學生的思維品質，讓不同的學生在數學課上有不同層次的發展。

一、區分圖示類型，思維外顯可視

新課標指出：幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把抽象的數學問題轉化為直觀圖形，如線段圖、示意圖、思路圖、思維導圖等，這些圖示把抽象的數學問題具體化，讓學生的思維外顯可視。

（一）線段圖

將抽象的文字轉化為直觀的線段圖，可以表示問題中的數量關系，幫助學生更好地理解題意、解決問題。

（二）示意圖

示意圖多見于幾何領域的問題，如面積、周長等。低年級以簡單示意圖（如以圓圈表示排隊問題）為主，高年級則是對復雜的面積模型示意圖等進行深入研究。

（三）思路圖

畫思路圖能幫助學生將問題解決過程中的算法與步驟清晰地呈現出來，厘清問題與條件的同時審視解題思路與過程。

（四）思維導圖

高年級學生腦海中儲存了較多事物及圖形的表象，知識梳理及關聯能力也比低年級學生有較大提升，因此，高年級學生可以借助思維導圖這樣的圖解形式儲存、組織和優化知識系統，使潛力得到最大限度的開發，使知識體系得以順利構建。

這些圖示可以把抽象的數學問題具體化、復雜的數學問題簡單化，讓學生的思維外顯可視，促進學生思維的發展。

二、理解圖示價值，提升思維品質

（一）化抽象為具體，激發思維發散性

相較于小學數學低年級學習內容，高年級所學習的內容更加復雜、難度更大。因此在不同階段，教師要采取不同的教學手段，以此來降低學生的學習難度。而思維導圖作為思維的“地圖”，是一種可視化的思維工具，在小學高年級教學當中作用非常大，一方面可以將抽象的數學知識具體化，另一方面可以幫助學生構建數學知識體系，有利于思路的展開，充分激發學生的發散性思維。繪制思維導圖既能讓學生對不同的知識進行分類整理、歸納和交流，也能讓學生清楚同一知識點中不同層次知識間的聯系，加深對知識的理解，而且在整理信息時可以進行發散思維的培養。以思為導，以圖為構，通過畫思維導圖，不斷引導學生多思考、勤總結、善歸納，鍛煉學生的邏輯思維，激發思維的發散性。

例如，在學習完北師大版五年級上冊“倍數與因數”這一單元時，讓學生畫“倍數與因數”的思維導圖。通過繪制思維導圖，學生對腦海里關于倍數與因數的知識進行提取，然后對提取到的有關知識進行梳理并分析歸類，真正掌握倍數與因數間的區別和聯系。學生用“看得見的思維”對有關知識簡單有序地進行梳理，使數學知識之間的內在聯系變得直觀、明了，使原本抽象的數學知識更加形象具體，而且在梳理知識時可以進行發散思維的培養。

（二）化繁雜為簡單，厘清題意，提高思維條理性

解決問題一直是學生數學學習的“攔路虎”，主要是因為數學問題一般是從生活中提取出的問題，對學生而言文字繁雜且具有很強的抽象性。圖示作為理解抽象數量關系的形象化、視覺化工具，能幫學生沉下心來在繁雜的文字中抽絲剝繭，提取關鍵的數學信息，把文字轉化成簡單的、通俗易懂的圖畫，使復雜問題簡單化，形成問題情境的直觀表象。在分析問題、解決問題的過程中，把數量關系轉化為圖形，厘清題意，化繁為簡，能夠鍛煉學生的邏輯思維能力，更有利于提高學生數學思維的條理性。

例如，在“少先隊員種柳樹和楊樹共134棵，楊樹的棵數比柳樹棵數的3倍多14棵。兩種樹各種多少棵？”這一和倍問題中，面對楊樹和柳樹的棵數兩個未知量時學生會產生畏難情緒。學生知道兩者之間的倍數關系及它們的和，卻無從下手，給解決問題帶來了一定的難度，降低解決問題的自信心。而借助圖示可以將兩者之間的關系表達得清晰明了，“畫”簡意賅，讓學生在充分了解兩者關系的基礎上，正確列式解決問題。

和倍問題的關鍵在于確定把誰看成“1份”，根據“楊樹的棵數比柳樹棵數的3倍多14棵”這句話可以看出把柳樹棵數看成“1份”，畫圖更加簡單一些。通過觀察線段圖發現，把多的14棵去掉后，楊樹的棵數就剛好是柳樹棵數的3倍，可以湊成整倍數，從而求出柳樹棵數［120÷（1+3）=30（棵）］和楊樹棵數［30×3+14=104（棵）］，進而正確解決這一復雜問題。

與上面例題相對應的是“差倍問題”，例如：甲桶有水200升，乙桶有水160升，現在從兩個桶中取出相同體積的水，甲桶剩的水正好是乙桶的5倍。甲、乙兩桶剩下的水各是多少升？

從文字敘述上來看，面對上題中兩個未知量，學生不知哪里是突破口。但根據題意畫出線段圖后，從圖上可以看出，甲桶比乙桶多40升，兩桶取出的水同樣多，顯然剩下的水甲桶仍然比較多，比乙桶多40升。多的40升，也就是乙桶所剩水的4倍。整理出這個關系后，甲、乙兩桶各剩多少升水就一目了然了。

正所謂“授人以魚不如授人以漁”，教師要教會學生畫線段圖這一方法。解答時按照題意畫出示意圖，抽取有用的數量關系，再把應用題“畫”出來。學生梳理數學信息，分析題目中的數量關系，然后把抽象的數量關系轉化為具體形象的圖示。學生抓住數量關系進行解析，化繁為簡、化難為易，從而可以整體把握題意，找出解決問題的方法，在構建出數學模型的同時，提升思維的條理性。

（三）化困難為容易，突破難點，提升思維敏捷性

圖示是最樸實、最簡潔的數學語言，有時是一條線段圖，有時是一條線段，甚至可能是一些小點點。但是就是這樣不起眼的表征，在解決問題中卻能收到“一語驚醒夢中人”的神奇效果。經過多年的教學，我發現寥寥數語的題目基本都暗藏玄機，對學生而言有一定的挑戰性，因此教師在教學中可以結合學生實際情況適當地出示一些思維題，讓學生“跳一跳”才能摘到果子，培養學生思維的敏捷性。

例如：時鐘敲兩下需要2秒，敲10下需要幾秒？

學生初識題目會理所當然地認為敲兩下需要2秒，平均敲一下需要1秒的時間，敲10下就需要10秒。很顯然，這種想法過于“天真”。那如何讓學生正確理解敲的次數與所用時間之間的關系呢？圖示可以讓學生清晰直觀地了解兩者之間的關系。

根據題意畫圖，學生看到圖示紛紛驚嘆：原來如此！敲鐘是瞬間完成的動作，真正耗時的是中間的間隔。從圖上可以看出敲兩下也就是一個間隔，因此一個間隔是2秒鐘，而題目中問敲10下需要多久，實際是有9個間隔，所用時間也就是9個2秒。

簡單的點、線如同登山杖，幫助學生攀登“數學”這座高山。圖示助力學生撥開眼前的迷霧，從而化難為易，突破教學難點，解決問題。學生長久受到“畫圖”的熏陶，養成運用圖示解決問題的意識，掌握圖示的方法，提升了思維的敏捷性。

（四）化逆向為順向，巧解習題，提升思維靈活性

小學生仍以順向思維為主，因此在小學階段出現的逆向思維習題對學生而言比較有難度，學生往往費盡全力而不得其法。圖示則可以幫助學生另辟蹊徑，把逆向思維的題目轉化為順向思維的題目。反其道而行，將復雜的問題簡單化，從而事半功倍，助力學生提升思維的靈活性。

例如：一個數除以2，再除以13，再加上52后減35，結果為39，這個數是多少？

一些不得其法的學生可能會用舉例的“笨方法”，一些稍微有點經驗的學生可能會利用倒推的方法，但由于不清楚算式中各部分之間的關系，會出現五花八門的錯誤。如果將上述題目轉化為下面的圖示，所有難題就迎刃而解了。

上面的流程圖將一個繁雜的逆推問題分解成了一個個順應學生思維的小問題。學生很快就能整理清楚思路，利用倒推的方法，巧妙地解決問題，鍛煉學生思維的靈活性。

三、延伸教學內容，拓展學生思維

運用圖示解決問題，需要學生根據問題靈活地畫出合適的圖示，這要求學生具備轉化和數形結合的數學思想。所以，教師要利用多種方式組織訓練，如開展課堂示范、畫圖講圖、“一題多畫”“一畫多題”等教學活動，讓學生在針對性訓練中逐漸提高畫圖的能力。

（一）引領畫圖，鍛煉思維的邏輯性

教師在課堂上示范、引領畫圖的方法，并對學生進行畫圖方法的專項指導。例如五年級教學長方體、正方體時，在認識了長方體、正方體的特征后，指導學生用畫平行線或垂線的方法和美術課上學的透視圖原理，寬要畫得斜點兒，畫的長度比實際長度要短等，邊講解邊示范，再逐個檢查、指導。利用圖示引導學生分析題干中指出的條件，判斷圖形的類別。掌握技巧后，學生在遇到復雜的長方體或正方體的實際問題時，就能準確地畫出草圖，分析后，順利解決問題。又如，教師還可以利用多媒體展示畫圖方法和技巧，如形體分解與組合畫法，可以將圖形投影到屏幕上，并展示將圖形分解成若干部分再組合成整個圖形的過程，便于學生理解和掌握。也可以制作動畫，演示圖形的形成過程，增強教學的趣味性和直觀性，以提高學生的畫圖技巧。這樣不僅可以幫助學生理解數學知識，還可以讓學生通過這種方式來解決實際問題，提高思維的邏輯性和解決問題的能力。

（二）畫圖講圖，提升思維的深刻性

激發學生的興趣，鼓勵學生大膽嘗試、創新畫法。在畫圖、講圖的訓練中，合理利用數形結合思想，讓學生在直觀形象中理解算理，并在抽象概括中掌握算法，順應學生思維發展的規律，提升思維的深刻性、靈活性、創造性。例如，在教學“分數的基本性質”時，往往要圖形結合，教師可以讓學生準備兩張正方形的紙張，準備幾支彩色筆。教師首先讓學生拿出一張正方形的紙張，提問“你能找到紙張的1/2嗎？用彩色筆畫出其中的1/2”。學生將正方形對折，并將其中一份涂上顏色。接著讓學生拿出第二張正方形紙張，詢問學生“你能找出其中的1/4和2/4嗎？用兩支彩色筆涂上顏色”。學生將正方形對折再對折，分成四份，其中一份涂上顏色，兩份涂上另外的顏色。通過這種方式，學生能更好地理解數學知識。

（三）一題多畫，延伸思維的廣度

學生的思考方式不一樣，面對同樣的問題，畫出來的圖示也不相同。在教學過程中，教師鼓勵學生用多種方式思考問題，嘗試用不同的圖示表達自己的思路。在激勵學生多畫的同時，對學生的作品進行展示，讓學生在對比交流中掌握多種畫法，并對自己的畫法進行優化，逐漸熟練作圖。開展“一題多畫”的活動，不僅可以鍛煉學生的作圖能力，還拓展了思維的廣度。如“搭配中的學問”圖示：

（四）一畫多題，拓展思維的深度

同樣的，一個圖示可以表示不同的數學問題。學生在進行一畫多題的訓練時，能深切感受到雖然解決的問題不一樣，但是解決問題的方法是一樣的，進而形成“數形結合”“變與不變”的數學思想，拓展了學生的思維。

根據上面這一圖示可以拓展出很多數學問題，比如“鋸木頭”問題、“植樹”問題等，充分利用一幅圖，實現一畫多題，拓展了思維的深度。例如，在教學“三角形面積”的內容時，教師首先通過畫圖的方式，讓學生畫出一個平行四邊形，在這個基礎上，讓學生一分為二，從而推導出三角形面積公式，明白三角形面積公式的推導原理。然后讓學生根據三角形的面積，畫出面積相同的不同形狀的三角形，從而加深對三角形面積公式的理解，提高學生的解題能力。

綜上所述，數學知識的學習是復雜抽象、靈活多變的，學生不可能掌握所有的題型，并熟記于心，教師能做的，就是遞給學生“工具”，讓他們自食其力。而圖示因其簡潔、直觀的特點，成為便于學生使用的有力“工具”。在教學過程中，教師要有目的地培養和引導學生根據題意，畫出線段圖或示意圖，把復雜抽象的數學問題化抽象為具體、化繁雜為簡單、化困難為容易、化逆向為順向，利用數形結合這一數學思想，巧妙地解決問題，提高學生解決問題的能力。在利用圖示解決問題的過程中，學生感受到符號美，豐富了解題策略，激發了思維的發散性，提高了思維的條理性，促進了思維的敏捷性，提升了思維的靈活性，延伸了思維的廣度，拓展了思維的深度，進而提升了自身的數學思維品質，發展了自身的核心素養，在數學上得到不同層次的發展。

參考文獻：

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責任編輯：丁 蔚