人工智能時代數學思維培養的新途徑：以計算思維發展數學思維

【摘 要】隨著ChatGPT、Sora等人工智能技術的廣泛運用，教育界也已進入人工智能時代，學生思維的培養被提到新的高度。文章在界定數學思維和計算思維定義的基礎上，從二者的關系出發，分析在中學數學教學中如何用計算思維發展學生的數學思維，并探討未來趨勢。

【關鍵詞】人工智能時代；數學思維；計算思維；數學教學

2022年，新一代人工智能技術ChatGPT一經問世便震驚世界，以其為代表的人工智能在各行各業發揮著越來越大的作用。2024年OpenAI公司又以世界模擬器的名義推出了Sora，作為文本生成視頻模型，對教育的影響也是巨大的，如豐富教學方式、手段，為學生創造力的培養提供更大空間等。人工智能新時代對教育界也提出了更高的要求：了解人工智能，運用人工智能，最終超越人工智能，做到人工智能所不能完成的事情。人工智能可以在一些機械化的操作，如課程設計、知識檢索、作業批改等方面取代教師的角色［1］，因此教師應將教育、教學的重心放在學生思維的培養和問題解決能力的提高上。數學是思維的體操，數學學科是培養學生思維的主力陣營，計算思維則是新時代的新興思維。數學思維與計算思維都面向問題解決，并且有著緊密的聯系。因此，本文從兩者的關系出發，探討人工智能時代中學數學教學如何落實數學思維的培養。

一、數學家的思維方式和數學思維

（一）數學家是如何思考的？

匈牙利數學家彼得·路莎曾提出這樣一個問題：“假設在你面前有煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，現在的任務是要去燒水，該怎么做？”正確答案是“在水壺里放上水，點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上”。路莎接著問：“那如果其他條件不變，只是水壺中已有水，此時該怎么做呢？”一般人都會回答：“點燃煤氣，再把水壺放到煤氣灶上。”但路莎認為：“這是物理學家的做法，不是數學家的做法，因為數學家會倒掉壺里的水并聲稱已經把后一問題轉化為先前的問題了。”

這是一則比較有意思的數學笑話，同時也反映了數學家的一個重要思維方式——化歸。鄭毓信在《數學方法論入門》中提到，善于使用化歸是數學家思維方式的重要特點［2］，并在《“數學與思維”之深思》中把數學家的思維方式稱為數學思維［3］。那么數學思維究竟是什么？又有什么特點和類型呢？

（二）什么是數學思維？

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）要求學生會用數學的思維思考現實世界，并提出數學思維主要表現為運算能力、推理意識或推理能力。［4］史寧中將“三會”具體化，并賦予其新的內涵：數學思維就是邏輯推理［5］。一些國外學者認為數學思維的核心是問題的概念［6］。孟鴻偉認為數學思維是通過抽象、歸納、類比、推理、演繹和邏輯分析將概念和定義等與現實事物建立聯系，用數學思想解決問題的過程，其特點是概念化、抽象化和模式化［7］。

可見，數學思維與邏輯推理、抽象、問題解決有著密不可分的關系。上文提到的化歸思想，其本質便是通過抽象和邏輯推理將命題分解為已知或更易處理的部分，從而達到解決問題的目的。可以說，化歸思想是數學思維的一個綜合體現。

二、計算機的思考方式和計算思維

在一些實際問題中，受限于計算能力，人的數學思維并不能很好地解決問題。此時，計算機有了用武之地。雖然計算機程序是人編寫的，但是研究計算機面對數學問題時如何“思考”，對于發展人的數學思維是大有啟示和幫助的。

（一）計算機是如何“思考”的？

我們先通過一個具體的例子來看看計算機是如何“思考”的，與人的思維有什么區別。

案例1：中位數的計算

例 求某工程咨詢公司技術部門員工去年工資的中位數（單位：萬元）：34，30，26，45，15。（注：本題改編自浙教版數學教科書八年級下冊“中位數和眾數”一節中的例1。）

面對這個問題，相信數學教師都會告訴學生按照中位數的定義進行求解：先將這組數據按從小到大的順序排列，接著找到位于最中間的一個數據或計算最中間兩個數據的平均數，這個數據或平均數便是這組數據的中位數。

那計算機是怎么處理這個問題的呢？首先，將總體排序分解為兩兩排序，從左到右依次比較相鄰的兩個數。其次，判斷相鄰兩數的大小，將大的放在右邊。再次，得出每趟排序后最右邊的數為最大，使五個數有序需要比較四趟。最后，設計循環算法，共四趟，每趟少比較一次。由此算法比較過后，五個數即為有序。具體過程如圖1所示，黑色即為此次比較的兩數，呈現的是比較后的順序。找到五個數中最中間的也就是第三個數，即為這組數據的中位數。

這種排序算法便是計算機中常見的冒泡排序算法。可能很多讀者會覺得計算機的方法有點小題大做，明明一眼就能看出的事情，何必用那么多流程？對于此題而言確實如此，但如果將題目改為求整個公司員工的工資中位數呢？相信多數學生無法直接將這么多個數據進行排序，甚至在思考時也是一頭霧水。或許有些思維敏捷的學生會提出依次找到最大的、第二大的數，但若問如何找時，學生可能無法給出具體的方法和步驟，只是簡單地解釋為看出來的。顯然，這樣做費時費力并且極易出錯。若是繼續增加數據的個數，學生更無法看出來。此時，計算機的優勢就體現出來了：對大量數據進行排序時，計算機可以對問題進行分解、識別、抽象，最后調用合適的排序算法來解決。此時，冒泡排序算法依然可行且高效。

（二）人機思維方式的異同點

不難發現，人機思維的相同點在于在解決問題時都是依照一定的邏輯基礎——中位數的定義，且在面對大量數據時都有將整體拆分為部分的意識——將整體排序轉化為依次找到最大的數。人機思維的不同點在于在面對少量數據時，人可以通過觀察直接看出來；面對大量數據時，人雖然可能具有化歸的思想但很難找到化歸的方法，而計算機的思維方式依然適用。

顯然，計算機的思維方式具有如下優勢：具有普適性，不管是處理少量還是大量數據都適用；在人運用數學思維無法進行化歸時可以給予幫助并給出方法。研究計算機處理問題時的思維能為人類的數學思維提升提供幫助。計算機當然不是真的具有思維，這種思維是計算機科學家在編寫程序時所賦予它的，那么我們可以把像計算機科學家一樣思考的方式稱為計算思維。

（三）什么是計算思維？

美國計算機科學家周以真2006年第一次提出并且界定了計算機思維的概念，將計算思維闡述為運用計算機科學思維方式和基礎概念來解答問題、進行系統設計以及理解人類行為的觀念。在人機協作的時代背景下，計算思維被定義為像計算機科學家一樣思考問題、理解問題、解決問題等一系列涵蓋計算機科學的思維活動［8］。Asbell-Clarke等將計算思維分為分解、抽象、算法、調試、迭代、泛化等六個方面［9］。

谷歌研究小組則認為計算思維幾乎適用于任何領域，并將其定義為認知過程的四個循環步驟：分解，模式或規律的識別，模式的概括和抽象，算法設計。

計算思維作為人工智能的基礎，對于我們認識和掌握人工智能大有幫助。因此，應該重視計算思維的培養。《標準》也提到了對計算思維的要求：“能夠通過計算思維將各種信息約簡和形式化，進行問題求解與系統設計。”［4］可見，計算思維在數學教育中的重要性與日俱增。筆者認為，培養計算思維有兩條途徑，其一是在信息技術學科，其二是在數學學科。那么，如何將計算思維與數學教育有機融合，以計算思維發展數學思維，值得我們深入研究和實踐。

三、計算思維與數學思維的關系及以計算思維發展數學思維的方式

計算思維與數學思維究竟有什么關系，我們又能獲得哪些啟示，繼而運用計算思維發展學生的數學思維呢？

（一）計算機如何實現人的數學思維？

正如前文所述，計算思維其實是計算機科學家的思維，計算機運行程序進行問題解決的過程其實就是實現人的數學思維的過程。

在案例1中，面對大量數據時，人也會運用化歸的思想將整體的排序化歸為依次找到數據中最大的數。人的數學思維雖然具有化歸的思想卻無法落實化歸的方法，而計算機則是通過循環比較的算法將整體有序轉化為依次有序。可以說，計算機實現了數學思維中的化歸思想。

可以看出，計算機在案例1的問題解決過程中以數學思維中的邏輯推理為基礎，運用數學思維中的化歸思想，并以編程語言為化歸提供方法與載體。我們可以得出結論：計算思維以數學思維為基礎，以計算機特有的運算能力為實現數學思維提供方法與載體，并最終達到數學思維與計算思維的共同目標——問題解決。

（二）人進行數學思維時可以向計算機學習什么？

既然計算機在問題解決中具有如此多的優點，那么人在進行數學思維的時候能向計算機學習什么？本文認為，化歸、循環、遍歷是最能代表計算機思考方式的三大重要思想，值得學習。

1.化歸思想

在計算思維定義的四個循環步驟（分解，模式或規律的識別，模式的概括和抽象，算法設計）中，前三步與數學思維中將復雜問題分解為簡單問題的化歸思想有異曲同工之妙，最后一步則是計算思維的優勢所在，即利用強大的算力系統為化歸思想提供實現的方法。這也再次提醒我們，在人工智能時代的今天，化歸思想必然是一種時代化的思想，在思考問題、解決問題時要善于運用化歸思想。

2.循環思想

計算機在處理大量數據時通常會將一個相似的比較和換位過程重復多次，直到數據符合要求。我們把這種操作叫作循環，循環是計算機在解決問題時運用最多的方法之一，是計算思維的基礎。

在數學中我們是否也可以用到計算機的這種思維方式？答案是肯定的，如運用循環逼近去求解無理數的近似值，以循環的觀點理解函數的周期性，輾轉相除法的運用等。同時，循環思想也給問題解決提供了一種新思路：當公式或方法的一次運用沒有效果時，不妨重復多試幾次，或許能從中找到一些規律和方向。

3.遍歷思想

在實際問題中，循環思想常和遍歷思想綜合運用。什么是遍歷思想？案例1冒泡排序的第一趟比較中，計算機將所有的數據比較了一遍，這就是計算機學科中的遍歷思想。簡言之，就是將所有的數據全部“過”一遍，類似于數學中的枚舉。傳統的數學教學觀念中，枚舉通常被認為是低級的思維方式，但恰恰是這樣的“低級”思維，使得計算思維與人的思維區別開來，并在面對更多復雜情形時具有普適性。筆者認為，教師應轉變觀念，在數學教學中鼓勵學生以枚舉的方式進行思考。當然，此處所述枚舉并非機械單一的枚舉，而是要求學生用到數學思維中的其他方法，如經過現實分類、層級區分等流程后再進行枚舉，以保證枚舉不重、不漏且盡可能快速高效。

（三）計算思維如何融入數學教學？

數學教學是數學思維活動的學與教［10］。計算思維在數學學科中的重要性與日俱增，融入計算思維的數學教學能夠更好地發展學生的數學思維。本文立足于計算思維的三個重要思想（化歸、循環、遍歷），從常規教學、跨學科綜合實踐活動、項目式學習三個角度出發，以初中內容為例探討計算思維如何融入數學教學。

1.基于教科書的常規教學

在初中數學的常規教學中，有許多可以融入計算思維的內容，最多的是與化歸思想相關。計算思維為數學化歸思想提供了方法，幫助我們解決問題。如在計算弓形面積時可利用計算思維求解［11］，學生能夠感悟計算思維四個步驟的邏輯，并以此引出化歸的思想方法：在求解未知圖形面積時，可將其分解為已知圖形面積的和或差，進而求解。常規教學要讓學生理解計算思維與數學思維的一個重要共同點是化歸思想，進一步強調化歸在未來的數學學習中的重要性。

2.跨學科綜合實踐活動

《標準》中提到數學課程要通過跨學科主題學習，建立不同學科之間的聯系，運用不同學科的知識方法解決實際問題。重視學科的交叉與融合，不僅是教育發展的必然趨勢，也是數學現代發展的時代特點。［12］因此，在數學與信息技術兩門學科的跨學科綜合實踐活動中融入計算思維有助于發展學生的數學思維。下文以“探究[2]的大小”為例，分析計算思維中的循環思想在數學跨學科實踐活動中的應用。

案例2：探究[2]的大小

浙教版數學教科書七年級上冊“實數”一節中用無限逼近的方法近似估計[2]的大小。學生在學習時可能會產生一系列問題：為什么如此去逼近？[2]的準確大小究竟是多少？計算機在計算[2]的大小時運用的是二分法，教師以此為例向學生介紹計算思維的四個步驟（如圖2）。

（1）分解。將求[2]大小的問題轉化為找到一個數使它的平方等于2。

（2）模式識別。識別出這個數在1和2之間。

（3）模式的概括和抽象。將1和2識別為端點，令1為p（左端點），令2為q（右端點）。計算并比較[p+q2]的平方與2的大小，并通過比較結果產生新的端點：若是[p+q2]的平方小于2，則把[p+q2]令為新的p（新的左端點）；反之，則把[p+q2]令為新的q（新的右端點）。

（4）算法設計。設計循環算法，重復進行（3）的過程，不斷比較和更新端點，直至這個數的平方等于2。因為每次比較都是將可能的區域分為兩個相等的部分，故命名為“二分法”。圖3為具體的Python程序語句，為方便理解筆者加了注釋。

教師可簡單介紹該程序的巧妙之處：通過比較的不同結果不斷更新所求數所在區間，進行新的比較，通過循環不斷提高精度。這一程序不僅運用循環思想為解決問題提供了便利，同時也與數學中嚴謹求實、精益求精的價值觀契合。在這一跨學科綜合實踐活動中，學生不僅掌握了使用計算機解決數學問題的新手段，還感受到了計算機編程語言的獨有魅力，提高了學習興趣，鍛煉了數學思維，收獲了解決問題的新思路。

3.項目式學習

項目式學習為跨學科綜合實踐活動提供載體，是初中階段數學跨學科主題學習的主要方式。《標準》提到，初中階段綜合與實踐活動可采用項目式學習的方式，以問題解決為導向，整合數學與其他學科的知識和思想方法，讓學生從數學的角度觀察與分析現實問題。信息技術與數學聯系密切，計算思維與數學思維也都面向問題解決，故在數學項目式學習中融入計算思維的內容來發展學生的數學思維是可行的。

案例3：探索迷宮

解迷宮是現實世界中的難題，十分考驗學生的數學思維。它既與數學中概率部分的枚舉法內容相關，也與信息技術中的深度優先遍歷內容相關，故可以作為項目式學習的主題。如在浙教版數學教科書九年級上冊“事件的可能性”一課中，可引入迷宮的內容，引導學生開展項目式學習［13］。

（1）創設情境，呈現項目

通常可用枚舉法解決復雜的概率問題（如圖4所示的書本例題3）。那么類似的方法可不可以用在別處呢？例3像不像一個簡單的迷宮？枚舉的方法可以解開迷宮嗎？

教師以書本上的例題為切入點將其抽象為簡單的迷宮，引導學生運用枚舉的方法列出所有可能的線路并走出迷宮。

（2）融入計算思維，拋磚引玉

既然簡單的迷宮可以用枚舉的思想解決，那對于圖5這個現實中的復雜迷宮，枚舉法還適用嗎？如果不適用的話，還有什么更好的方法可以解決？在學生無法解決時，教師適時點撥：“一直沿著你右手邊的墻，就能走出去，你信不信？試試看。”

教師通過復雜迷宮的現實情境激起學生的學習興趣，以“一直沿著右手邊走”的點撥性話語引發學生思考，激發探究熱情，推進項目式學習的進程。

（3）分組探究，深入學習

其實這個方法就是深度優先遍歷思想的運用。教師可要求學生以小組為單位，通過網絡學習深度優先遍歷的相關知識，繪制出該迷宮的二叉樹圖并解決該迷宮，思考在此學習過程中枚舉法的應用。這是跨學科綜合實踐活動的一次精彩嘗試。最后教師引導學生思考深度優先遍歷與枚舉法的關聯，將跨學科內容更好地運用于解決數學問題之中。

（4）成果展示，評價交流

教師請每組派一名代表匯報展示繪制的二叉樹和迷宮的最終解法，交流枚舉法應用的心得。所謂深度優先遍歷，其實就是一條路走到底，不撞南墻不回頭的思想：①分解。如圖6所示，將迷宮抽象為二叉樹，入口為第一個節點，每一條岔路為子節點。②模式識別。識別出迷宮中的每一條線路。③模式概括和抽象。將迷宮抽象成完整的二叉樹。④算法設計。使用深度優先遍歷進行求解。沿著一條路走到底，走不通就返回上一個節點，再從另一條路開始走到底，以此類推，直至走到出口，也就是第10個節點為止。

對于現實的迷宮而言，“一直沿著右手邊的墻走”就和一直沿著二叉樹的一條線路走是一樣的。當碰到死路時就沿著右手邊的墻返回上一個岔路口，接著走下一條沒走過的路。其實這就是一種循環的過程，可以看出循環思想在遍歷的過程中也有運用，我們把它叫作循環遍歷。

從這個例子可以看出，在數學問題解決中可以多運用循環遍歷的思想，如枚舉法。當然這種枚舉還用到了其他的數學思維，如此題在將迷宮抽象成二叉樹的過程中，厘清節點和線路之間的關系便是從整體的角度考慮問題，即劃分層級的思維。

在此項目式學習的過程中，學生在了解深度優先遍歷思想的過程中對于枚舉法有了新的感悟，是利用計算思維解決數學問題的大膽嘗試。

（四）數學思維與計算思維何處是歸途？

計算思維雖源自計算機學科，卻可以用于其他任何學科。與計算機聯系最為密切的數學自然也不例外。數學思維與計算思維密不可分，計算思維以數學思維為基礎，并以計算機獨有的算力系統為數學思維中的思想的實現提供方法與支撐。兩者相互依存、相互促進，故在數學教學中融入計算思維對數學思維的培養大有裨益。雖然思維方式的多樣性使得計算思維與數學思維的具體步驟不同，但計算思維與數學思維都是面向問題解決的思維。在問題解決能力被高度重視的今天，計算思維和數學思維應攜手并進，期待兩者的結合能給人工智能時代下的教育帶來新的火花。

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（責任編輯：潘安）