注重教材與原創：高中數學模擬試題命制趨向

【摘 要】 在新高考十年數學學科面臨新的挑戰和轉向的背景下，高中數學模擬試題命制要注重教材與原創的趨向.基于高考真題教材題源依標命制模擬試題，基于教材訓練系統調控模擬試題難度，使得模擬考試發揮真正的診斷和評價功能，助力以考助教、診斷教學和服務教學提質增效.

【關鍵詞】 高中數學；試題命制；原創命題；注重教材

一直以來，各地不同區域聯考、校級聯考的高中數學模擬試題層出不窮，既有優秀的“網紅”試卷，也出現了一些“走偏”現象，比如考查目標與考查內容“經驗主義”，現成試題中拿來就用，命題技術不成熟等^[1].筆者十余年來一直多次參與湖北省內部分地市的模擬考試數學學科命題、審題工作，也一直在組織筆者所在區域的高中數學學科原創命題競賽，深深感覺到命題技術對數學教師專業素養提升的重要意義，特別是在新高考十年數學學科面臨著新的挑戰和轉向的背景下，高中數學模擬試題命制也要改變以往的趨向.

1 考教銜接與模擬試題命制現狀

1.1 考教銜接與引導教學

黨的十八大以來，教育部考試院在總結高考內容改革成效中指出，高考已經由“以綱定考”轉變為到“考教銜接”.考教銜接第一要求是高考命題要遵循課程標準，引導中學依標教學^[2].同時強調高考命題嚴格依據是高中課程標準，要確保“內容不超范圍、深度不超要求”，考試與教學的銜接越緊密、越一致，教師、學生的負擔就越輕松.

1.2 模擬試題命制的現狀

毫不夸張地說，對于一屆學生和老師來講，其所經歷的模擬考試次數達到幾十次甚至上百次.很多時候，模擬試題命制者命題時經常在題庫或一些輔導資料中選擇所謂的“好題”進行改編組卷，過度模仿高考的選拔功能，而忘記了模擬考試的診斷功能，忘記了其屬于平時教學過程性評價的一環，目的是助力以考助教、診斷教學和服務教學提質增效.也有很多時候模擬考試命題更多的是基于命題者的“命題經驗”，忽視了遵循課程標準的內容要求和教學要求，沒有從學生學習的學情出發，也沒有從教材本身的訓練系統和經典例題著手，去研究教材，挖掘教材，利用教材.關于模擬試題命制如何更好地注重教材與原創的趨向，筆者就最近高一學年期末大型聯考的數學科試題命制經歷進行闡述.

2 基于高考真題教材題源依標命制模擬試題

2.1 試題命制體現高考考點和教材的聯系

近幾年高考數學試題表明，通過“反套路、反二級結論”等手段不斷降低“機械刷題”的收益^[3].從而十分有必要以高考試題考點為導向，建立高考考點和教材的聯系，加強對教材典型問題的研究，通過模擬試題命制促進一題多解、一題多變，深化學生思維能力.

【高考考點】（2024年新課標Ⅰ卷第7題）當x∈［0，2π］時，曲線y=sin x與y=2sin3x-π6的交點個數為（" ）.

A．3"" B．4"" C．6"" D．8

此題考查三角函數的圖象及性質，需要運用“五點作圖”在同一個坐標系內畫出函數圖象，從而確定交點個數，此題與人教版教材必修第一冊第237頁例1一致，并且數據相同，因此，針對“初等函數的圖像交點”和“五點作圖”的知識點，可從教材出發進行試題命制.

【試題命制1】 當x∈（0，2π）時，曲線y=2+cos x與直線y=13x的交點個數為（" ）.

A．2"" B．3"" C．4"" D．5

雖然筆者是受高考啟發針對高一學年期末考試而命制的三角函數選擇題，但所涉及知識點比較簡單和基礎，根據考試范圍和細目表要求，此題的命制是重點考查學生對三角函數的掌握情況.考試結果（此次考試實際上參考人數為13萬余人）說明此題得分為2.62，難度系數0.52，滿分率為0.52，零分率0.48.這說明學生對于基本初等函數圖象缺少更深一步的理解，只有一半的學生能達到教學目標.

對于三角函數的“五點作圖”也是教材中一直強調的，在具體作圖時教師可能認為很簡單，學生也可能習慣地知道要取（x=0，π2，π，3π2，2π）的值，若試題命制與具體數學情境和數據表格結合，可更好地考查學生的數學運算和邏輯推理素養.

【試題命制2】 阻尼器是一種以提供阻力達到減震效果的專業工程裝置，其提供阻力的運動過程可近似為單擺運動.若某阻力器離開平衡位置的位移y（單位：m）和時間x（單位：s）滿足函數關系：y=Asin（ωx+φ）（Agt;0，ωgt;0，|φ|＜π2），某同學通過“五點法”計算了一個周期內的部分數據如下（其中a，b，c，d為未知數），則下列有關函數y=f（x）的描述正確的是（" ）.

A．函數f（x）的圖象關于點（163，0）對稱

B．函數f（x）的圖象可由函數y=Asin ωx向右移平移13個單位得到

C．函數f（x）的圖象上相鄰的最高點與最低點的距離為4

D．函數f（x）的圖象與函數y=3cos（π2x+π3）的圖象重合

此題依然是基于數學教材中的三角函數伸縮變化模型，根據表格中的數據分析可以很快得到函數表達式f（x）=3sin（π2x-π6），接下來就是根據其具體圖象將三角函數性質、伸縮變化以選項的形式進行考查，正確答案為BC.然而考試結果表明此題均分僅為1.67，難度系數0.27，滿分率0.07，零分率0.52.根據現在多項選擇題的賦分規則，也就是52%的學生答案中選擇了A或D，也說明學生可能會“五點作圖”的步驟，但對于作圖后最基礎的三角函數圖象性質理解存在一定的偏差，這可能要歸因于教學中對教材例題的研究不深入或者是套路式刷題帶來的“弊端”.

2.2 試題命制體現對教材素材的原創開發

一份試卷被高度關注的部分主要還是原創試題.基于高考試題形式和課標教學內容的要求，對教材素材的原創開發，既體現了對教材的注重與研究，也體現了教師的專業素養.

【教材素材】（人教A版必修二54頁第22題）已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos C+3asin C-b-c=0.

（1）求A；

（2）若a=2，則△ABC的面積為3，求b，c.

這道習題應該是教材“平面向量應用”這章節復習題中的必做題和必講題，甚至以此進行的一系列的變式解題教學都無可厚非，因為多年來這道題一直是解三角形專題的高考題源，也是2024年新課標Ⅰ卷15題的題源.模擬試題命題若將此題進行原創開發，對引導學生注重教材有著重要意義.

【試題命制3】已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且b最大，sin A-cos C=2cos B sin（C+π3）.

（1）求B；

（2）若AC邊上的高為4，求△ABC面積的最小值.

這樣的題型很多情況下第一問要求的一般都是特殊角（π6，π4，π3等），因此考生很多情況下有心理準備.此題命制意圖是要跳出考生的心理預期，呈現反套路，在B=π2的前提下，進行三角恒等變換和問題設置，從而可以在直角三角形中固定斜邊上的高，來討論三角形面積的最值.第一問是簡單的三角恒等變換，考查通性通法，第二問主要考查學生“解決問題”能力，方法較多.

法1：設△ABC面積為S，S= 12×4×b=2b，因為B=π2，所以b2=a2+c2，又S=12ac，所以4b=ac，所以b2=a2c216≤a2+c22216=b464，所以b≥8，當且僅當a=c時取等號，所以S=2b≥16，△ABC面積的最小值為16.

法2：由AC邊上的高為4，可得sin A=4c，即c=4sin A，同理a=4sin C=4sin（π2-A）=4cos A，S△ABC=12ac=162sin A cos A=16sin" 2A≥16，當且僅當A=π4即a=c時取等號.

法3：作斜邊CB上的高AD，S△ABC=12BC·AD=12（BD+DC）·4=2（BD+DC）≥4BD·DC

由Rt△ADB∽Rt△CDA，知BD·DC=AD2=16，所以S△ABC≥4BD·DC=16，當且僅當BD=DC時取“=”號.

值得一提的是，在此題考后的質量分析中有學生表示，在算得B=π2后還有些不相信，一直驗算了兩遍.也有老師在沒做第一問的前提下，看到第二問直接斷定第二問實在太難了，估計學生不好下手.事實上，在直角三角形條件下，學生的思維更發散，更能運用已有的基礎知識進行解題，第二問解法中的法3就是學生想出來的.

可見這處教材素材十分重要，經典模擬試題也很多，也不乏根據三角形的邊長運算進行原創，比如下面是筆者曾經在湖北省七市州考試命題時的一次嘗試.

【試題命制4】已知△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos C-b-c2=0.

（1）求A；

（2）若a=3，求b+2c的取值范圍.

2.3 試題命制基于教材原始情境再融合創新

對數學學科創新性的理解并不統一，從高考試題來看，創新性強調獨立思考和創新思維.在模擬試題命制時，可以嘗試從教材原始情境出發，在試題內容和框架上進行再創新.

【教材原始情境】（人教A版必修一87頁第13題）我們知道，函數y=f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）-b為奇函數.求函數f（x）=x3-3x2圖象的對稱中心.

【試題命制5】如圖1，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB=2，BC=AA1=23，點M是平面ABC上的動點.

（1）若點M在線段BC上（不包括端點），設α是異面直線AC與B1M所成的角，求cos α的取值范圍；

（2）若點M在線段AC上，求A1M+12MC的最小值；

（3）若點M在線段BA 上，作MN平行AC交BC于點N，Q是BB1上一點，滿足MB+BQ =2.設MB=x ，記三棱錐QMBN的體積為V（x）.我們知道，函數y=f（x）的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數y=f（x）的圖象關于點P（a ，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）-b為奇函數.據此，判斷函數y= V（x）在定義域內是否存在x0，使得函數y=V（x）在（0，x0）上的圖象是中心對稱圖形，若存在，求x0及對稱中心;若不存在，說明理由.

這道試題的命制切入點將立體幾何、函數性質、三角函數等諸多跨章節的知識點有機結合，實現了由熟悉情境到復雜情境的轉變.解法多樣靈活，基本功扎實的考生可以拿分，甚至拿高分；切實體現了轉化與化歸數學思維的核心作用和用所學知識方法解決問題的能力.這道試題命制既符合高一考生的實際，又突出了本次考試范圍及整個教材的重點，被學校老師反饋為是一道有價值的試題且是試卷的亮點之一.

3 基于教材訓練系統調控模擬試題難度

新課標試卷力圖使大部分學生都能完成基礎題和中檔題，引導和鼓勵更多的學生喜歡數學、

熱愛數學、應用數學^[2].數學科確定了新的試卷難度預期和難度結構，制定了“低起點，多層次，高落差”的調控策略^[4].在模擬試題命制時，基礎題和中檔題在一份試卷中至少要保持在80%左右.同時，模擬試題的基礎題和中檔題應當參照教材訓練系統的難度系數，才能夠將“低起點，多層次，高落差”的試題特征體現在平時教學中.

3.1 試題命制立足學生學情，降低基礎與應用的難度

在高一學年期末，學生學完必修二第九章“統計”部分后，根據聯考進度，統計部分需要有一個解答題和多項選擇題對學生的學習效果進行檢驗.根據課標要求，“統計”單元的學習是要幫助學生進一步學習數據收集和整理的方法、數據直觀圖表的表示方法、數據統計特征的刻畫方法.頻率分布直方圖和樣本估計總體自然是基礎和重點，而作為期末統考中不多的統計學內容，直方圖中“拖尾現象”在教材中作了比較詳細的闡述，也在2024年新課標Ⅱ卷中以數據分析的形式進行了考查，更加說明了其重要性.另外，教材中多次提到分層抽樣均值和方差的推導，課后習題也多次提到學生身高統計、居民用電量消費模型，從而可以分別針對這兩類案例基于教材習題訓練系統的基礎知識傾向和難度引導進行試題命制.

【試題命制6】某同學統計了某校高一男生的身高數據（單位：cm）并整理得到下表：

據表中數據，下列說法正確的是（" ）.

A．該校高一年級男生身高的中位數小于170 cm

B．該校高一年級男生身高的眾數和中位數相同

C．該校高一年級男生身高的極差介于15 cm至25 cm之間

D．該校高一年級男生身高的平均數介于170 cm到175 cm之間

此題是在統計學生身高數據的情境下，將樣本的數據特征設置在各選項中.雖然數據以表格形式給出，但也暗示了頻率分布直方圖存在“左邊拖尾”現象，那么和中位數相比，平均數總是在長尾巴那邊.

【試題命制7】某市根據居民的月用電量實行三檔階梯電價，為了深入了解該市第二檔居民用戶的用電情況，該市統計局對該市所轄A，B，C三個區域的第二檔居民用戶按比例2∶2∶1進行分層隨機抽樣100戶后，統計其去年一年的月均用電量（單位：kW·h），進行適當分組后（每組為左閉右開的區間），頻率分布直方圖如下圖所示.

（1）求m的值;

（2）若去年小明家的月均用電量為234 kW·h，小明估計自己家的月均用電量超出了該市第二檔用戶中85%的用戶，請判斷小明的估計是否正確？

（3）通過進一步計算抽樣的樣本數據，得到A區樣本數據的均值為213，方差24.2；B區樣本數的均值為223，方差為12.3；C區樣本數的均值為233，方差為38.5，試估計該市去年第二檔居民用戶的月均用電量方差.

此題來自教材兩處數據背景：第一處選自必修二復習參考題9的223頁第11題中某市200戶月均用電量的統計，第二處是197頁的練習第1題某小區100戶居民月用電量的頻率分布直方圖.結合數據和頻率分布直方圖，將百分位數與三層分層抽樣方差的計算作為考點，使得學生在解題時有知識基礎，特別是學生在三層分層抽樣方差的計算時，已經有了二層分層抽樣的經驗，只需在二層分層抽樣的基礎上進行推廣和應用即可，不需要學生死記公式，從而降低了試題的難度.

3.2 試題命制聚焦數學思維，注重難度區分能力差異

任子朝在總結新高考近十年數學學科內容改革的挑戰中指出，在考試對中學教學的有效導向下，教學要幫助學生自主思考形成穩健的邏輯推導，數學思維^[4].2024年新課標Ⅰ卷也表明，典型的、體現數學思維價值的試題增加，特別是在具有壓軸性質填空和解答題，數學思維的差異就是能力的差異，也是區分不同層次學生的手段.在模擬試題命制時，最好是從教材的素材出發，從學生熟悉的情境中將數學思維和數學思想進行推廣和應用，讓學生經歷從熟悉數學情境到復雜數學情境的變化過程，經歷邏輯推導的具體過程，形成獨立自主的數學思維.

【試題命制8】設x∈R，m∈Z，若-12＜x-m≤12，則稱m為離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m.另外，定義[x]表示不超過x的最大整數，如[-2.5]=-3.令f（x）=［x］-x，g（x）=x-{x}，當x∈［-2 024，2 024］時，若存在xi（i=1，2，…，n）滿足f（xi）=g（xi），那么12 025∑ni=1xi="" .

解法1：由題意f（x）與g（x）為偶函數，只需考慮x∈［0，2 024］的情形，

f（x）=-x，0≤x＜1，1-x，1≤x＜2，2-x，2≤x＜3，…g（x）=x， 0≤x≤12，x-1，12＜x≤32，x-2，32＜x≤52，…

在坐標系中畫出其圖象為

所以xi=i（i=0，1，2，…，2 024），

12 025∑ni=1xi=12 025（0+1+2+…+2 024）=12 025·2 024·（1+2 024）2=1 012.

由偶函數對稱性可知，12 025∑ni=1xi=2×1 012=2 024.

解法2：因為f（x）=［x］-x，g（x）=x-{x}，令f（x）=g（x），則［x］-x=x-{x}，即2x=［x］+{x}，因為［x］，{x}均為整數，所以2x為整數，從而x只能為整數.由f（xi）=g（xi），所以x∈［0，2 024］時，xi=i（i=0，1，2，…，2 024），

12 025∑ni=1xi=12 025（0+1+2+…+2 024）=12 025·2 024·（1+2 024）2=1 012.

由偶函數對稱性可知，12 025∑ni=1xi=2×1 012=2 024.

對于“定義[x]表示不超過x的最大整數”是教材課后練習中的題干條件，學生并不陌生，屬于熟悉的情境.然而，接下來此題根據類似概念新定義“離實數x最近的整數”，讓學生有比較，有思考，需要推廣和應用“取整”的概念.作為填空題壓軸題，穩健的邏輯推導和數學思維至關重要.解答過程表明，不同的數學思維體現不同的數學運算量，特別是在解法二中，對自主思考與邏輯推理的要求較高，真正體現了數學思維中“多考一點想，少考一點算”的理念.

4 結束語

試題命制需要考慮的原則和因素很多，整體而言，一線教師的實際命題水平尚不高^[1]，就筆者所在區域的高中數學學科原創命題的開展情況而言，也確實如此.但在新高考背景下，就試題的內容和結構而言，注重教材與原創將是高中數學模擬試題命制趨向.特別是在新時代普通高中育人方式改革和“考教銜接”的背景下，命題技術已經是教師專業素養的重要組成部分，是教師亟待提升的業務能力.因為試題命制可以引導教師形成“做題—反思—歸類—命題”的專業習慣，引導教師形成“評價體系—課標—高考—教學”的研究習慣，引導教師形成“ 立足基礎—教材—對比—創新”的讀書習慣^[5].

參考文獻

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[4]任子朝.新高考十年數學科考試內容改革：成就、挑戰與轉向[J].中國考試，2024（7）：1118，63.

[5]周威.區域內高中數學原創命題活動的實踐探索[J].教育與裝備研究，2023，39（10）：9296.

作者簡介 周威（1985—），男，中學一級教師，碩士，湖北省恩施州教育科學研究院高中數學教研員；研究方向為教育評估與高中數學教育；發表論文90余篇，出版專著和主編高考輔導書各1本.