高中數(shù)學(xué)圓錐曲線課程思政主題教學(xué)設(shè)計研究

摘"要：高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作應(yīng)融入課程思政理念，將教學(xué)活動與立德樹人目標(biāo)緊密融合，促使高中生具備良好的核心素養(yǎng).

在圓錐曲線知識探索過程中，應(yīng)借助豐富多樣的思政資源，增強(qiáng)學(xué)生對知識點的系統(tǒng)學(xué)習(xí)能力.基于此，本文選取圓錐曲線教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行課程思政融合教學(xué)活動，幫助學(xué)生將數(shù)學(xué)內(nèi)容學(xué)習(xí)與課程思政緊密融合，促使其形成良好的數(shù)學(xué)綜合素質(zhì).

關(guān)鍵詞：課程思政維度；教學(xué)設(shè)計；圓錐曲線；高中數(shù)學(xué)

在高中數(shù)學(xué)圓錐曲線主題教學(xué)活動中，教師結(jié)合高中生的實際學(xué)習(xí)情況以及高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)目標(biāo)，總結(jié)出數(shù)學(xué)課程思政發(fā)展現(xiàn)狀以及課程思政融入原則、方式和策略，致力于在課程思政理念下幫助高中生形成良好的數(shù)學(xué)學(xué)科思想.與此同時，為了提高高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，教師可以將課程思政運用到圓錐曲線知識的教學(xué)設(shè)計與實踐活動，以此提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能，為學(xué)生的綜合性、系統(tǒng)性發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).

1"構(gòu)建情境，設(shè)計問題

在我國南方地區(qū)，有一座令人贊嘆的地標(biāo)性建筑，該建筑高聳入云，如同一個巨人，它高600多米，由鋼鐵和混凝土構(gòu)筑而成，其設(shè)計獨特，腰部纖細(xì)猶如模特般的身姿，是聞名中外的全球最高廣播電視觀光塔——廣州塔.這座具有地標(biāo)性的東方建筑是一個建筑奇跡，在建筑領(lǐng)域堪稱經(jīng)典.人們親切地稱廣州塔為小蠻腰.小蠻腰落成歷時三年，其外形特點與圓錐曲線息息相關(guān).下面我們就從這一視角，對圓錐曲線相關(guān)知識進(jìn)行探索學(xué)習(xí)，由此揭秘廣州塔的建筑奇跡.

課程思政設(shè)計：以我國現(xiàn)代偉大建筑——廣州塔為切入點引發(fā)學(xué)生愛國主義情懷，由此導(dǎo)入課程思政理念.在高中生熟悉的現(xiàn)實生活情境中，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，讓學(xué)生在探索數(shù)學(xué)知識過程中，獲得強(qiáng)大自信和不竭動力，為深入系統(tǒng)性學(xué)習(xí)圓錐曲線知識作好鋪墊.［1］

師生活動：在平面內(nèi)，與兩個固定點的距離之和保持恒定（該恒定值大于兩點間距離）的所有點的軌跡構(gòu)成一個橢圓.

問題1"在平面幾何中，如果平面上的兩個固定點A和B與某一動點P的距離之和是一個常數(shù)，則滿足這一條件的點P軌跡是什么形狀？

師生活動：假設(shè)A和B是直線l上的兩個固定點，P是直線l上任意一點.

在平面內(nèi)，取定點F1，F(xiàn)2，以點F1為圓心、線段PA為半徑作圓，再以F2為圓心、線段PB為半徑作圓.當(dāng)點P在線段AB上運動時，如果

||PA|－|PB||＜|F1F2|＜|AB|，那么兩圓相交，其交點的軌跡是橢圓（如圖1）；如果

|F1F2|＞|AB|，兩圓不相交，不存在交點軌跡（如圖2）.

問題2"當(dāng)兩圓的半徑之差大于AB長度時，如果點P在線段AB之外移動，動點M應(yīng)遵循什么條件？兩個圓之間的交點M軌跡會呈現(xiàn)什么形狀？

師生活動：當(dāng)兩圓的半徑之差大于AB長度時，若點P在線段AB之外移動，則當(dāng)點M接近固定點F1時，｜MF2｜－|MF1|＝|AB|（如圖3）；當(dāng)點M靠近定點F2時，｜MF1｜－|MF2|＝|AB|（如圖4）.

課程思政設(shè)計：教師將課程思政理念融入數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，能夠幫助學(xué)生在進(jìn)行知識探索的同時，培養(yǎng)其文化意識，從而提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，強(qiáng)化數(shù)學(xué)學(xué)科思想，為學(xué)生綜合性發(fā)展提供助力.

2"類比歸納，建構(gòu)概念

問題1"如何使用數(shù)學(xué)語言描述雙曲線？

雙曲線定義：平面幾何中，若一系列點到兩特定不動點F1和F2的距離差的絕對值恒等于某個非零的固定值，則這些點組成的路徑被定義為雙曲線.特定的不動點稱作雙曲線的焦點，它們二者的間隔為雙曲線的焦距.

問題2"不計算距離差的絕對值會對動點運行路徑造成怎樣的影響？

師生互動：在實際操作的過程中，觀察到動點的路徑無法形成一個完整的雙曲線（如圖5、圖6）.

追問1"若在一個平面上，某點與兩個固定位置之間的距離差的絕對值恒等于一個非零的定數(shù)，那么這個點的移動路徑將形成怎樣的圖形？

教學(xué)互動：依據(jù)雙曲線的概念，若空間中某點到兩個特定點的距離差的絕對值恒等于一定的非零常數(shù)時，該點的運動軌跡是一個雙曲線（如圖7）.

追問2"若一個點在二維空間中，該點到兩個定點的距離差的絕對值等于定值（大于|F1F2|），那么此點移動的路徑呈現(xiàn)何種圖形？

師生活動：在這種情況下，由于所求的距離差的絕對值超過了焦點之間的距離，意味著不存在任何點能夠同時滿足到兩個焦點的距離之差的絕對值等于給定的常數(shù).

問題3"若一個點在平面上到其他兩個定點的距離差恒定為零，那么該點的運動路徑將形成何種圖形？

師生活動：當(dāng)一個點到兩個點的距離之差為零時，意味著該點到這兩個點的距離相等.在這種情況下，該點的軌跡是一條垂直平分這兩個點連線的直線.這條直線將兩個點等距分開，即為這兩個點的垂直平分線（如圖8）.

師生活動：由教師進(jìn)行總結(jié)，利用數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動，能夠增強(qiáng)學(xué)生對知識點的理解能力，并深入研究和分析數(shù)學(xué)概念定義.對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行精準(zhǔn)把握與系統(tǒng)分析，能夠提高學(xué)生對知識本質(zhì)的解讀能力，并由此找到問題的答案，從而提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果.［2］與此同時，在這一教學(xué)活動中，教師能夠幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，培養(yǎng)高中生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維.

課程思政設(shè)計：以信息技術(shù)為主要教學(xué)形式，幫助學(xué)生進(jìn)行課程思政導(dǎo)入，使學(xué)生在直觀形象的課程學(xué)習(xí)中探索雙曲線概念知識，從而強(qiáng)化對數(shù)學(xué)知識的解讀技能，為學(xué)生綜合性發(fā)展開辟全新路徑.

3"建系推導(dǎo)，構(gòu)建方程

問題1"如何根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動：在之前的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生能夠利用坐標(biāo)法研究數(shù)學(xué)幾何問題，能夠建構(gòu)數(shù)學(xué)幾何思想，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作好鋪墊.在教學(xué)過程中，教師可以組織學(xué)生利用x，y表示曲線中點M的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)法分析問題，從而探索坐標(biāo)中的數(shù)學(xué)關(guān)系.學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)曲線方程解題思想，并由此得出方程f（x，y）＝0是建立曲線方程的關(guān)鍵.

追問1"如何基于給定的數(shù)學(xué)條件建構(gòu)平面直角坐標(biāo)系？

師生活動：可以設(shè)該坐標(biāo)系的x軸與兩個焦點所在直線重合，y軸是這兩點連線的垂直平分線，構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系（如圖9）.

如果M（x，y）是雙曲線上任意一點，且雙曲線的焦距為2c（c＞0），則其焦點坐標(biāo)分別是F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0）.

追問2"雙曲線上的點需要滿足什么樣的條件？

師生活動：為了更精確地描述雙曲線上所有點的特性，可以用集合形式表達(dá)定義.

P＝{M|||MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，0＜2a＜｜F1F2｜}.

追問3"如何用坐標(biāo)表示上述集合中的等式？

師生活動：由于｜MF1｜＝（x＋c）2＋y2，｜MF2｜＝（x＋c）2＋y2，得

|（x＋c）2＋y2－（x＋c）2＋y2|＝2a.

①

追問4"怎樣簡化上述方程？

師生活動：將絕對值消除，方程轉(zhuǎn)化為

（x＋c）2＋y2－（x＋c）2＋y2＝±2a.

②

根據(jù)對圓標(biāo)準(zhǔn)方程化簡過程的分析，可以將②式移項，隨后左右平方，得

（（x＋c）2＋y2）2＝（（x＋c）2＋y2±2a）2.

③

進(jìn)一步化簡，得

（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2）.

④

方程兩邊同時除以a2（c2－a2），得

x2a2－y2c2－a2＝1.

⑤

基于對雙曲線的定義分析，可以得知2c＞2a，c＞a，則c2－a2＞0.

類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程，令b2＝c2－a2，其中b＞0，代入上式，得

x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）.

⑥

基于思考探究過程，可以發(fā)現(xiàn)任何位于雙曲線上的一點都是方程⑥的解.因此，我們可以說方程⑥定義了雙曲線，當(dāng)雙曲線的焦點位于x軸上，焦點坐標(biāo)分別為（－c，0）和（c，0）時，方程⑥便構(gòu)成了該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）.

課程思政設(shè)計：將培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)設(shè)為教學(xué)目標(biāo)，導(dǎo)入課程思政理念，通過對雙曲線方程軌跡的探索，增強(qiáng)學(xué)生對知識點的掌握.在培養(yǎng)學(xué)生探索精神的過程中，借助坐標(biāo)法探索數(shù)學(xué)問題，能夠培養(yǎng)學(xué)生吃苦耐勞、勇于奮斗的精神品質(zhì)，使其在解答高中數(shù)學(xué)問題過程中具備綜合性能力.［3］

4"多向分析，突破難點

問題1"如何表示焦點在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動：參照橢圓構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系的方法，得出焦點位于y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）.

⑦

b2＝c2－a2表明該方程是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

追問1"對比焦點位于x軸上的雙曲線方程x2a2－y2b2＝1和焦點位于y軸上的雙曲線方程y2a2－x2b2＝1，有什么發(fā)現(xiàn)？

師生活動：當(dāng)x項的系數(shù)為正數(shù)時，雙曲線的焦點位于x軸上；當(dāng)y項的系數(shù)為正數(shù)時，雙曲線的焦點位于y軸上.

追問2"雙曲線中的a是否總大于b？如何進(jìn)行判斷？

師生活動：在雙曲線中，a不一定大于b.

課程思政設(shè)計：在研究圓錐曲線這一知識點時，滲透數(shù)學(xué)審美思維，能夠幫助學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)思想，使學(xué)生在濃厚的課程思政氛圍下培養(yǎng)數(shù)學(xué)興趣，從而提高數(shù)學(xué)解題能力.同時，教師站在審美視角，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)環(huán)境，強(qiáng)化學(xué)生的類比思想、化歸思想.將未知知識抽象為已知問題，由此提高學(xué)生對圓錐曲線知識點的學(xué)習(xí)與應(yīng)用技能.

5"應(yīng)用探究，內(nèi)化遷移

練習(xí)1"雙曲線中的兩個焦點分別為F1（－4，0），F(xiàn)2（4，0），已知點P與F1和F2距離差的絕對值等于4，如何確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

解析：由于雙曲線的焦點在x軸，可以列式為2c＝8，2a＝4，得c＝4，a＝2.

因此，b2＝c2－a2＝42－22＝12.

經(jīng)過計算可以得知，其標(biāo)準(zhǔn)方程是x24－y212＝1.

練習(xí)"已知A，B距離為800m，演習(xí)人員在A地聽見炮聲，比在B地聽見炮聲晚兩秒鐘，則炮彈在爆炸點落下的軌跡方程是？

解析：如圖10所示，根據(jù)聲速為340m/s，結(jié)合相關(guān)數(shù)據(jù)建立平面直角坐標(biāo)系，使點A和點B位于x軸，點O位于線段AB的中點.

設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為（x，y），則｜PA｜－｜PB｜＝340×2＝680，即2a＝680，a＝340.

又｜AB｜＝800，所以2c＝800，c＝400，b2＝c2－a2＝44400.

因為｜PA｜－｜PB｜＝680＞0，

則點P軌跡是雙曲線的右支，即x≥340.

炮彈爆炸點的軌跡方程為x2115600－y244400＝1（x≥340）.

課程思政設(shè)計：以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標(biāo)的教學(xué)活動，能夠幫助學(xué)生解決實際問題，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識與生活實際的緊密聯(lián)系，由此增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.

6"總結(jié)點撥，提煉升華

教師可以從以下兩個方面幫助學(xué)生進(jìn)行本節(jié)課的知識梳理，由此提高學(xué)生知識總結(jié)能力，為后續(xù)開展深入學(xué)習(xí)作好鋪墊.

（1）通過本節(jié)課程學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？

師生活動：由教師組織學(xué)生進(jìn)行知識總結(jié)，并以圖表的形式呈現(xiàn)出來（見表1）.

（2）針對本節(jié)課中所學(xué)的雙曲線知識，如何深入探究其數(shù)學(xué)概念，推導(dǎo)其標(biāo)準(zhǔn)方程？

師生活動：在學(xué)習(xí)過程中，加強(qiáng)新舊知識對比，運用類比思想，探究本節(jié)課程知識點，使學(xué)生能夠通過認(rèn)知學(xué)習(xí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思維，由此體現(xiàn)課程思政的有效育人作用.

【設(shè)計意圖】通過提問方式，引導(dǎo)學(xué)生使用數(shù)學(xué)語言對所學(xué)知識進(jìn)行總結(jié)和應(yīng)用，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)興趣和強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)情感.

課程思政設(shè)計：利用數(shù)學(xué)文化為切入點進(jìn)行課程思政導(dǎo)入，幫助學(xué)生進(jìn)行作業(yè)分層探索，提高學(xué)生基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)技能，為學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思想奠定堅實基礎(chǔ).

7"結(jié)語

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中融入課程思政，對于提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技能具有現(xiàn)實意義.課程思政教學(xué)，能夠體現(xiàn)學(xué)生的大局觀念，讓學(xué)生在感知學(xué)科知識的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)綜合能力.與此同時，素材選擇、內(nèi)容優(yōu)化、過程創(chuàng)新等實踐學(xué)習(xí)體驗，能夠增強(qiáng)高中生的數(shù)學(xué)思維能力，逐步強(qiáng)化學(xué)生數(shù)學(xué)綜合技能，致力于提高學(xué)生課程學(xué)習(xí)體驗感.

參考文獻(xiàn)

［1］時輝.“單元整體教學(xué)”理念下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計——以“圓錐曲線的方程”為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（15）：48－50.

［2］孔德權(quán).基于UbD理論和問題鏈思想優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)單元設(shè)計——以“圓錐曲線”單元為例［J］.數(shù)理天地（高中版），2024（3）：76－78.

［3］黃振東，馮茹.基于學(xué)習(xí)進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)單元復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計——以“圓錐曲線”單元為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2023（2）：32－34.