追本溯源，深度思考，促進思維進階

摘"要：“圖形的運動”相關知識覆蓋面廣，是各地中考試題壓軸熱門點.筆者通過一道“最值問題”的評講，追本溯源，有意識地進行了一次“軸對稱求最值”的探究，深挖軸對稱圖形中所蘊含的基本圖形和解題方法，以任務為驅動，不斷引發學生深度思考，提升其思維品質.

關鍵詞：思維進階；軸對稱；最值問題

軸對稱最值問題在考試中通常得分率偏低，歸根結底，是因為學生并未將題目與已有的經驗產生聯系.本文將“將軍飲馬”問題作為切入，引導學生重溫軸對稱最值問題的最基本模型，緊抓知識要點，幫助學生深度思考，促進思維進階.

1"例題重現

如圖1所示，在平面直角坐標系中，射線OM與y軸的正半軸的夾角為20°，點 A在射線OM上，OA=2，P、N、M分別是y軸、射線OM上的動點，求AP+PM+MN的最小值.

解析：以y軸為對稱軸作M的對稱點M′，

則PM=PM′，以M′所在的直線OM′為對稱軸作N的對稱點N′，點N′所在直線ON′與射線OM所成夾角為60°，MN=M′N′，

則AP+PM+MN=AP+PM′+M′N′.

將其“化折為直”，再根據“點與直線之間，垂線段最短”，可得AP+PM+MN的最小值.

過點A作AH⊥ON′，垂足為H，則AH即為AP+PM+MN的最小值，最小值為3.

2"重構體系，厘清脈絡

例1"將軍飲馬問題：如圖2所示，將軍每天從軍營A出發，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側的B地開會，應該怎樣走才能使路程最短？

解析：“將軍飲馬”模型，利用軸對稱的性質，將同側兩線段轉化為異側兩線段.因是基本模型，可由學生自主完成.

例2"如圖3所示，在平面直角坐標系中，A（8，0），B（2，0），直線l與x軸的正半軸的夾角為30 °，P是直線l上一動點，求PA+PB最小值.

解析：本題同樣是“將軍飲馬”模型，以P所在的直線l為對稱軸作A的對稱點A′，

則AP=A′P，

則AP+PB=A′P+PB.

根據“兩點之間，線段最短”，將其“化折為直”，得（PA+PB）min=A′B.

3"變式探究，深度思考

變式"如圖4所示，在平面直角坐標系中，A（8，0），B是x軸上的一個動點，直線l與x軸的正半軸的夾角為30 °，P是直線l上一動點，Q是直線l上一定點，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值.

解析：由“兩線段求和最小”拓展為 “三線段求和最小”，可繼續沿用“將軍飲馬”模型.如圖5所示，以P所在的直線l為對稱軸作A的對稱點A′，以B所在的x軸為對稱軸作Q的對稱點Q′， 則AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′，根據“兩點之間，線段最短”，將其“化折為直”，得 （A′P+PB+BQ′）min=A′Q′.

4"案例剖析，思維進階

4.1"目標定位，理解學生，選材需要落在學生思維的最近發展區

教學目標就是教學的方向，它關乎一堂課的成敗.實現這一目標的前提是理解學生，因為學生是課堂教學的主體，教師只有了解學生已有的知識經驗、學習習慣、思維特點等，才能做到有的放矢.如果復習僅僅是重現原來的問題或設置的問題難度過低，那么思維容量也偏低，對于功底好的學生，幾乎不需多加思考，又怎能產生思維興奮點？不少學生處于被動答題狀態.長此以往，他們學習數學的興趣也會逐步喪失.題量、難度是復習目標定位的兩個重要元素，合理選材，就能讓預設的教學目標與課堂的生成相匹配，使復習教學更有針對性，也更有價值.

4.2"精選問題，用好經典，緊扣思維生長點

模型觀念是數學學科核心素養之一.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出：“模型意識主要是指對數學模型普適性的初步感悟.知道數學模型可以用來解決一類問題，是數學應用的基本途徑.”［1］我們知道好題要放在合適的位置才能發揮它最大的價值，所以選擇經典問題是上好復習課的第一步.幾何中的最值問題，最終要歸結為 “兩點之間線段最短”“垂線段最短”.因此上述案例設計，緊抓知識要點，以學生熟悉的“將軍飲馬”作為切入點，重溫幾何最值中的最基本模型，從這一經典模型出發，由淺入深，再現“化折為直”的轉化思想，最終運用“兩點之間線段最短”這一定理，順利解決問題.

4.3"變式問題，拓展經典，把學生的思維逐步引向深入

學生的學習需要一定的連貫性與靈活性，因此，教師通過例題變式，可節省學生審題的時間，在主線清晰的情況下，方便學生將知識點加以整合，舍棄枝葉，突出問題本質，提煉數學模型.［2］變式中定點B此時變為x軸上一動點，化定為動，使問題更深一步.根據“點動成線”的思路，x軸即為所有動點B的集合，所以此刻A′B的最小值成為A′到x軸的最小值，“點與直線之間，垂線段最短”的“加盟”使問題走向深入.變式由“兩折線求和最小”拓展為 “三折線求和最小”問題，因為有了之前的題型鋪墊、思維構建，學生易想到通過軸對稱“化折為直”.巧用變式，梯度性的變式安排，由簡單到復雜、由淺入深、層層遞進的數學問題串，滿足不同層次學生解決不同層次問題，讓學生拾級而上，逐步提升其思維品質.

4.4"開放問題，實現思維進階

教師應設計開放性的問題.開放性的問題一般需要學生經歷觀察、分析、比較，才能很好地將題組提煉、發散.在例題設置中，教師應帶領學生感受題目變化的過程，領悟“化定為動”“化折為直”的奧妙.

通過對一系列問題的整合，讓學生感受到不斷變化與轉化，但萬變不離其宗的是“兩個最短”原理和對稱的思想方法.在例題中發展變式，便于進行歸納、提煉共性.一方面，選擇在同一個背景下，以問題串的形式，激發學生興趣，引發學生思考；另一方面，在講解過程中，有意識地引導學生關注“變化與不變”“運動與靜止”“有限與無限”等關系，站在發展的角度思考問題，有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性.

教學實踐表明在最近發展區內設置問題，讓學生“數學地思考問題”，便于產生思維共振，同時讓學生習得解決問題的數學思想方法，積累數學知識和經驗；通過例題及適度的一題多變、一題多解，不僅能激發學生的興趣，還能培養學生思維的發散性和靈活性；通過對問題的層層深入，引導學生關注數學本質，有益于培養學生思維的敏捷性和深刻性，這樣的課堂教學，將使學生終身受益.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］李海良，羅新兵.在思考過程中學會思維［J］.中學數學教學參考，2022（23）：1.