基于GeoGebra平臺的高中數學深度教學策略

摘"要：基于GeoGebra平臺的深度教學是指通過技術創新優化數學教學.該模式涵蓋三個關鍵環節：首先，利用GeoGebra的可視化功能再現數學概念情境，激發學生興趣與探索欲；其次，引導學生進行多樣化的實驗探究，借助GeoGebra的交互工具，讓學生在實踐中直觀感知數學知識的形成，深化對數學邏輯與本質的理解；最后，構建復雜問題情境，促進學生運用所學知識解決問題，提升創新能力與問題解決能力.

關鍵詞：高中數學；深度教學；奇偶性；GeoGebra軟件

隨著新課程改革的不斷深入，核心素養的教育理念在高中數學教育中逐漸占據核心地位.面對“如何培養具備數學核心素養的學生”這一核心議題，高中數學課堂的教學改革必須向更深層次推進.從內容上，教師不僅要注重基礎知識的扎實掌握和解題技能的提升，更要強調數學素養的培養，即引導學生用數學的眼光發現問題，用數學的語言描述問題，用數學的思想和方法解決問題；從方法上，教師不能僅僅停留在數學知識和技能的傳授上，而應更加注重通過數學學會思考，即以數學思維的分析和訓練來深化對數學知識和技能的理解；從目標上，教師不僅要教會學生數學知識，更要教會他們如何運用數學知識解決實際問題，實現知識與能力的雙重提升.在這一過程中，教師的引導與啟發至關重要，而學生的自主學習與融會貫通同樣不可或缺.為了讓學生在數學課堂上獲得更深層次的學習體驗，教師需要借助現代教育技術的力量，創新教學方式，構建充滿活力的數學課堂.以GeoGebra數學教學軟件為例，教師可以利用這一工具直觀地展示數學概念和解題過程，創設具有挑戰性的問題情境，激發學生的探究欲望，促進他們的積極思考，從而實現高中數學課堂的深度教學.

1"GeoGebra與深度教學

1.1"深度教學與數學深度教學

深度教學的概念在學術界尚未有明確的界定.郭元祥教授強調，深度教學應超越表層符號的教學范疇，實現從符號教學向邏輯教學與意義教學相融合的轉變.［1］李松林提出，深度教學要求教師在深刻理解學科本質和知識核心的基礎上，觸動學生的情感和思維深處，引導學生自主探索并實現真正意義上的理解.［2］羅祖兵指出，深度教學意味著讓學生深度參與到教學過程中，同時深刻理解所學內容.［3］黃祥勇認為，深度教學是一種能夠促進學生深入思考學科問題、深刻理解教學內容、深度生成學科思維的教學方式，它旨在促進學生的深度學習.［4］綜合這些觀點，深度教學注重的是對教學內容全面且深刻的理解，追求的是師生之間深度的交流與對話，其最終目標是指向學生思維和情感的深度發展.

在深度教學與深度學習的理論框架下，眾多專家對數學學科的深度教學提出了各自獨到的見解.鄭毓信教授從四個特性出發，闡述數學深度教學應具備聯系的觀點，以問題為導向，注重交流互動，并引導學生學會學習.［5］朱立明博士的視角則更為開闊，他從五個層面揭示了數學深度教學的真諦：聚焦核心主題，深入探究問題本質；融匯各類資源、知識和信息，形成有機體系；不斷嘗試創新思路和方法，突破問題瓶頸；以批判性思維反思和思考；采用多元化的評價方式，助力個人成長和發展.［6］綜合各位專家的觀點，數學深度教學的關鍵在于培養學生的核心素養，使學生能夠全身心地投入并沉浸在數學的探索與學習中.它要求教師在深刻理解數學學科本質的基礎上，精心設計教學活動，引導學生深入探索數學世界，通過深度參與數學活動，深入對數學思想與方法的掌握和應用，形成和深化數學思維，提升數學素養.

1.2"基于GeoGebra平臺的數學深度教學

GeoGebra是一款專為數學教育領域設計的軟件，為學習者提供了一個全新的數學學習環境.該軟件通過巧妙融合幾何與代數，為解決傳統數學問題開辟了新的途徑.其內置的計算機代數系統（CAS）極大地擴展了數學研究的可能性.指令輸入和工具構建功能讓數學概念的動態展示變得生動且直觀.多模塊互動特性，在高中數學教學中廣泛應用.

基于GeoGebra的深度課堂教學模式，可以細化為以下幾個關鍵環節：①概念情境的再現.課堂的起始階段，教師應利用GeoGebra的可視化優勢，精心設計并再現數學概念的生成情境.這種情境的再現不僅能夠吸引學生的注意力，更能夠激發他們的好奇心和參與熱情，促使學生在具體的學科問題中進行深入的思考和探索.②多樣化的實驗探究.教師應引導學生開展多樣化的實驗探究活動，通過GeoGebra提供的交互式工具，學生能夠在“數學化”的過程中直觀地體驗數學知識的生成過程，從而深入理解數學的內在邏輯和本質.③復雜問題的實踐應用.教師應構建具有挑戰性的復雜問題情境，鼓勵學生運用所學的知識和方法進行創新性的思考和解決.這一過程不僅能夠鍛煉學生的問題解決能力，更能夠幫助學生將理論知識轉化為解決實際問題的能力.

2"教學案例：函數的奇偶性

2.1"可視化情境追尋概念的意義與價值

課堂伊始，教師先展示對稱性的圖象，讓學生思考并總結這些圖象的共同特征，回顧軸對稱圖形與中心對稱圖形的含義.

問題1"哪些函數的圖象也具有類似的對稱性？請大家舉例說明.

學生給出的函數可能有y=x2，y=｜x｜，y=x，y=1x，y=x2+2，應用GeoGebra軟件快速繪制這些函數的圖象（如圖1），總結歸納其共同特征，從而引出課題，即偶函數和奇函數.

【設計意圖】通過賞析常見的對稱性圖片，激發學生對對稱性這一概念的探索興趣，喚醒學生的數學思維，為深入理解數學概念打下堅實基礎.GeoGebra的動態演示實時驗證學生的創意想法，特別是目前對于學生來說有些陌生的函數圖象，其可視化表達讓學生從宏觀角度深入感知奇偶性的圖象特征，同時為尋找符號表達提供了足夠多的樣例支持明確的方向和思路.

問題2"判斷函數f（x）=x2-2x， x＜0，x2+2x，x0是不是偶函數？你是怎么判斷的？

學生認為該函數看著像是對稱的，應該是偶函數.教師接著運用

GeoGebra軟件動態演示該函數圖象的翻折過程，將y軸左側的函數圖象整體翻折至右側，發現其與函數的右半邊圖象是完全重合的（如圖2），從而證明該函數是偶函數.

【設計意圖】此環節致力于引導學生實現從“形態”到“數量”的思維模式轉變，讓他們親身體驗到圖象的動態變化，進而引發他們深入思考.深刻理解教學中知識的內在構成是影響深度教學的關鍵因素之一，“函數的奇偶性”知識包含以符號表示的“奇偶函數的概念”，也有作為思想和方法的知識和作為意義和價值的知識.數形結合思想作為高中數學最重要的思想與方法之一，也應該是本節課的教學重點，通過技術來構造一個可視化的情境讓學生深刻認識到“形缺數時少直觀，數缺形時難入微”，觸動學生的情感和思維深處，引導學生通過自主探索來“釋疑”.

問題3"那么我們又該如何探究偶函數的“數”的特征呢？你有沒有相應的探究方案呢？

學生回顧函數單調性的探究程序，進而將之遷移到函數奇偶性的研究中.

【設計意圖】奇偶函數概念的產生過程是數學家們運用數學的思想方法，反復猜想、推理、驗證并得出的過程.奇偶函數的概念產生過程也是數學知識的一部分，將概念的探究過程與概念割裂開來進行教學將會導致學生無法正確地理解兩者.引導學生回顧函數單調性的研究程序從而制定研究偶函數的研究方案，既是函數性質研究程序的又一次實踐，亦是對學生在函數的單調性研究中所獲得的探究能力的檢驗.

2.2"技術可視化輔助自主探究

探究活動1：請選擇一個確定的偶函數，來探討其“代數特征”.

問題1"依托于圖1和圖2，看看怎樣才能精準地判斷圖象是否關于ｙ軸對稱？

學生提出判斷圖象是否關于y軸對稱的方法：在圖象上取一點，作出此點關于y軸對稱的點，驗證對稱點是否還在函數圖象上. 教師引導學生去考慮平面直角坐標系中點的代數表示來進行判斷，借助GeoGebra動態演示此過程，如圖3中的點A，點A′是點A關于y軸的對稱點.根據驗證過程中點坐標的關系，歸納出解析式滿足的數量關系.總結（x，y）與（-x，y）都在函數圖象上，進而得到y=f（x）=f（-x）.

問題2"其他的偶函數也滿足這個特殊的數量關系嗎？

通過GeoGebra演示任何一個偶函數（圖象關于y軸對稱）都滿足：當橫坐標互為相反數時，縱坐標相等，亦即任取定義域中的x，都有f（-x）=f（x）.

【設計意圖】通過對特殊函數的深入探究，旨在使學生深刻理解圖象對稱性的本質，即圖象上點的對稱性.通過從特殊點到一般點、特殊函數到一般函數的遞進式探究過程，教師引導學生觀察并總結點的坐標關系，進而概括出函數解析式所滿足的數量關系.本環節旨在打破學生固有的“形態”思維定式，因為僅憑宏觀形態的觀察無法捕捉到微觀形態上的細微差別.

問題3"如果函數圖象是關于y軸對稱的，則函數表達式滿足f（-x）=f（x）.反之呢，如果函數解析式滿足f（-x）=f（x），函數的圖象是否關于y軸對稱？

通過GeoGebra軟件動態、直觀展示發現，函數圖象上的所有點關于y軸的對稱點仍然位于函數的圖象上.

教學說明：借助問題2和問題3鍛煉學生的批判性思維，引導學生意識到將特殊情形中探究得到的規律推廣到一般情形時需要進行嚴格證明，體會合理猜想與邏輯推理的辯證統一，逐步形成嚴謹的邏輯思維能力.

探究活動2：類比偶函數的概念，探索奇函數的概念.

學生利用GeoGebra展示奇函數的圖象特征，進而發現奇函數點的特征，最后找到奇函數的代數表示并利用GeoGebra來驗證：①奇函數上的任意一點關于原點的對稱點仍然在圖象上，即（x，y）與（-x，-y）都在函數圖象上，也就是f（-x）=-f（x）；②若函數解析式滿足f（-x）=-f（x），則函數的圖象關于原點對稱.

學生活動：請先自主完成探究活動2，然后以小組為單位交流討論，互相檢查書寫過程是否完整、嚴謹，最后推選一名小組代表在班級層面匯報展示小組的探究結果.

【設計意圖】通過調動偶函數的研究經驗來完成奇函數的研究，將奇函數的學習內容與已有的函數知識建立起結構性的關聯，從而使已有的知識轉化為與學生有關聯、可操作和思考的經驗.借助GeoGebra的直觀演示，確保每位學生都能享有獨立思考與自主探究的機會，充分發揮其主觀能動性.

2.3"技術拓展課堂實踐的內容與方式，達成深度理解

為了進一步提升學生的實踐能力和高級思維能力，對教材中的思考題進行了創意改編，并增設了操作探究環節.

例1"判斷下列函數的奇偶性.

（1）函數f（x）=x3+x.

（2）函數f（x）=｜x｜+1，x∈（-2，2］.

拓展提升1"能否通過添加項使函數f（x）=x3+x是奇函數？偶函數？既是奇函數又是偶函數？

學生可以提出各種添加項，如f（x）=x3+x-2x3，f（x）=x3+x-3x，f（x）=x3+x+2x2，f（x）=x3+x-3，f（x）=x3+x-x3-x，f（x）=x3+x-x3-x+1，f（x）=x3+x-x3-x+2x2，f（x）=x3+x-x3-x+2x2-2x4.通過GeoGebra快速繪制圖象進行驗證，并根據定義來進行嚴格的推理.

【設計意圖】利用GeoGebra探索函數奇偶性，不僅深化了學生對數學概念的理解，還培養了其高階思維能力.學生通過直觀操作，自主觀察、分析、總結規律，促進了知識的內化與自主學習能力的提升.在此過程中，學生學會了觀察、假設、實驗、驗證的問題解決策略，這些策略可遷移至其他學科和生活中復雜問題的處理，為其全面發展奠定了堅實基礎.

例2"判斷f（x）=3x2+5x的奇偶性.

拓展提升2"已知函數f（x）的定義域為R，當x≥0時，f（x）=3x2+5x，你能否補齊f（x）在x＜0時的解析式使得函數f（x）是奇函數或偶函數？

【設計意圖】

利用GeoGebra軟件，學生可以在大屏上親手操作，通過動態的數學實驗來探索函數的奇偶性.這種直觀、互動的學習方式不僅有助于加深學生對奇偶性概念的理解，更能提升他們的實際操作能力和問題解決能力.

3"教學反思

3.1"精心設計學習情境，再現概念的生成過程

問題是數學學習的核心驅動力，通過設計既具挑戰性又富有啟發性的可視化的問題情境，有效地促進學生的深度學習.問題的解決過程中不僅為學生提供了數學上的判斷依據，也引導他們從新角度審視該問題，促進了數形結合思想的深入實踐.這種別出心裁的“誘敵深入”教學設計，如同一場精心布局的智力游戲，不僅為數形結合思想的實踐鋪設了廣闊的舞臺，更點燃了學生內心的探索欲望.它鼓勵學生跳出傳統思維的框架，挑戰自我，不斷反思.在這種引導下，學生如同探險家一般，主動思考、積極探尋，勇攀數學高峰，完成了深度的自我學習.

3.2"多樣化的實驗探究，全面培養學生的數學素養

數學概念的學習不僅僅是知識的簡單積累，更是思維能力的重要提升.因此，教師在教學過程中應當注重對學生的思維進行有針對性的訓練，通過設計層次分明、逐步深入的問題與活動，引導學生不斷深化對數學概念的理解和應用能力.函數的探究過程不僅是對二次函數知識的一次提升和深化，更是通過典型的案例研究學習函數的方法，這一過程為學生歸納、概括、抽象出偶函數概念提供了必要的“腳手架”，實現了從具體到抽象的轉變，為他們后續學習更高級的數學概念和方法打下了堅實的基礎.

3.3"創新實踐應用，加深學生對數學概念的理解

深度教學強調學生對知識的深度理解和應用、舉一反三以及解決復雜問題的能力.借助已有的偶函數概念形成的探究經驗，引導學生將研究方法進行遷移，自主建構探究奇函數概念的研究方法、證明思路以及符號語言的精準表達方式，使所學知識成為學生經歷觀察、猜想、推理、論證而自然得出的結論，從中體會從特殊到一般、從具體到抽象的研究問題的方法，提升了學生的數學表達能力和處理邏輯性問題的能力.在奇偶函數構造過程中，學生需基于已學的奇偶性定義和性質，嘗試構造出滿足特定奇偶性條件的函數.這一挑戰不僅是對學生知識掌握程度的檢驗，更是對他們邏輯思維、抽象思維和創造性思維的全面挑戰.通過這一環節，學生能夠在實踐中深化對奇偶性概念的理解，提升數學思維能力，為后續的學習和研究奠定堅實的基礎.

參考文獻

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［6］ 朱立明，馮用軍，馬云鵬.論深度學習的教學邏輯［J］.教育科學，2019（3）：14-20.

*基金項目：江蘇省教育科學“十四五”規劃課題“基于GeoGebra的高中數學深度教學實踐研究”（項目編號：C-c/2021/02/202）.