基于數(shù)學(xué)本質(zhì)教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生模型觀念

摘要：模型觀念的培養(yǎng)過(guò)程包括識(shí)別和抽象實(shí)際問(wèn)題、選擇和應(yīng)用數(shù)學(xué)模型、驗(yàn)證和優(yōu)化數(shù)學(xué)模型.本文以研究“兩定一動(dòng)”型最值問(wèn)題為主線，總結(jié)和提煉從生活中抽象出來(lái)的“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”模型，并結(jié)合案例深入解讀了其中蘊(yùn)含的運(yùn)動(dòng)變化思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等數(shù)學(xué)思想方法.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)本質(zhì)；模型觀念；最值問(wèn)題

模型觀念是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的三大核心素養(yǎng)之一“會(huì)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”的主要表現(xiàn).［1］最值問(wèn)題是中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)最常見(jiàn)的一個(gè)問(wèn)題，在生活中應(yīng)用廣泛，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想和想象、建模、轉(zhuǎn)化、創(chuàng)新等能力要求高.最值問(wèn)題包括了代數(shù)最值和幾何最值，其中幾何最值問(wèn)題涉及的點(diǎn)、線、圖形的數(shù)量和組合多樣，復(fù)雜多變.本文從平面幾何中的基礎(chǔ)公理“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”出發(fā)，通過(guò)“化折為直”建立“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”等最值問(wèn)題模型，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、數(shù)學(xué)推理等能力，以期實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生模型觀念這一核心素養(yǎng)的培養(yǎng).

1未加權(quán)線段和PA＋PB或線段差PA－PB最值問(wèn)題

1.1定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在動(dòng)點(diǎn)P所在的直線上

動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A和點(diǎn)B是直線l上的兩個(gè)定點(diǎn).

1.1.1線段和PA+PB的最值問(wèn)題

由于直線能無(wú)限延伸，所以PA+PB的最大值為無(wú)窮大，PA+PB的最小值就可以探究.由于點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：①如圖1所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，PA+PB=2PA+ABgt;AB；②如圖2所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，PA+PB=AB；③如圖3所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA+PB=2PB+ABgt;AB.綜上，PA+PB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度.

1.1.2線段差PA－PB的最值問(wèn)題

研究PA-PB的最值，也需要對(duì)動(dòng)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論：①如圖1所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，PA-PB=-AB；②如圖2所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上且靠近點(diǎn)A的一側(cè)時(shí)，PA＜PB，則PA-PB仍然為負(fù)值，易知此時(shí)PA-PBgt;-AB；③如圖4所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB的中點(diǎn)時(shí)，PA=PB，故PA-PB=0；④如圖5所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上且靠近點(diǎn)B的一側(cè)時(shí)，PA＞PB，則PA-PBlt;PA＜AB；⑤如圖3所示，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，PA-PB=AB.綜上，PA-PB的最小值為線段AB長(zhǎng)度的相反數(shù)，最大值為線段AB的長(zhǎng)度.

若加上絕對(duì)值，由以上分析可得｜PA-PB｜的最小值為0，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P在線段AB的中點(diǎn)處；｜PA-PB｜的最大值為線段AB的長(zhǎng)度，此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)或點(diǎn)B的右側(cè)，包括點(diǎn)A和點(diǎn)B.由對(duì)稱性可知，PB-PA結(jié)論類似.

例題已知y=｜x-1｜+｜x+3｜，求y的最小值.

分析：y的值可以看成是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（-3）的距離PA與動(dòng)點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)B（1）的距離PB之和.由上面的理論分析可知，PA+PB的最小值為線段AB的長(zhǎng)度，即4.這種解法充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想.這道題也可以用分類討論思想去絕對(duì)值，從代數(shù)角度出發(fā)解決問(wèn)題.

1.2定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在動(dòng)點(diǎn)P所在的直線異側(cè)

如圖6所示，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A和點(diǎn)B是位于直線l異側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn).

由于直線能無(wú)限延伸，所以PA+PB的最大值為無(wú)窮大，PA+PB的最小值可以進(jìn)行探究.如圖7所示，連接PA、PB、AB，AB交直線l于點(diǎn)M.由于“兩點(diǎn)之間線段最短”，故PA+PB的最小值是線段AB的長(zhǎng)度，此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)M重合.

接著研究PA-PB的最大值.如圖8所示，作點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)C，連接PC，作直線BC交直線l于點(diǎn)N，則PC=PA，所以PA-PB=PC-PB.設(shè)線段BC的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)P在射線QN上（靠近點(diǎn)C一側(cè)）運(yùn)動(dòng)時(shí)，PC＜PB，故PA-PB=PC-PBlt;0，因此研究PA-PB的最大值要看點(diǎn)P在射線QN的反向延長(zhǎng)線上（靠近點(diǎn)B一側(cè)）運(yùn)動(dòng)，此時(shí)只能知道PC＞PB，在△PBC中，由三角形的三邊關(guān)系得PC-PB＜BC，但是取不到最大值BC的長(zhǎng)度，甚至PC-PB比BC小多少不能確定.

若加上絕對(duì)值，探究｜PA-PB｜的最大值.如圖8所示，同上述處理方法，這時(shí)候在△PBC中，PB-PC＜BC，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，｜PA-PB｜=PB-PC=BC，此時(shí)｜PA-PB｜的最大值是線段BC的長(zhǎng)度.接著研究｜PA-PB｜的最小值，此時(shí)只需要PB=PC，即動(dòng)點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線與直線l的交點(diǎn)Q處，此時(shí)最小值為0（如圖9）.

例題如圖10所示，正方形ABCD邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上（不與A、B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，連接A1B，將A1B繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C.給出下列四個(gè)結(jié)論：①△ABA1≌△CBA2;②∠ADE+∠A1CB=45°；

③點(diǎn)P是直線DE上動(dòng)點(diǎn)，則CP+A1P的最小值為2；④當(dāng)∠ADE=30°時(shí)，△A1BE的面積為（3-3）6.其中正確的結(jié)論是（填寫序號(hào)）.

分析：E是動(dòng)點(diǎn)意味著DE是動(dòng)線，進(jìn)而△ADE沿直線DE折疊，A1也是動(dòng)點(diǎn)，P也是動(dòng)點(diǎn)，本題屬于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)類型的問(wèn)題，由折疊可知A1P=AP，故CP+A1P=CP+AP，求這個(gè)最小值就轉(zhuǎn)化為A、P、C三點(diǎn)共線的問(wèn)題，由前面的分析可知CP+AP的最小值為線段AC的長(zhǎng)度，即2.

1.3定點(diǎn)A和定點(diǎn)B在動(dòng)點(diǎn)P所在的直線同側(cè)（“將軍飲馬”模型）

如圖8所示，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C和點(diǎn)B是位于直線l同側(cè)的兩個(gè)定點(diǎn).

由于直線能無(wú)限延伸，所以PC+PB的最大值為無(wú)窮大，PC+PB的最小值利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化為求PA+PB的最小值，即線段AB的長(zhǎng)度.這就是經(jīng)典的“將軍飲馬”模型.“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》里的一句詩(shī).由此引申出一系列非常有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題，通常稱為“將軍飲馬”問(wèn)題.［2］如圖8所示，將軍在圖中點(diǎn)C處，現(xiàn)在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營(yíng)地點(diǎn)B，要求將軍怎么走能使得路程最短？

PC-PB的最值、PB-PC的最值以及｜PC-PB｜的最值的結(jié)論同上面研究的一樣，通過(guò)軸對(duì)稱變換，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題，這充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想和模型觀念中的通性通法，這里不再贅述.

例題如圖11所示，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上.∠ABC＝120°，點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）.

A.3

B.5

C.22

D.323

分析：利用“將軍飲馬”模型可知，將點(diǎn)E對(duì)稱到動(dòng)點(diǎn)P所在的x軸的另一側(cè)BC邊的中點(diǎn)F處，將PD+PE轉(zhuǎn)化為PD+PF，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”可得最小值為線段DF的長(zhǎng)度，計(jì)算得答案為3.

此類“將軍飲馬”模型問(wèn)題的解決思路，主要用到了軸對(duì)稱的變換和“兩點(diǎn)之間線段最短”.要求這樣的最值，關(guān)鍵是想辦法進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)移，通過(guò)軸對(duì)稱的變換將直線同一側(cè)的兩點(diǎn)轉(zhuǎn)換到直線的兩側(cè)，再將已經(jīng)轉(zhuǎn)移成有公共端點(diǎn)的兩條線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”來(lái)解決最值.

2加權(quán)線段和PA＋k·PB或線段差PA－k·PB最值問(wèn)題

在解決加權(quán)線段和與差最值問(wèn)題之前，需要思考求m·PA±n·PB的最值問(wèn)題怎么處理.一種思路是提取其中一個(gè)系數(shù)，如m·PA±n·PB=m·PA±nmPB轉(zhuǎn)化為PA±k·PB問(wèn)題，另外k大于或者小于1也是可以互相轉(zhuǎn)化的，這充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的作用；另一種思路是分別單獨(dú)研究m·PA和n·PB，這體現(xiàn)了分類討論思想.

2.1動(dòng)點(diǎn)在直線或線段上（“胡不歸”模型）

模型來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，并應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活，如圖12所示，某人從出發(fā)點(diǎn)A回到點(diǎn)B處家里，兩點(diǎn)之間線段最短，按照線段AB走路程最短，但是由于砂礫地上行走速度緩慢，而直線MN表示的驛道上走的速度更快，這樣按照線段AC先走一段路，然后再經(jīng)過(guò)砂礫地回家，如何走會(huì)最短時(shí)間回到家呢，這就是“胡不歸”模型.［3］具體解讀如下：如圖13所示，點(diǎn)A是直線MN上一定點(diǎn)，點(diǎn)B是直線MN外一定點(diǎn)，點(diǎn)C是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，求BC+k·AC的最小值.方法是構(gòu)造射線AD使sin∠NAD=k，過(guò)點(diǎn)C作AD的垂線交AD于點(diǎn)E，此時(shí)k·AC=CE，于是將求BC+k·AC的最小值轉(zhuǎn)化為求BC+CE的最小值，由垂線段最短可知，最小值為過(guò)點(diǎn)B作射線AD的垂線段BE′的長(zhǎng)度.

例題如圖14所示，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（-1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AC.

（1）略.

（2）在拋物線的對(duì)稱軸上取一點(diǎn)E，點(diǎn)F為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，使得以點(diǎn)A、C、E、F為頂點(diǎn)，AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點(diǎn)F的坐標(biāo).

（3）在（2）的條件下，將點(diǎn)D向下平移5個(gè)單位得到點(diǎn)M，點(diǎn)P為拋物線的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求PF+35PM的最小值.

分析：對(duì)于第（3）問(wèn)，如圖15所示，易得拋物線解析式為y=-x2+2x+3，點(diǎn)D（1，4），故點(diǎn)M（1，-1），由第（2）問(wèn)解得F1（-2，-5），F(xiàn)2（4，-5），連接F1F2，可得F1F2⊥DM于點(diǎn)H.由于點(diǎn)F1和點(diǎn)F2是關(guān)于動(dòng)點(diǎn)P所在的直線上的對(duì)稱點(diǎn)，故研究點(diǎn)F1或點(diǎn)F2都可以.兩個(gè)定點(diǎn)M和F，一個(gè)軌跡為直線的動(dòng)點(diǎn)P，這就是“胡不歸”模型.經(jīng)計(jì)算，F(xiàn)1HF1M=35，所以此題不需要自行構(gòu)造三角函數(shù)轉(zhuǎn)化35PM.因?yàn)閟in∠F1MH=F1HF1M=35，所以作PN⊥F1M于點(diǎn)N，所以PN=35PM，PF+35PM=PF+PN，過(guò)F2作F1M的垂線段F2N的長(zhǎng)度即為最小值.根據(jù)題目的信息可求得PF+35PM最小值為245.

“胡不歸”模型的思路是構(gòu)造三角函數(shù)，過(guò)其中一定點(diǎn)向動(dòng)點(diǎn)所在的直線的一側(cè)作一個(gè)銳角，使其正弦值等于要處理的系數(shù)k，轉(zhuǎn)化線段，最后利用“垂線段最短”解決問(wèn)題.［4］

2.2動(dòng)點(diǎn)在圓或弧上（“阿氏圓”模型）

古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書(shū)中，曾研究了眾多的平面軌跡問(wèn)題，其中有如下著名結(jié)論：到平面上兩定點(diǎn)距離比等于已知數(shù)的動(dòng)點(diǎn)軌跡為直線或圓.［5］此結(jié)果中的圓就是著名的阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱“阿氏圓”.［6］

例題如圖16所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，⊙C的半徑是2，點(diǎn)P為⊙C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP，BP，求①AP+12BP的最小值；②2AP+BP的最小值；③13AP+BP的最小值；④AP+3BP的最小值；⑤AP-12BP的最大值；⑥2AP-BP的最大值；⑦BP-13AP的最大值；⑧3BP-AP的最大值.

分析：如圖17所示，①在CB上取一點(diǎn)D，使得CD=1，這樣就有CDCP=CPCB=12，又∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以PDPB=12，即PD=12·PB.所以AP+12BP=AP+PD，當(dāng)P在P1位置時(shí)，即A、P、D三點(diǎn)共線時(shí)，AP+PD最小，根據(jù)勾股定理可以求出最小值A(chǔ)D=37.通過(guò)分析過(guò)程就可以發(fā)現(xiàn)題中點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)D和B的比值是一個(gè)定值12，點(diǎn)P所在的圓即“阿氏圓”；②將2AP+BP提取2轉(zhuǎn)化為2AP+12BP即可，所以答案237；③注意到第①小題，要在CB上取一點(diǎn)D，結(jié)合CPCB=12，這個(gè)比值剛好為轉(zhuǎn)化12BP提供了方向.那么如果需要轉(zhuǎn)化13AP，觀察發(fā)現(xiàn)CPCA=13，所以需要在CA上取一點(diǎn)E，使得CE=23，這樣就有△PCE∽△ACP，就把13AP轉(zhuǎn)化成了EP，進(jìn)而求得答案2373；④同第②小題中方法一樣，結(jié)合第③小題，得到答案237；⑤同第①小題構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)△PAD中，PA-PD＜AD，即AP-12BP＜AD，當(dāng)P在P5位置時(shí)A、P、D三點(diǎn)共線，此時(shí)PA-PD=AD，AD長(zhǎng)即為AP-12BP最大值，為37；⑥將2AP-BP提取2轉(zhuǎn)化為2AP-12BP即可，所以答案為237；⑦同第③小題構(gòu)造圖形，結(jié)合第⑤小題的方法，得到答案2373；⑧同第⑥小題中方法一樣，結(jié)合第⑦小題，得到答案237.

類比“將軍飲馬”問(wèn)題，可以將“阿氏圓”問(wèn)題中的圓作為廣義上的“河”，“河”的同側(cè)為圓內(nèi)或圓外，這樣，圓周上動(dòng)點(diǎn)P到圓內(nèi)或圓外兩定點(diǎn)A、B的距離的線性和“PA+k·PB”的最短問(wèn)題，就變成了廣義“將軍飲馬”問(wèn)題.［7］用“阿氏圓”模型解決“PA+k·PB”型的最值問(wèn)題，蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，將k·PB轉(zhuǎn)化為另一條線段的長(zhǎng)度，再利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決問(wèn)題.共邊共角定比值構(gòu)造子母型相似是解決阿氏圓問(wèn)題的核心方法，背后的本質(zhì)還是通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解決k倍的問(wèn)題.

3結(jié)語(yǔ)

在動(dòng)點(diǎn)變化過(guò)程中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵思路，也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)最值問(wèn)題中的核心本質(zhì).許多幾何最值問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化（軸對(duì)稱變換，相似變換）都會(huì)回到平面幾何中“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”這兩個(gè)最本質(zhì)的數(shù)學(xué)公理.“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”等不一樣的問(wèn)題是這樣，其他最值問(wèn)題也是如此.學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中需要弄清楚問(wèn)題的來(lái)龍去脈，思考其中的數(shù)學(xué)本質(zhì)，將復(fù)雜問(wèn)題抽象和歸納為某一具體模型或看到模型其中的本質(zhì)原理，然后根據(jù)該類型的模型回歸本質(zhì)來(lái)解決問(wèn)題.

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*基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)規(guī)劃“十四五”2023年度立項(xiàng)課題“從‘教’走向‘學(xué)’：初中數(shù)學(xué)‘閱讀·思考·表達(dá)’能力培養(yǎng)的路徑研究”（項(xiàng)目編號(hào)：FJJKZX23144）；2024年福建省基礎(chǔ)教育課程教學(xué)研究課題“從教走向?qū)W：基于思維可視化的數(shù)學(xué)整體教學(xué)實(shí)踐”（項(xiàng)目編號(hào)：MJYKT2024168）.