基于數學本質教學培養學生模型觀念

摘要：模型觀念的培養過程包括識別和抽象實際問題、選擇和應用數學模型、驗證和優化數學模型.本文以研究“兩定一動”型最值問題為主線，總結和提煉從生活中抽象出來的“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”模型，并結合案例深入解讀了其中蘊含的運動變化思想、函數思想、轉化與化歸思想、數形結合思想、分類討論思想等數學思想方法.

關鍵詞：數學本質；模型觀念；最值問題

模型觀念是《義務教育數學課程標準（2022年版）》提出的三大核心素養之一“會用數學的語言表達現實世界”的主要表現.［1］最值問題是中學生數學學習時最常見的一個問題，在生活中應用廣泛，對學生的數學聯想和想象、建模、轉化、創新等能力要求高.最值問題包括了代數最值和幾何最值，其中幾何最值問題涉及的點、線、圖形的數量和組合多樣，復雜多變.本文從平面幾何中的基礎公理“兩點之間線段最短”“垂線段最短”出發，通過“化折為直”建立“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”等最值問題模型，培養學生的直觀想象、數學推理等能力，以期實現對學生模型觀念這一核心素養的培養.

1未加權線段和PA＋PB或線段差PA－PB最值問題

1.1定點A和定點B在動點P所在的直線上

動點P在直線l上運動，點A和點B是直線l上的兩個定點.

1.1.1線段和PA+PB的最值問題

由于直線能無限延伸，所以PA+PB的最大值為無窮大，PA+PB的最小值就可以探究.由于點P在直線l上運動，要對點P的位置進行分類討論：①如圖1所示，當動點P在點A的左側時，PA+PB=2PA+ABgt;AB；②如圖2所示，當動點P在線段AB上時，PA+PB=AB；③如圖3所示，當動點P在點B的右側時，PA+PB=2PB+ABgt;AB.綜上，PA+PB的最小值為線段AB的長度.

1.1.2線段差PA－PB的最值問題

研究PA-PB的最值，也需要對動點P的位置進行分類討論：①如圖1所示，當動點P在點A的左側時，PA-PB=-AB；②如圖2所示，當動點P在線段AB上且靠近點A的一側時，PA＜PB，則PA-PB仍然為負值，易知此時PA-PBgt;-AB；③如圖4所示，當動點P在線段AB的中點時，PA=PB，故PA-PB=0；④如圖5所示，當動點P在線段AB上且靠近點B的一側時，PA＞PB，則PA-PBlt;PA＜AB；⑤如圖3所示，當動點P在點B的右側時，PA-PB=AB.綜上，PA-PB的最小值為線段AB長度的相反數，最大值為線段AB的長度.

若加上絕對值，由以上分析可得｜PA-PB｜的最小值為0，此時動點P在線段AB的中點處；｜PA-PB｜的最大值為線段AB的長度，此時動點P在點A的左側或點B的右側，包括點A和點B.由對稱性可知，PB-PA結論類似.

例題已知y=｜x-1｜+｜x+3｜，求y的最小值.

分析：y的值可以看成是數軸上一動點P（x）到定點A（-3）的距離PA與動點P（x）到定點B（1）的距離PB之和.由上面的理論分析可知，PA+PB的最小值為線段AB的長度，即4.這種解法充分體現了數形結合思想.這道題也可以用分類討論思想去絕對值，從代數角度出發解決問題.

1.2定點A和定點B在動點P所在的直線異側

如圖6所示，動點P在直線l上運動，點A和點B是位于直線l異側的兩個定點.

由于直線能無限延伸，所以PA+PB的最大值為無窮大，PA+PB的最小值可以進行探究.如圖7所示，連接PA、PB、AB，AB交直線l于點M.由于“兩點之間線段最短”，故PA+PB的最小值是線段AB的長度，此時點P與點M重合.

接著研究PA-PB的最大值.如圖8所示，作點A關于直線l的對稱點C，連接PC，作直線BC交直線l于點N，則PC=PA，所以PA-PB=PC-PB.設線段BC的垂直平分線與直線l的交點為Q，當點P在射線QN上（靠近點C一側）運動時，PC＜PB，故PA-PB=PC-PBlt;0，因此研究PA-PB的最大值要看點P在射線QN的反向延長線上（靠近點B一側）運動，此時只能知道PC＞PB，在△PBC中，由三角形的三邊關系得PC-PB＜BC，但是取不到最大值BC的長度，甚至PC-PB比BC小多少不能確定.

若加上絕對值，探究｜PA-PB｜的最大值.如圖8所示，同上述處理方法，這時候在△PBC中，PB-PC＜BC，當點P與點N重合時，｜PA-PB｜=PB-PC=BC，此時｜PA-PB｜的最大值是線段BC的長度.接著研究｜PA-PB｜的最小值，此時只需要PB=PC，即動點P在線段BC的垂直平分線與直線l的交點Q處，此時最小值為0（如圖9）.

例題如圖10所示，正方形ABCD邊長為1，點E在邊AB上（不與A、B重合），將△ADE沿直線DE折疊，點A落在點A1處，連接A1B，將A1B繞點B順時針旋轉90°得到A2B，連接A1A，A1C，A2C.給出下列四個結論：①△ABA1≌△CBA2;②∠ADE+∠A1CB=45°；

③點P是直線DE上動點，則CP+A1P的最小值為2；④當∠ADE=30°時，△A1BE的面積為（3-3）6.其中正確的結論是（填寫序號）.

分析：E是動點意味著DE是動線，進而△ADE沿直線DE折疊，A1也是動點，P也是動點，本題屬于兩個動點類型的問題，由折疊可知A1P=AP，故CP+A1P=CP+AP，求這個最小值就轉化為A、P、C三點共線的問題，由前面的分析可知CP+AP的最小值為線段AC的長度，即2.

1.3定點A和定點B在動點P所在的直線同側（“將軍飲馬”模型）

如圖8所示，動點P在直線l上運動，點C和點B是位于直線l同側的兩個定點.

由于直線能無限延伸，所以PC+PB的最大值為無窮大，PC+PB的最小值利用軸對稱轉化為求PA+PB的最小值，即線段AB的長度.這就是經典的“將軍飲馬”模型.“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，這是唐代詩人李頎《古從軍行》里的一句詩.由此引申出一系列非常有趣的數學問題，通常稱為“將軍飲馬”問題.［2］如圖8所示，將軍在圖中點C處，現在他要帶馬去河邊喝水，之后返回軍營地點B，要求將軍怎么走能使得路程最短？

PC-PB的最值、PB-PC的最值以及｜PC-PB｜的最值的結論同上面研究的一樣，通過軸對稱變換，將問題轉化為已經解決過的問題，這充分體現了轉化思想和模型觀念中的通性通法，這里不再贅述.

例題如圖11所示，菱形ABCD，點A、B、C、D均在坐標軸上.∠ABC＝120°，點A（-3，0），點E是CD的中點，點P是OC上的一動點，則PD+PE的最小值是（）.

A.3

B.5

C.22

D.323

分析：利用“將軍飲馬”模型可知，將點E對稱到動點P所在的x軸的另一側BC邊的中點F處，將PD+PE轉化為PD+PF，利用“兩點之間線段最短”可得最小值為線段DF的長度，計算得答案為3.

此類“將軍飲馬”模型問題的解決思路，主要用到了軸對稱的變換和“兩點之間線段最短”.要求這樣的最值，關鍵是想辦法進行線段的轉移，通過軸對稱的變換將直線同一側的兩點轉換到直線的兩側，再將已經轉移成有公共端點的兩條線段，利用“兩點之間線段最短”來解決最值.

2加權線段和PA＋k·PB或線段差PA－k·PB最值問題

在解決加權線段和與差最值問題之前，需要思考求m·PA±n·PB的最值問題怎么處理.一種思路是提取其中一個系數，如m·PA±n·PB=m·PA±nmPB轉化為PA±k·PB問題，另外k大于或者小于1也是可以互相轉化的，這充分體現了轉化思想的作用；另一種思路是分別單獨研究m·PA和n·PB，這體現了分類討論思想.

2.1動點在直線或線段上（“胡不歸”模型）

模型來源于現實生活，并應用于現實生活，如圖12所示，某人從出發點A回到點B處家里，兩點之間線段最短，按照線段AB走路程最短，但是由于砂礫地上行走速度緩慢，而直線MN表示的驛道上走的速度更快，這樣按照線段AC先走一段路，然后再經過砂礫地回家，如何走會最短時間回到家呢，這就是“胡不歸”模型.［3］具體解讀如下：如圖13所示，點A是直線MN上一定點，點B是直線MN外一定點，點C是直線MN上的動點，求BC+k·AC的最小值.方法是構造射線AD使sin∠NAD=k，過點C作AD的垂線交AD于點E，此時k·AC=CE，于是將求BC+k·AC的最小值轉化為求BC+CE的最小值，由垂線段最短可知，最小值為過點B作射線AD的垂線段BE′的長度.

例題如圖14所示，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A（3，0），B（-1，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），其頂點為點D，連接AC.

（1）略.

（2）在拋物線的對稱軸上取一點E，點F為拋物線上一動點，使得以點A、C、E、F為頂點，AC為邊的四邊形為平行四邊形，求點F的坐標.

（3）在（2）的條件下，將點D向下平移5個單位得到點M，點P為拋物線的對稱軸上一動點，求PF+35PM的最小值.

分析：對于第（3）問，如圖15所示，易得拋物線解析式為y=-x2+2x+3，點D（1，4），故點M（1，-1），由第（2）問解得F1（-2，-5），F2（4，-5），連接F1F2，可得F1F2⊥DM于點H.由于點F1和點F2是關于動點P所在的直線上的對稱點，故研究點F1或點F2都可以.兩個定點M和F，一個軌跡為直線的動點P，這就是“胡不歸”模型.經計算，F1HF1M=35，所以此題不需要自行構造三角函數轉化35PM.因為sin∠F1MH=F1HF1M=35，所以作PN⊥F1M于點N，所以PN=35PM，PF+35PM=PF+PN，過F2作F1M的垂線段F2N的長度即為最小值.根據題目的信息可求得PF+35PM最小值為245.

“胡不歸”模型的思路是構造三角函數，過其中一定點向動點所在的直線的一側作一個銳角，使其正弦值等于要處理的系數k，轉化線段，最后利用“垂線段最短”解決問題.［4］

2.2動點在圓或弧上（“阿氏圓”模型）

古希臘數學家阿波羅尼斯（Apollonius）在《平面軌跡》一書中，曾研究了眾多的平面軌跡問題，其中有如下著名結論：到平面上兩定點距離比等于已知數的動點軌跡為直線或圓.［5］此結果中的圓就是著名的阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”.［6］

例題如圖16所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=4，⊙C的半徑是2，點P為⊙C上的一個動點，連接AP，BP，求①AP+12BP的最小值；②2AP+BP的最小值；③13AP+BP的最小值；④AP+3BP的最小值；⑤AP-12BP的最大值；⑥2AP-BP的最大值；⑦BP-13AP的最大值；⑧3BP-AP的最大值.

分析：如圖17所示，①在CB上取一點D，使得CD=1，這樣就有CDCP=CPCB=12，又∠PCD=∠BCP，所以△PCD∽△BCP，所以PDPB=12，即PD=12·PB.所以AP+12BP=AP+PD，當P在P1位置時，即A、P、D三點共線時，AP+PD最小，根據勾股定理可以求出最小值AD=37.通過分析過程就可以發現題中點P到兩個定點D和B的比值是一個定值12，點P所在的圓即“阿氏圓”；②將2AP+BP提取2轉化為2AP+12BP即可，所以答案237；③注意到第①小題，要在CB上取一點D，結合CPCB=12，這個比值剛好為轉化12BP提供了方向.那么如果需要轉化13AP，觀察發現CPCA=13，所以需要在CA上取一點E，使得CE=23，這樣就有△PCE∽△ACP，就把13AP轉化成了EP，進而求得答案2373；④同第②小題中方法一樣，結合第③小題，得到答案237；⑤同第①小題構造，發現△PAD中，PA-PD＜AD，即AP-12BP＜AD，當P在P5位置時A、P、D三點共線，此時PA-PD=AD，AD長即為AP-12BP最大值，為37；⑥將2AP-BP提取2轉化為2AP-12BP即可，所以答案為237；⑦同第③小題構造圖形，結合第⑤小題的方法，得到答案2373；⑧同第⑥小題中方法一樣，結合第⑦小題，得到答案237.

類比“將軍飲馬”問題，可以將“阿氏圓”問題中的圓作為廣義上的“河”，“河”的同側為圓內或圓外，這樣，圓周上動點P到圓內或圓外兩定點A、B的距離的線性和“PA+k·PB”的最短問題，就變成了廣義“將軍飲馬”問題.［7］用“阿氏圓”模型解決“PA+k·PB”型的最值問題，蘊含了數學的轉化思想，將k·PB轉化為另一條線段的長度，再利用“兩點之間線段最短”解決問題.共邊共角定比值構造子母型相似是解決阿氏圓問題的核心方法，背后的本質還是通過轉化思想解決k倍的問題.

3結語

在動點變化過程中找到不變的性質是解決數學動點問題的關鍵思路，也是動態幾何數學最值問題中的核心本質.許多幾何最值問題通過轉化（軸對稱變換，相似變換）都會回到平面幾何中“兩點之間線段最短”“垂線段最短”這兩個最本質的數學公理.“將軍飲馬”“胡不歸”和“阿氏圓”等不一樣的問題是這樣，其他最值問題也是如此.學生在學習過程中需要弄清楚問題的來龍去脈，思考其中的數學本質，將復雜問題抽象和歸納為某一具體模型或看到模型其中的本質原理，然后根據該類型的模型回歸本質來解決問題.

參考文獻

［1］孔凡哲，史寧中，趙欣怡.《義務教育數學課程標準（2022年版）》的主要變化特色分析［J］.課程·教材·教法，2022（10）：42-47.

［2］甄微微.變式訓練探究有感［J］.數學大世界（上旬），2021（4）：9-11.

［3］李永樹.注重模型教學提升數學素養［J］.數理化學習（初中版），2020（4）：13-16.

［4］張建華.線段和最值問題的分類賞析——以2022年中考題為例［J］.初中數學教與學，2022（23）：30-33.

［5］謝新華.動態問題中的解三角形最值問題［J］.理科考試研究，2020（17）：21-25.

［6］魏東升.阿波羅尼斯圓的一個幾何結論及應用［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2021（13）：37-39.

［7］榮賀，曲藝.與阿氏圓有關的廣義將軍飲馬問題［J］.數學通報，2018（8）：48-52.

*基金項目：福建省教育科學規劃“十四五”2023年度立項課題“從‘教’走向‘學’：初中數學‘閱讀·思考·表達’能力培養的路徑研究”（項目編號：FJJKZX23144）；2024年福建省基礎教育課程教學研究課題“從教走向學：基于思維可視化的數學整體教學實踐”（項目編號：MJYKT2024168）.