以數學核心素養為導向的逆向教學設計

摘要：復數是高中數學中一類重要的運算對象，有著廣泛的應用.數學課程標準要求學生掌握用復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算及其幾何意義.逆向教學設計著重突出了學習目標的可操作性，強調學習目標的落實，促使教師聚焦數學基本問題，為高中數學中“復數的加、減法及幾何意義”教學提供了一種全新的教學設計模式.

關鍵詞：高中數學；核心素養；逆向教學設計

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“數學課程標準”）指出：“教師應結合相應的教學內容，落實‘四基’，培養‘四能’，促進學生數學學科核心素養的形成和發展達到相應水平的要求，部分學生可以達到更高水平的要求.”［1］按照逆向教學設計的基本思路，教師在教學時應確定教學目標，依據數學課程標準以及教材.為了更好地完成設定的教學目標，筆者參考了喻平教授對數學核心素養水平劃分的評價量表，更精準地定位教學內容以及教學情境的設定.本文以“復數的加、減法及幾何意義”為例，隨著教學設計的深入，筆者發現本節的知識點有很多可以促進學生數學思想方法發展的抓手，如數形結合的思想方法、轉化與化歸的思想方法等.如果教師能夠細心地挖掘并在教學過程中加以滲透，可以有效地幫助學生數學思維的培養，進一步在教學設計中創設合適的教學情境，提出合適的數學問題，從而構建出逆向教學設計的基本框架.

1確定教學目標

數學學科核心素養是數學課程目標的集中體現，是在數學學習的過程中逐步形成的.數學學科的核心素養包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算和數據分析.每一個數學核心素養劃分為3個水平，分別是針對高中學生3種不同層次要求界定的，即分為高中畢業水平、高考水平、拓展水平（準備參加高校自主招生的學生要達到的水平）.數學課程標準對于數學核心素養的劃分界定是針對三種不同層次學業的考核，在日常的學習評價中沒有直接的指導意義.［2］按照喻平教授所提出的數學核心素養劃分框架，筆者將知識學習分為3種形態，產生的3種能力水平分別為數學抽象、邏輯推理、數學運算.知識學習的3種形態分別為知識理解、知識遷移和知識創新.由此筆者把復數的加、減運算及其幾何意義這節課里面的知識點所滲透的數學核心素養水平進行界定（見表1），以便更好地達到本節課的教學目標.

2確定合適的評價依據

在確定好教學目標后，不能直接進行教學設計.根據逆向教學設計理論，需要尋找合適的依據對預期結果進行評價，同時依據表現性任務進行及時反饋，這一階段是區別于傳統教學設計的關鍵階段.［3］在制定評價任務的時候，教師要設計一種類似于學習任務的清單.在進行課堂教學的過程中，要設計一些表現性任務，或者是教學檢測等.通過學生完成這些任務的表現與反饋，教師可以適時地調整教學活動.

評價設計在逆向設計教學中的作用是非常大的.一方面，它是對前一個環節確定教學目標的承接，評價任務的設計需要嚴格按照教學目標來進行；另一方面，它也為下一個環節教學設計的實施明確方向，教師進行教學設計時就可以把這些評價依據嵌入進去.評價設計起到承上啟下的作用.在確定教學目標時，筆者對復數的加、減運算及其幾何意義所蘊含的數學核心素養進行劃分，主要是圍繞知識理解、知識遷移、知識創新3個層次.為了證明學生達到這幾個數學核心素養對應的層次水平，需要收集一些合適的評估證據，來證明學生在教學活動中獲得了哪一些知識與技能，對知識的遷移情況是如何實現的，并在“復數的加、減運算及其幾何意義”教學中設計了以下表現性任務.

（1）觀察復數加法運算法則，描述復數加法運算法則的特征.

（2）證明復數加法的交換律和結合律：設z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1；（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）成立.

（3）結合復平面，用向量表示復數，得到復數加法的幾何意義.

（4）類比復數的加法運算及其幾何意義，得到復數的減法運算及其幾何意義.

（5）根據復數的加、減運算及其幾何意義，求復平面兩點間的距離.

3設計學習體驗和教學

在逆向教學設計中，根據確定的教學目標、評價依據，進行復數的加、減運算及其幾何意義的教學設計.

3.1溫故知新，引入概念

問題1復數的幾何意義是什么？

讓學生復習復數集與復平面內所有的點組成的集合一一對應.

【設計意圖】通過復習復數的幾何意義，回憶已學知識，引導學生借助復平面來表示復數，為學習復數加、減運算的幾何意義提供“腳手架”，起到順暢連接教學活動的作用.

3.2探究新知，建構概念

問題2設z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=（a+c）+（b+d）i.

請同學們觀察復數加法運算法則，描述該運算律有什么特征？如果z1，z2是純虛數時，它們的和是什么？如果z1，z2是實數時，它們的和是什么？

【設計意圖】讓學生自己總結歸納復數加法運算法則的特點，一方面是為了加深學生對復數加法概念的理解，另一方面是讓學生通過自己的語言表達，經歷符號語言轉換為文字語言的過程，進而達到提升數學表達能力的作用.通過追問，啟發學生思考當復數是一些特殊形式的時候，復數加法運算法則是否也是成立的，幫助學生更全面地理解概念.

問題3多項式的加法運算有交換律和結合律，那么復數加法的交換律和結合律是否也是成立的？

【設計意圖】類比多項式加法運算有交換律和結合律，讓學生自己證明一下復數加法的交換律和結合律.通過類比，能夠讓知識的生長和遷移變得更加自然，以促進學生能順暢地完成這部分內容的證明.

問題4復數z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），在復平面中，可以用有序數對Z1（a，b），Z2（c，d）表示，連接OZ1，OZ2，得到平面向量OZ1=（a，b），OZ2=（c，d）.同學們還記得向量的加法是什么嗎？能否利用向量的加法得到OZ1，OZ2的和是什么？請大家以小組為單位，通過作圖，思考復數加法的幾何意義.

【設計意圖】圍繞探究復數加法的幾何意義，讓學生回憶已學過的復數的幾何意義以及向量加法的三角形法則、平行四邊形法則，通過作圖啟發學生獲得復數加法的幾何意義.通過小組活動，開展自主探究、合作交流，讓學生直觀地經歷復數加法的幾何意義的學習過程，實現了知識的遷移活動，同時讓學生體驗了由“數”到“形”的過程，培養學生的直觀想象素養.

3.3練習鞏固，理解概念

問題5請同學們完成3個小問題.

（1）計算：（5－6i）+（-2-i）+（3+4i）.

（2）已知復平面內的向量OA，AB對應的復數分別是-2+i，3+2i，則OB=＿".

（3）如圖1所示，向量OZ對應的復數是z，求出z+（-1+2i）的結果.

【設計意圖】第（1）題，幫助學生熟悉復數加法運算法則，加深復數加法運算法則的理解.第（2）題，幫助學生鞏固復數加法的幾何意義，先利用向量加法得出OB，要解出向量OA，AB的和需要運用復數加法的運算法則，最后再利用復數的模長公式得到答案，增強了知識之間的聯系.第（3）題，為了加深復數加法的運算及幾何意義的理解，幫助學生提高數形結合思想的應用能力.鼓勵學生可以利用不同的解題方法，如可以把復數表示出來，再利用復數加法運算法則求和；也可以把-1+2i在復平面中表示出來，運用復數加法的幾何意義，作圖得到結果，讓學生感受不同的解法，體驗數學學習的興趣和喜悅.

3.4引導探究，深化概念

引導學生總結歸納復數的加、減運算滿足平行四邊形法則，它們的幾何意義是以兩個復數所對應的向量為鄰邊的平行四邊形的一條對角線.

問題6對于問題5第（3）題，如果把復數-2+i加上1+i之后的結果在復平面中表示出來，大家可以發現這兩個點的位置發生什么變化？如果把復數-2+i加上-1-i呢？

【設計意圖】引導學生運用平移的方法通過自主觀察探究復數加、減法的幾何意義，即設z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d∈R），則z1+z2=（a+c）+（b+d）i，復平面上對應的點（a，b），向左平移｜c｜（cgt;0）個單位或向右平移｜c｜（clt;0）個單位，再向上平移｜d｜（dgt;0）個單位或向下平移｜d｜（dlt;0）個單位，這樣就得到點（a+c，b+d）.

3.5學以致用，總結反思

問題7如果復數z滿足｜z+1｜+｜z-1｜=2，那么｜z+1+i｜的最小值是多少？你是如何進行求解的？通過本節課的學習，我們對復數的加、減運算的幾何意義的研究途徑是怎樣的？對復數模長的問題，應當怎樣簡化對它研究？

【設計意圖】通過練習，加深學生對概念的理解，使學生能夠把復數的加、減運算及其幾何意義和復數模長的有關問題聯系起來，建立形與數的聯系，構建數學問題的直觀模型，提升解決綜合問題的能力.最后通過總結歸納，幫助學生養成總結歸納的學習習慣，促使學生在總結的過程中有意識地思考所學知識的生成過程，不只是知道這個概念的“結果”，更要清楚它的“源頭”，養成一絲不茍、追求嚴謹的科學精神.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］喻平.數學核心素養評價的一個框架［J］.數學教育學報，2017（2）：19-23+59.

［3］石萌萌，殷周平.以數學學科核心素養為導向的高中數學逆向教學設計策略研究［J］.數學教學通訊，2024（12）：3-6.

*基金項目：福建省教育科學“十四五”規劃2023年“研究共同體”專項課題“逆向設計下高中數學概念教學評一體化的研究”（項目編號：Fjygzx23145）.