定積分問題中的“一、二、三”

李永強

【關鍵詞】定積分 微積分 數形結合法

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2013）07B-0085-02

與傳統教材相比，高中數學新課標教材中定積分的內容更突出其概念的本質，重視它的幾何意義與物理意義，強調幾何直觀，淡化形式化的運算。縱觀近幾年高考中對定積分知識考察的內容與形式，都較好地體現了這一點，這也與高考數學考綱中“考查基礎知識的同時，注重考查能力”的原則一致。定積分知識是學生進入高等學校繼續學習時將面對的重要知識，所以在高考試題中不斷出現，命題的形式也不斷變化，在知識交匯點上與方程、函數、不等式、二項式定理、概率、線性規劃、數列、圓錐曲線等知識組合而形成各種形式的高考題。學生在高考復習與考試中，面對這么多形式多樣、方法靈活的題目，該如何去提高復習效率和解答的準確性呢？筆者分析近幾年出現的一些高考題目發現，定積分內容的復習和題目的解答只要抓住了“一、二、三”，就能有效解決。所謂“一”就是定積分問題常用的數學方法——數形結合思想；“二”就是兩種應用：微積分基本定理和定積分運算性質的應用；“三”就是三個關鍵點： 一是找被積函數的原函數，二是確定積分上下限，三是確定定積分的區域。

一、解決定積分問題的主要思想方法是數形結合法

定積分的幾何意義確定了它是求曲邊梯形的面積問題，這為數形結合思想的應用奠定了基礎。所以說，高考中涉及定積分的問題幾乎都可用數形結合的思想來處理。

例1.（2013海寧沖刺卷）已知a=[∫][1][-1]（1+）dx，則[（a-）x-]6的展開式中常數項為 。

解析：本題的考查目標是定積分的幾何意義及二項式定理的應用，解題的基礎是定積分的運算。其中被積函數f（x）=1+較復雜，利用微積分基本定理求被積函數的原函數在高中階段無法得出。可把曲線f（x）=1+化為x2+（y-1）2

=1，且x∈[-1，1]，f（x）∈[1，2]，應用數形結合方法，得出定積分表示上半圓x2+（y-1）2=1與直線x=-1，x=1和x軸圍成的區域的面積（如圖1所示）。

所以a=[∫][1][-1]（1+）dx=+2。

然后代入二項式中輕松可得常數項為-160。

實際上，對于定積分問題，數形結合法的身影可說無處不在，不論定積分與哪個知識點組合，以什么方式出現，都離不開曲邊梯形這一實質；抓住了這一點，在用數形結合的方法時就容易多了。

二、微積分基本定理和定積分運算的基本性質是求定積分的根本方法

定積分的計算一般是把較復雜的式子先用定積分運算的性質化為較簡單的定積分問題，然后利用微積分基本定理或幾何意義（數形結合的思想）來解決。

例2.（2012江西卷）計算定積分[∫][1][-1]（x2+sinx）dx= 。

這道題中包含了三個方面的信息：微積分基本定理的應用，定積分運算的基本性質，定積分的幾何意義。

解法一：微積分基本定理的應用。

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=（-cosx）[|][1][-1]=。

解法二：定積分運算的基本性質的應用：先轉化為兩個定積分的和，考慮到正弦函數y=sinx是奇函數，圖象關于原點對稱，其與x=-1，x=1和x軸圍成的面積為0，所以可得：

[∫][1][-1]（x2+sinx）dx=[∫][1][-1]x2dx+[∫][1][-1]sinxdx=[∫][1][-1]x2dx

=[|][1][-1]=。

例3.計算[∫][2][-2]（-x3）dx的值。

解析：本題很明顯可用定積分運算的基本性質化為兩個定積分之差，然后再對第一個定積分利用其幾何意義化為半圓的面積，三次函數曲線的定積分用微積分基本定理計算即可。也可以化為兩個定積分的差后，都利用數形結合的方法計算面積，第一個是半圓面積，第二個三次曲線y=x3與x軸和x=-2，x=2所圍成面積由圖形的對稱可得為0，從而求得結果。實際上不管采用哪種方法，微積分基本定理和定積分運算的基本性質是必不可少的，其中始終包含了數形結合的思想。

三、把握好三個關鍵點是求解定積分的根本

1.找被積函數的原函數：首先利用微積分基本定理，由導數與積分運算互逆的關系，結合求導公式，得出原函數。這是求定積分最有效也最常用的方法。當被積函數較復雜不易找出原函數時，主要是利用轉化化歸的思想方法，把被積函數化為較易得出圖象的形式，然后利用幾何意義結合圖形直接求出面積即可。如上述例3中半圓面積的求解。

2.確定定積分的上下限也是關鍵：當曲邊梯形由幾條曲線圍成時，要明確各曲線之間的交點，從而確定定積分的上下限；有時被積函數是分段函數，求定積分時，被積函數的選擇不同，積分上下限也隨之發生變化，要分別對待。

例5.（2002天津卷）求由三條曲線y=x2，4y=x2，y=1所圍成圖形的面積。

分析：根據對稱性，只需算出y軸右邊圖形的面積再2倍即可。求出y=1與y=x2，4y=x2的交點坐標，然后利用定積分表示出陰影部分面積，由微積分基本定理求出面積即可。

解答：如圖2，因y=x2與4y=x2為偶函數，由對稱性，只算出y軸右側圖形面積再兩倍即可。解方程組

所以，由三條曲線y=x2，4y=x2，y=1所圍成圖形的面積為。

點評：對稱性的應用和被積函數、積分上下限的選取都影響計算過程的繁簡，運用微積分基本定理求定積分的關鍵是找被積函數的原函數與積分上下限。

3.積分區域的確定是解決定積分的又一關鍵點。積分區域的確定非常直觀地確定了被積函數和積分上下限。

例6.（2012上海卷）已知函數y=f（x）的圖象是折線段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、C（1，0），函數y=xf（x）（0≤x≤1）的圖象與x軸所圍成的圖形的面積為 。

定積分知識在高考中，不論是在幾何還是物理中的應用，不論與哪個知識點組合交匯來命題，其實質的思想方法與解題依據始終不變。只要我們牢牢把握了定積分問題的實質，合理靈活地應用方法，就可快速準確地解決定積分問題。

（責編 林 劍）