淺談分層教學(xué)在“相似三角形”教學(xué)中的嘗試

蔣劍

【摘要】 學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中存在不可避免的個(gè)體差異，為了讓各類學(xué)生都學(xué)有收獲，嘗試在課堂教學(xué)中進(jìn)行分層教學(xué)：在同一問(wèn)題中挖掘不同難度的問(wèn)題嘗試分層教學(xué)，在同一類基本圖形下不同變式圖形的分層教學(xué)嘗試，同一問(wèn)題背景下改動(dòng)條件進(jìn)行分層教學(xué)的嘗試.

【關(guān)鍵詞】 分層教學(xué)；相似；基本圖形

“圖形的相似”是八年級(jí)下學(xué)生學(xué)習(xí)的章節(jié). 這一章的內(nèi)容比前面的幾何內(nèi)容不管是在思維廣度還是思維深度，對(duì)學(xué)生都提出了更高的要求. 它是全等的“一般化”，對(duì)兩圖形的約束條件從等角等邊到等角、邊成比例. 從完全一樣的兩個(gè)圖形到形狀一樣的兩個(gè)圖形，單單從圖形上就更難辨析出來(lái).所以學(xué)生在學(xué)這一章節(jié)的時(shí)候，往往覺(jué)得有些吃力. 中等學(xué)生覺(jué)得題目千變?nèi)f化，有些頭緒不清；基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生就覺(jué)得無(wú)從下手，痛苦萬(wàn)分；而優(yōu)等生又覺(jué)得有些意猶未盡，有點(diǎn)“吃不飽”的感覺(jué). 為了解決這一矛盾，讓各類學(xué)生在學(xué)習(xí)這一內(nèi)容的時(shí)候都有所收獲，我嘗試著在課堂教學(xué)中實(shí)施分層教學(xué).

因?yàn)槭苷n堂教學(xué)空間和時(shí)間的限制，不可能在同一時(shí)間完全針對(duì)一類學(xué)生進(jìn)行有效的教學(xué)，所以我就想到，只有在教學(xué)模式和教學(xué)內(nèi)容上做文章，進(jìn)行調(diào)整.于是，我在具體課堂教學(xué)中進(jìn)行了如下的嘗試.

1. 在同一問(wèn)題中挖掘不同難度的問(wèn)題嘗試分層教學(xué)

這是教材安排在“相似三角形的基本性質(zhì)”之后，用于鞏固“相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比”的典型例題.我們可以從較為復(fù)雜的圖形背景中找出△AHG∽△ABC，證出結(jié)論.

本題中由正方形條件可以馬上得到平行，而平行是構(gòu)成相似三角形的最基本圖形.如果再給出圖中一些線段的長(zhǎng)度，就可以把這個(gè)三角形的內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)求出來(lái)，而這也是一個(gè)很基本的題型.

問(wèn)題1：如圖3，在△ABC中，∠BAC = 90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF分別交DE于M，N兩點(diǎn).

分層問(wèn)題1：若AB = AC = 1，直接寫出MN的長(zhǎng).

這個(gè)問(wèn)題可以讓中下的學(xué)生思考.對(duì)引例中的三角形加強(qiáng)了條件，由原來(lái)的一般三角形變?yōu)榈妊苯侨切?本題，要去證明△DBG和△EFC是等腰直角三角形，再由正方形的性質(zhì)，可得BG，GF，F(xiàn)C三條線段等長(zhǎng)，再利用引例中的結(jié)論可求出MN的長(zhǎng)度.

分層問(wèn)題2：求證MN2 = DM·EN.

這個(gè)分層問(wèn)題由中上的學(xué)生思考回答.題中，還是在△BDG，△EFC這兩個(gè)三角形上做文章，不過(guò)是要證明它們相似，得到BG，DG，EF，F(xiàn)C這四條線段的一個(gè)等積關(guān)系，再利用正方形四條邊相等和引例中的結(jié)論，等量代換即可得證.

在一個(gè)大題的背景下，通過(guò)設(shè)置不同難度層次的問(wèn)題，讓不同層次的學(xué)生有針對(duì)性地思考，既避免問(wèn)題太難讓部分基礎(chǔ)差的學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，也保證了部分優(yōu)等生向思維深度發(fā)展.而且這兩個(gè)問(wèn)題本身也有一些聯(lián)系，可以讓全班學(xué)生在聽(tīng)了這兩個(gè)分層小題的講解后都有些許收獲，說(shuō)不定會(huì)讓部分中等學(xué)生得到一些啟發(fā)，得到靈感.

2. 在同一類基本圖形下不同變式圖形的分層教學(xué)嘗試

原例2：如圖4，點(diǎn)B，P，C在同一條直線上，且∠ABP = ∠APD = ∠C = 90°，我們可以得到結(jié)論：△ABP∽△PCD.

我們不妨把具備這種條件的圖形叫作“一線三等角”型基本圖形.本題把其中的三等角特殊化，讓它們都為直角，難度降低，學(xué)生容易思考，可以利用余角定理證相似，便很容易得到結(jié)論.

分層問(wèn)題1：如圖5，在等邊三角形ABC中，D是BC邊上一點(diǎn)，∠EDF = 60°.求證：△BDE∽△CFD.

這個(gè)分層問(wèn)題由中下學(xué)生思考回答.把原例中的3個(gè)直角變換為3個(gè)60°角，利用三角形內(nèi)角和180°的性質(zhì)，得到∠BED = ∠C，進(jìn)而可證出相似.這個(gè)問(wèn)題和原例相比，雖然圖形形狀略有不同，但同樣具備一線三等角的條件，而且給出的是具體的度數(shù)，讓中下的學(xué)生比較容易下手.

分層問(wèn)題2：如圖6，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AD < BC，且AD = 5，AB = CD = 2，P為AD上一點(diǎn)，滿足∠BPC = ∠A. ①求證：△ABP ∽ △DPC；②求AP的長(zhǎng).

這個(gè)分層問(wèn)題可以由中上等學(xué)生思考回答.這個(gè)問(wèn)題就沒(méi)有給出具體的度數(shù)，只是給出三個(gè)角相等的關(guān)系，但只要抓住本質(zhì)，利用等式基本性質(zhì)即可得到另一組相等的角.

通過(guò)這幾個(gè)例題的講解，其實(shí)不管這三個(gè)等角的具體的度數(shù)也好，還是銳角、直角或者鈍角也好，都能構(gòu)造出一對(duì)相似三角形.只要抓住“一線三等角”這類基本圖形的本質(zhì)和特點(diǎn)，就能在更為復(fù)雜的圖形中找到其中的相似，快速解題.下面再給出兩張圖形（圖7，圖8），都是與一邊的延長(zhǎng)線有交點(diǎn)，可以檢驗(yàn)學(xué)生是否掌握對(duì)“一線三等角”基本圖形的識(shí)別.

3. 同一問(wèn)題背景下改動(dòng)條件進(jìn)行分層教學(xué)的嘗試

原例3：如圖9，△ABC中，A，B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸的上方，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（-1，0）.以點(diǎn)C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C，并把△ABC的邊長(zhǎng)放大到原來(lái)的2倍.設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的橫坐標(biāo)是a，則點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是

原題是位似在坐標(biāo)系下的一個(gè)應(yīng)用，因?yàn)槲凰浦行牟⒉辉谧鴺?biāo)系原點(diǎn)，所以對(duì)學(xué)生來(lái)講還是有些困難.這個(gè)原題可以給中上等的學(xué)生思考回答.

為了讓中下等學(xué)生也能感受一下位似在坐標(biāo)系中的應(yīng)用，我就把題目中的一個(gè)條件改了，就讓點(diǎn)C成為坐標(biāo)系的原點(diǎn)，其他條件不動(dòng)（圖10），學(xué)生也更容易入手解這個(gè)題目，很容易想到通過(guò)過(guò)點(diǎn)B，B′向x軸作垂線來(lái)解決.而一部分中上等的學(xué)生可能一開始也沒(méi)什么思路，通過(guò)改動(dòng)題的講解，也容易打開思路，讓這個(gè)改動(dòng)題成了一個(gè)“腳手架”，幫助一部分學(xué)生攀登更高處.

學(xué)生的個(gè)體差異性是客觀存在的，如何在有限的課堂教學(xué)中，讓更廣泛的、不同層面的學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中能有收獲，既體現(xiàn)了義務(wù)教育的公正公平，又體現(xiàn)了對(duì)每名學(xué)生負(fù)責(zé)，讓他們?cè)诿篮玫那啻浩趯W(xué)到更多的知識(shí)、技能和方法，為終身學(xué)習(xí)打好堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)，這也是我們教師能量和作用的最大化釋放，個(gè)人價(jià)值的最大化體現(xiàn).但是同時(shí)對(duì)我們教師也提出了更高的要求，不僅要求我們教師在備課中要充分考慮各層次學(xué)生的訴求，也要對(duì)原有的教育資源進(jìn)行整合和再加工.但是不管如何辛苦，為了能更好地響應(yīng)《2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的頒布和實(shí)施，讓人人能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展，我們做這些嘗試是完全有必要的，中間過(guò)程一定會(huì)有失敗和挫折，但在不斷地改進(jìn)下，肯定會(huì)做得越來(lái)越好.