基于馬爾科夫預測的分層教學下教學質量量化模型

王勇

【摘要】本文以高等數學課程為例，建立了基于馬爾科夫預測的分層教學下教學質量的量化模型，利用此數學模型，可以對分層教學下的任課教師教學質量進行動態評價.

【關鍵詞】分層教學；馬爾科夫鏈；標準分

一、引 言

高等數學是大學一年級的一門重要的課程，內容豐富，抽象費解，要求學生具有一定的初等數學基礎和抽象思維能力.大一新生來自五湖四海，數學基礎良莠不齊，因此，不少院校采取分層教學的模式，通常做法是根據新生入學數學成績（或分層考試數學成績）把新生編到相應層次的教學班施教，一段時間后進行階段水平測試（單元、期中、期末考試等），根據考試成績再次分層.如何評價不同層次班級中任課教師的教學質量是一個必須解決的問題.本文嘗試運用馬爾科夫鏈相關理論來解決這一問題.

二、馬爾科夫鏈簡介

（一）馬爾科夫鏈及一步轉移概率矩陣

設{X（n），n=0，1，2，…}為一隨機過程，狀態集為E={i0，i1，i2，…}，

若對于任意的n及{i0，i1，i2，…，in+1}，

有P{X（n+1）=j|X（n）=in，X（n-1）=in-1，…，X（1）=i1，X（0）=i0}=P{X（n+1）=j|X（n）=in}，則稱此過程為馬爾科夫鏈.記pij（k）=P{X（k+1）=j|X（k）=i}（k=0，1，2，…），

稱pij（k）為馬爾科夫鏈在時刻k時所處的狀態為i，下一步將處于狀態j的一步轉移概率.若pij（k）（k=0，1，2，…）與時刻k無關，則稱這樣的馬爾科夫鏈為齊次馬爾科夫鏈，這時pij（k）簡記為pij，并且令

P=p00p01p02…p10p11p12……………pi0pi1pi2……………，

稱矩陣P是齊次馬爾科夫鏈的一步轉移概率矩陣.

（二）齊次馬爾科夫鏈的多步轉移概率及其遍歷性

設{X（n），n=0，1，2，…}為齊次馬爾科夫鏈，狀態集為E={1，2，…}，

記p（n）ij=P{X（n）=j|X（0）=i}（i，j=0，1，2，…，n=1，2，…），稱p（n）ij為此齊次馬爾科夫鏈的n步轉移概率.若對于所有的狀態i，j∈E，極限 limn→∞p（n）ij存在（設為πj，πj與i無關），則稱此齊次馬爾科夫鏈具有遍歷性，并稱πj為狀態j的穩態概率.

（三）有限狀態齊次馬爾科夫鏈的遍歷性定理

可以證明：設齊次馬爾科夫鏈{X（n），n=1，2，…}狀態集為E={1，2，…，N}，若存在正整數m，使對任意的i，j∈E，有p（m）ij>0，則此齊次馬爾科夫鏈具有遍歷性，且各狀態的穩態概率π=（π1，π2，…，πN）是方程組π=πP，（∑Nj=1πj=1，π1，π2，…，πN>0）的唯一解.

三、狀態空間的劃分

（一）標準分

由于每次水平測試，測試內容的難易程度、試卷本身的難易程度，評分標準等不盡相同，為此，引進標準分的概念.設X為某次水平測試后某名學生的考分，μ，σ2分別是該次測試的樣本均值和樣本方差，記Y=X-μσ，稱Y為該生在該次測試的標準分.由中心極限定理，可以認為Y近似服從標準正態分布.

（二）狀態空間的劃分

狀態空間的劃分可采用如下方法（下表），也可根據具體情況采用其他劃分方法.

狀態劃分表

狀 態1（優）2（良）3（差）

狀態區域Y>1-1≤Y≤1Y<-1

概 率0.1580.6840.158

四、一步轉移概率矩陣的計算

考慮先后兩次水平測試，ni表示某位教師所教班級第一次測試處于狀態i的學生人數，nij表示該班級先后兩次測試由狀態i轉移到狀態j的學生人數，則一步轉移概率可近似取成pij=nijni，從而該班級的一步轉移概率矩陣可近似取成P=（pij）=nijni.

五、教學質量量化值的計算

為了量化教學質量，可以預先對每個狀態i賦予分值qi，這樣就可計算出被評價的班級的教學質量量化值：Q=∑iπiqi.

六、結束語

本文建立了基于馬爾科夫預測的分層教學下教學質量的量化模型，利用此模型，可以量化分層教學下的任課教師教學質量，動態評價教學效果，模型可操作性強.由于模型認為某次考試學生成績近似服從正態分布，并且用一步轉移頻率矩陣近似一步轉移概率矩陣，因而，不可避免地帶來誤差，從而在一定程度上影響評判的效果，如何有效減少誤差，有待進一步分析與研究.

【參考文獻】

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