例談巧用數(shù)形結(jié)合法解函數(shù)不等式

陳雪梅

摘 要 函數(shù)不等式問題既作為高中數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容，又是歷年來高考重點考查的對象。本文主要針對具備何種特征何種類型的不等式適合用數(shù)形結(jié)合的方法去求解進行探討，并強調(diào)我們不要盲目地為了使用數(shù)形結(jié)合的方法而數(shù)形結(jié)合，使問題更加復(fù)雜化。

關(guān)鍵詞 數(shù)形結(jié)合法 函數(shù)不等式 不等式特征

中圖分類號：G632 文獻標(biāo)識碼：A

1解題研究

隨著教育的不斷改革，國家越來越注重思維與創(chuàng)新的能力。不等式作為歷年考查的重點對象，尤其是函數(shù)不等式的問題，常用的有以下幾種方法：（1）函數(shù)性質(zhì)法；（2）分離參數(shù)法；（3）主參換位法；（4）數(shù)形結(jié)合法。對于一部分具有明顯幾何意義的不等式，根據(jù)結(jié)構(gòu)，采用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解，事半功倍。筆者就以下幾種題型為例，給出以下解題分析。

1.1高次不等式求解集的類型

對于高次不等式（分式不等式）求解集的問題，將其整理為標(biāo)準(zhǔn)形式后，利用“數(shù)軸標(biāo)根法”，清晰直觀，但要注意特殊點的取舍。

例1：不等式的解集為 .

解析：如上圖所示，在數(shù)軸上標(biāo)出相應(yīng)的根，原不等式等價于，且易知答案為或。對于這種易于在數(shù)軸上標(biāo)出根求解集的問題，用數(shù)形結(jié)合的方法快捷明了。

1.2可將不等式轉(zhuǎn)換為相關(guān)幾何軌跡方程的類型

對于一些構(gòu)造較復(fù)雜直接求解比較繁瑣的不等式，將其不等式進行轉(zhuǎn)化，定‘性定“量”的做出圖形，有效簡化解題過程。

例2：解不等式.

解析：

令，則可將其化為曲線

的形式，即不等式的解對應(yīng)于曲線在直線上方的部分，如圖所示：

由求得，原不等式的解集為.

1.3含參不等式類型題的求解

對于含參數(shù)的不等式，由于參數(shù)的存在，“不確定性”與“復(fù)雜性”并存。如果僅從“數(shù)”的角度考慮分析更復(fù)雜，然而用數(shù)形結(jié)合的方法，則思路不等式轉(zhuǎn)化為（或），然后通過分析圖像的上下位置關(guān)系來求解。

例3：若時，不等式恒成立，則的取值范圍為 .

解：令，

，

若，兩函數(shù)圖象如圖所示，即當(dāng)時，要使，只需

，即，

∴當(dāng)時，不等式恒成立。

若時，兩函數(shù)圖象如下圖所示，顯然當(dāng)時，不等不恒成立。因此，的取值范圍為.

2采用數(shù)形結(jié)合法解題要注意的問題

數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，從而使問題簡單明了化難為易，快速的審清題意解出問題。

筆者認(rèn)為，數(shù)形結(jié)合法雖好，但需要注意一些問題，比如，作圖要精確，避免了草作圖導(dǎo)出錯誤結(jié)論。此外，在求解不等式時，轉(zhuǎn)化過程要等價，避免定義域擴大或縮小；分情況討論時，要注意圖形的存在合理性，不可“無中生有”；利用數(shù)形結(jié)合解題時，尤其在證明某個問題時，要避免語言贅余。因此，如果數(shù)形結(jié)合法使用不當(dāng)時，使得本就不復(fù)雜的問題繁瑣化，便背離了數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)意義。

3教學(xué)啟示

數(shù)形結(jié)合法在解題的方法中起到舉足輕重的作用，是非常實用而又重要的方法，其應(yīng)用性強。使抽象思維與形象思維結(jié)合起來，從而使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，達(dá)到優(yōu)化解決問題途徑的目的。對于函數(shù)不等式，在選擇題和填空題中有許多題目可快速用數(shù)形結(jié)合的方法進行求解，而對于大題當(dāng)中的不等式問題，運用數(shù)形結(jié)合的方法可更加清晰的分析題意理清其解題思路。

運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，再根據(jù)本文中所提到的有關(guān)函數(shù)不等式類型的幾點特征，要做到：由“數(shù)”聯(lián)想到“形”。此外，要注重把握數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)，不要單純?yōu)榱耸褂脭?shù)形結(jié)合的方法而強行構(gòu)造圖形使問題復(fù)雜化。

然而，正因為它的直觀、形象、簡潔而漸漸地使學(xué)生認(rèn)為它是“萬能”的，常常會誘入歧途，模棱兩可，甚至?xí)幸渣c代面的現(xiàn)象。因此我們在用數(shù)形結(jié)合法時，要揚長避短，要全面合理分析，直觀的同時，輔有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难葑g。

參考文獻

[1] 江遠(yuǎn)忠.用數(shù)形結(jié)合的方法解不等式[J].山西教育：高考理科，2005（11）：8-9.

[2] 朱智昌.含參問題的圖像解法[J].數(shù)學(xué)中的思想方法，2006（07）：25.