高中數學數形結合解題淺析

彭光輝

【摘要】 數形結合是數學解題中常用的思想方法，其對于數學解題的作用體現在：其信息量較為豐富，可使某些抽象的數學問題直觀化、生動化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質，能使很多問題迎刃而解，且解法簡捷、事半功倍。二次函數概念雖然簡單，但具有豐富的內涵，也是高中數學的一個難點和重點，變換多樣、題型豐富，但把握其本質規律下，借助數形結合可以有效地簡化其解題過程，同時在引導學生在解題過程中發展和掌握數形結合的解題思維和技能，以適應更多的知識的探究欲學習。

【關鍵詞】 高中數學 數形結合 二次函數

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2018）05-122-02

一、“數形結合”在高中二次函數的運用的意義

1. 二次函數本質上要求數形結合

二次函數的題型新穎多變，全面考察著學生的數學綜合運用能力，學生要解決問題必須充分調動抽象思維、邏輯推理思維、圖形解讀能力等，其復雜性和多變性要求數形結合化抽象為具體，化繁為簡，體現知識的相互聯系，縱向的聯系和橫向的聯系。

2. 二次函數的“數形結合”提升學生的思維

知識的教學不應只是著眼于知識本身，而應該包含技能與思維的提升，良好的思維方、法技能、探究問題的工具卻可以適用多種知識的學習，而二次函數問題解決過程中涉及空間想象、直覺猜想、歸納抽象、符號表示、運算求解、演繹證明、體系構建等諸多方面，更能鍛煉學生思維的提升與能力的養成。有助于學生長遠發展。

二、“數形結合”在高中二次函數解題運用

運用數形結合思想分析和解決二次函數的問題時，要著眼于引導學生在題型中掌握規律，形成解題的思維習慣，提升對問題探究的技能，并能進行總結與歸納，靈巧地運用。

1. 二次函數“數形結合”訓練學生讀圖思維

二次函數及其性質內容，是教學的重點和難點，讀懂圖是首要的，要充分理解中文字語言、圖像語言、符號語言的含義與作用，構建圖形或者關系式構建數學場景與問題，進行“數形結合”，為更復雜的問題探究打下基礎。

例題一：如圖，已知拋物線y=ax2+bx+ 交x軸正半軸于A，B兩點，交y軸于點C，且∠CBO=60°，∠CAO=45°，求拋物線的解析式和直線BC的解析式。

讀圖而得到的信息：拋物線開口向上，因此a>0，x=- >0；當y=0時，函數的兩個解都大于0；又根據已知條件兩個角度的大小，可以聯系三角形角與邊的關系進行思考；當x=0時，即可以知道C點的坐標。

梳理該道題，得到解題的思路：

2. 二次函數“數形結合”訓練學生靈活轉化的思維

在文字敘述以及圖形之間，首先要理清兩者之間的關系，發掘圖形的已知的有用的信息，將所有的知識點想聯系起來，找到問題的突破點，問題即可解決。

例題二：在同一直角坐標系內，二次函數y=ax2+（a+c）x+c與一次函數y=ax+c的大致圖象，下面哪個圖是正確的？

在數與形之間轉換，建立橋梁的關系，根據已知是條件，使數與形有效地結合，幫助理解題意，找到問題的突破口，使對問題的本質由清晰的目標，而非生搬硬套。

此題要準確判斷二次函數與一次函數在a與c都相同時圖像的位置關系，運用“數形結合”思維進行解答，首先a和c與零的大小關系不能確定，可以一個個進行假設：

對于A選項，c>0，對稱軸為y軸，因此b=0，所以a+c=0，那么明顯a<0，且與c互為相反數。那么一次函數則經過一，二，三象限，那么A選項不正確；

同理，結合題目中已知條件，結合圖形，進行假設驗證，可以得出D選項才是正確的，在此過程中充分展現了將數向形進行轉化。使原本抽象的變得具體可觀。

3. 二次函數“數形結合”訓練學生對圖形的加工技能

原本的圖形可能滿足不了解題的方法，需要進行一定的加工，將問題進行解剖，逐步分解，輔助解題建立解題的思路。

例題三：如圖，拋物線y=x2+bx-c經過直線y=x-3與坐標軸的兩個交點A，B，此拋物線與x軸的另一個交點為C，拋物線的頂點為D.

（1）求此拋物線的解析式；

（2）點P為拋物線上的一個動點，求使S△APC：S△ACD=5：4的點P的坐標。

對于第二小問，通過對原本的圖形進行一定的加工，可以使問題更為直觀，理順解題的思路：

過點P作直線MN∥AC，交x軸于點M，交y軸于N，連結PA、PC、MC、NA.

由（1）有OA=1，OC=2.

∴直線MN的解析式為y=-2x+10.

由y=-2x+10，y=x2-x-2，得x1=3y1=4；x2=-4y2=18，（舍去）

∴在第一象限，拋物線上存在點P（3，4），使S△PAC=6.

在添加輔助線之后，固定了動點P，使復雜的問題直觀而清晰，使問題迎刃而解。同時啟發學生，在遇到此類問題的時候，化動為靜，呈現出固定的形態，呈現直觀的圖形，幫助解決問題。

4.二次函數“數形結合”訓練啟發學生加強深層問題的轉換思維

二次函數尤其考察學生的對知識的綜合運用能力，加強知識間的相互聯系，訓練學生靈活變換能力，更深層的轉換思維是跳出表面的思維框架，進行問題探究的形式改變，進行知識的正向遷移。

例題四：設a∈R，關于x的一元二次方程7x2-（a+13）x+a2-a-2=0有兩實根x1、x2，且0

此題一眼之下是一元二次方程求取值范圍的問題，第一思維下考慮解出兩根x1、x2，再把兩根帶入0

f（x）=7x2-（a+13）x+a2-a-2

那么問題就可以轉化為二次函數f（x）與x軸應有兩個交點，而交點的位置一個在（0，1）內、一個在（1，2）內，由圖可列出圖像應滿足的條件并求解：

f（0）>0 f（1）<0 ====>-20

把方程的根的問題看作兩個函數圖象的交點問題；處理不等式時，從題目的條件與結論出發，聯系相關函數，著重分析其幾何意義，從圖形上找出解題的思路。

綜上，結合高中二次函數闡述了“數形結合”解題思想，可以將問題直觀具體化，化繁為簡，教師在具體的題型中要注意培養的思維與能力。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]沈家志.例談數形結合思想在高中數學中的運用[J]數理化解題研究，2012（12）：34-34.

[2]吳沖.數形結合在二次函數中的應用[J]初中生輔導，2009（9）：18-20.