經(jīng)歷建模過程把握數(shù)學(xué)本質(zhì)

冷祥銀

摘 要：通過數(shù)學(xué)建模，可以針對一類問題或一種現(xiàn)象，抽象或描述數(shù)學(xué)本質(zhì)和特征。教師要提供適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)情境，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察數(shù)學(xué)建模的過程，不斷提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型;建模過程;數(shù)學(xué)本質(zhì);數(shù)學(xué)思考;數(shù)學(xué)思維

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年修改版）》提出：“數(shù)學(xué)課程要使學(xué)生體驗(yàn)從實(shí)際背景中抽象出數(shù)學(xué)問題、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型、尋求結(jié)果、解決問題的過程。”學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程，就是學(xué)生認(rèn)知外部世界，溝通外部世界與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知的聯(lián)系，不斷抽象知識經(jīng)驗(yàn)，建立數(shù)學(xué)模型、發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，形成良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。數(shù)學(xué)模型的建立，是學(xué)生抽象已有生活經(jīng)驗(yàn)、理解知識意義，形成知識技能的重要途徑。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何讓學(xué)生經(jīng)歷建模過程，更好地把握數(shù)學(xué)本質(zhì)？筆者結(jié)合自己的日常教學(xué)實(shí)踐，與各位同仁分享這方面的探究。

一、提供現(xiàn)實(shí)背景，準(zhǔn)備模型

數(shù)學(xué)教學(xué)時，教師需要從學(xué)生已有基礎(chǔ)出發(fā)，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，為學(xué)生提供現(xiàn)實(shí)的背景，引導(dǎo)學(xué)生參與收集、整理信息、比較、進(jìn)行抽象、提出數(shù)學(xué)問題的過程。現(xiàn)實(shí)背景就是學(xué)生經(jīng)歷建模過程的現(xiàn)實(shí)原型，教師提供的現(xiàn)實(shí)背景要切合學(xué)生的生活實(shí)際，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，所提供的材料要避免過于單一和簡化的傾向。教學(xué)時，教師要讓學(xué)生了解現(xiàn)實(shí)背景材料的意義，掌握研究對象的信息，依據(jù)問題，進(jìn)行問題抽象和內(nèi)涵理解，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。

如教學(xué)“乘法分配律”時，教材呈現(xiàn)的是常見的“體育老師領(lǐng)取運(yùn)動器材”的生活情境，作為探究“乘法分配律”的現(xiàn)實(shí)背景。以“四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？”作為主線，讓學(xué)生充分地尋找相關(guān)的條件信息：四年級有6個班，五年級有4個班，每班領(lǐng)24根跳繩。在學(xué)生感悟問題、理解現(xiàn)實(shí)背景意義的基礎(chǔ)上，展開探究活動。從實(shí)際情境中引出問題，引導(dǎo)學(xué)生用不同方法來解決問題，給予學(xué)生充分的時間和空間，讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，教師順勢而為，數(shù)學(xué)建模水到渠成。

二、理清數(shù)量關(guān)系，建立模型

數(shù)學(xué)模型的建立，需要抓住實(shí)際對象的本質(zhì)屬性，略去非主要因素和性質(zhì)，以量的描述來概括事物特征和關(guān)系，理清數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。這里的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是純數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，是通過數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)符號來描述的結(jié)構(gòu)。理清數(shù)量關(guān)系，需要教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從“現(xiàn)實(shí)背景”到“數(shù)學(xué)模型”的過渡過程，是用數(shù)學(xué)概念和符號語言重構(gòu)的過程，在這個過程中，深入認(rèn)識事物的本質(zhì)屬性，并描述出來。

如教學(xué)“乘法分配律”時，在學(xué)生已充分感悟“教師領(lǐng)取跳繩”現(xiàn)實(shí)背景的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度思考，解決問題。

師：怎樣求四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩？可以先求出什么問題？學(xué)生交流1：可以先求出四、五年級一共有多少個班？再求一共要領(lǐng)多少根跳繩？（6+4）×24=10×24=240（根）。學(xué)生交流2：可以先求出四、五年級各領(lǐng)多少根跳繩？再算出四、五年級的跳繩根數(shù)的和。6×24+4×24=144+96=240（根）。

教師引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)觀察兩個算式之間有什么聯(lián)系，學(xué)生討論得出：兩道算式的得數(shù)相等，可以寫成一個相等的式子，即（6+4）×24=6×24+4×24。教師接著讓學(xué)生比一比等號兩邊的算式有什么不同，引導(dǎo)學(xué)生交流并逐步歸納：兩個數(shù)的和與一個數(shù)相乘，等于這兩個數(shù)分別乘這個數(shù)，再相加。

在認(rèn)識、探究乘法分配律的過程中，教師讓學(xué)生在解決實(shí)際問題的基礎(chǔ)上，賦予數(shù)學(xué)算式實(shí)際意義，驗(yàn)證相等，調(diào)用已有經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，通過舉例驗(yàn)證、反例說明，經(jīng)歷抽象，概括發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律。

三、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，深化模型

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，可變換具體的背景，促使學(xué)生抽象出類似的問題，并找到相似的結(jié)構(gòu)，深化對模型的認(rèn)識和理解。

如教學(xué)“乘法分配律”，在學(xué)生初步概括數(shù)學(xué)規(guī)律的基礎(chǔ)上，教師提出：“如何驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)？”給學(xué)生提供足夠的時間和空間，讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)規(guī)律的驗(yàn)證活動，在發(fā)展數(shù)學(xué)思維的同時，不斷提升知識水平和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)值。在此基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步深化數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生嘗試用字母來表示乘法分配律。

師：你能否用字母a、b、c分別表示這三個數(shù)，把這些算式表示的規(guī)律反映出來？

學(xué)生嘗試用字母表達(dá)，教師及時幫助糾正。

師：比一比，用字母式子表示，有什么優(yōu)點(diǎn)？

教師以如何驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)，讓學(xué)生經(jīng)歷深化數(shù)學(xué)模型的過程，用字母表示規(guī)律，不斷用數(shù)學(xué)符號、字母表示這些算式規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解。

四、列舉典型實(shí)例，解釋模型

學(xué)生的思維經(jīng)歷了準(zhǔn)備模型、建立模型、深化和分析模型的過程后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回歸實(shí)際生活，嘗試用模型解釋生活中的現(xiàn)象，深入理解和體會數(shù)學(xué)與客觀世界的聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生敏銳的洞察力和豐富的想象力。

在學(xué)生建構(gòu)“乘法分配律”的數(shù)學(xué)模型后，教師讓學(xué)生嘗試用生活中的實(shí)例來解釋規(guī)律。

學(xué)生1：舉例兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法的口算方法，就用到乘法分配律：35×42=35×40+35×2，先計(jì)算出35乘40的積是1400，再計(jì)算35乘2的積70，最后算1400+70=1470。

學(xué)生2：計(jì)算一個長方形圖形的周長。可以先分別算2條長和2條寬的長度，再計(jì)算它們的和;也可以先算長加寬的和，再計(jì)算長方形的周長。

……

通過列舉生活中的典型實(shí)例，讓學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解釋生活中的具體實(shí)例，可以促使學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去觀察世界、分析現(xiàn)實(shí)、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題。

總之，通過建立數(shù)學(xué)模型來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，是一個重要的途徑。教師要提供適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的現(xiàn)實(shí)情境，使學(xué)生經(jīng)歷解決問題的過程，在解決問題時，理清數(shù)量關(guān)系，建立相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，進(jìn)一步溝通數(shù)學(xué)新舊知識之間的聯(lián)系，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問題，體會數(shù)學(xué)模型的價值。

參考文獻(xiàn)：

鄭琰.數(shù)學(xué)建模教學(xué)“五步曲”例談[J].職業(yè)，2019（9）.