經(jīng)歷建模過程　促進(jìn)數(shù)學(xué)思考

摘 要：數(shù)學(xué)模型作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心要素，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，一般都是從認(rèn)數(shù)開始的，因此教師要充分關(guān)注數(shù)學(xué)知識的模型建構(gòu)，使學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)的問題—直觀的模型—數(shù)學(xué)的模型—現(xiàn)實(shí)的問題”的建模過程，不斷發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)建模;建模過程;數(shù)學(xué)思維

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2019）28-0086-02

引? ? 言

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》強(qiáng)調(diào)：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想。[1]”數(shù)學(xué)模型作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的核心要素，對于學(xué)生的數(shù)學(xué)能力的發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。從廣義上理解，數(shù)學(xué)概念、相關(guān)的數(shù)學(xué)理論、公式、定義、各類算法系統(tǒng)，都是數(shù)學(xué)模型的范疇;從狹義上理解，描述數(shù)學(xué)特定問題或特定知識結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)系統(tǒng)才能稱之為數(shù)學(xué)模型。在建構(gòu)認(rèn)數(shù)的數(shù)學(xué)模型時(shí)，我們需要從錯(cuò)綜復(fù)雜的現(xiàn)實(shí)背景中，層層剝絲，不斷提煉，抽象出最本質(zhì)的關(guān)系，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表征。如何引導(dǎo)學(xué)生在認(rèn)數(shù)時(shí)，逐步經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)過程，促進(jìn)數(shù)學(xué)思考，發(fā)展核心素養(yǎng)呢？筆者結(jié)合“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的課堂教學(xué)實(shí)例，分享自己的探究收獲與思考。

一、經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的建模過程

小學(xué)生對數(shù)認(rèn)識的范疇主要是自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三種，不管哪種數(shù)的認(rèn)知過程都是三個(gè)層次：首先是由現(xiàn)實(shí)的問題到直觀的模型，其次是直觀的模型到數(shù)學(xué)的模型，最后再由數(shù)學(xué)的模型到現(xiàn)實(shí)的問題，通過這樣的“現(xiàn)實(shí)的問題—直觀的模型—數(shù)學(xué)的模型—現(xiàn)實(shí)的問題”不斷循環(huán)往復(fù)的過程，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的模型建構(gòu)過程，簡稱之建模過程。

例如，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》時(shí)，教師從現(xiàn)實(shí)的問題入手，展開分?jǐn)?shù)模型建構(gòu)之旅。

師：同學(xué)們，這兩位動畫人物認(rèn)識嗎？生1：喜羊羊和美羊羊。

師：這一天，羊村長給他們2個(gè)蛋糕，他們都要吃，怎樣分最公平？生2：每人1個(gè)蛋糕。

師：為什么把2個(gè)蛋糕每人1個(gè)呢？生3：每人1個(gè)，才分得同樣多。

師：分得同樣多就是平均分。（教師板書：同樣多——平均分）

師：如果只有1個(gè)蛋糕，又該怎樣分呢？生4：每人半個(gè)。

師：半個(gè)怎樣表示呢？生5：0.5個(gè)。生6：二分之一個(gè)。

在此基礎(chǔ)上，教師讓學(xué)生用1個(gè)圓形紙片來代替1個(gè)蛋糕，把圓形紙片分一分，涂色表示出二分之一。學(xué)生采用對折的方法，然后涂色。在集體交流時(shí)，教師著重引導(dǎo)學(xué)生說一說怎么表示的。

師：怎樣是對折？為什么要對折？生7：左右兩邊完全重合在一起，這樣就是左右兩邊一樣大，是平均分。

教師展示學(xué)生正確的涂法后，再結(jié)合學(xué)生涂法錯(cuò)的進(jìn)行分析。

師：為什么有些同學(xué)的圓片找不到二分之一。生8：沒有平均分成兩份。

接著，教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的寫法和讀法。

師：平均分可以用一根橫線表示，這個(gè)橫線在分?jǐn)?shù)中叫作分?jǐn)?shù)線。平均分成2份，2寫在分?jǐn)?shù)線的正下方，叫作分母。表示其中的一份，1寫在分?jǐn)?shù)線的正上方，叫作分子。這個(gè)分?jǐn)?shù)讀作二分之一。

在上述案例中，教師從問題引入，由現(xiàn)實(shí)的問題直接過渡到直觀模型，再用數(shù)學(xué)圖形和符號表征到數(shù)學(xué)模型，不斷發(fā)展學(xué)生的抽象思維。

二、經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用過程

小學(xué)生在建立數(shù)的認(rèn)識的模型時(shí)，主要是憑借已有的生活經(jīng)驗(yàn)和依靠一些直觀圖形。在學(xué)生建立數(shù)學(xué)的模型后，教師就需要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行應(yīng)用，通過解決問題，讓學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)新知的意義，細(xì)化數(shù)學(xué)模型的理解，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的有效建構(gòu)。

例如，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》時(shí)，在學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識二分之一，初步建立分?jǐn)?shù)的模型的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用二分之一來拓展，以進(jìn)一步加深學(xué)生認(rèn)識。

師：剛才，我們幫喜羊羊和美羊羊表示了一個(gè)蛋糕的二分之一。在研究時(shí)，我們重點(diǎn)是用一個(gè)圓片來表示一個(gè)蛋糕。想一想，我們除了表示一個(gè)蛋糕的二分之一，還可以表示哪些物體的二分之一？

生1：可以表示一個(gè)蘋果的二分之一。

生2：一個(gè)餅干的二分之一。

生3：一個(gè)面包的二分之一。

……

師：不管表示什么物體的二分之一，它們都有相似之處？

生4：都是把這個(gè)物體平均分成兩份，表示其中的一份。

在學(xué)生建立分?jǐn)?shù)二分之一的模型后，教師由當(dāng)前具體的一個(gè)蛋糕，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行拓展“還可以表示哪些物體的二分之一？”由課堂開始的現(xiàn)實(shí)問題“怎樣表示半個(gè)蛋糕？”到直觀模型“一個(gè)蛋糕的二分之一”，再到“還可以表示哪些物體的二分之一？”的問題，使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的初建到應(yīng)用，不斷加深數(shù)學(xué)認(rèn)知，不斷豐富學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，在學(xué)習(xí)過程中不知不覺地增強(qiáng)學(xué)習(xí)能力。

三、經(jīng)歷數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化過程

當(dāng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)了新知的建模后，教師要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，促使學(xué)生主動反思學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)方法，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)模型的內(nèi)化，使其在學(xué)習(xí)類似的知識時(shí)，能夠主動建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。

例如，在教學(xué)《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》一課中，教師在學(xué)生認(rèn)識二分之一的基礎(chǔ)上，逐步引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識三分之一、四分之一、五分之一。在認(rèn)識每個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，都讓學(xué)生進(jìn)行比較、辨析，說出自己的思考過程，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。

師：你是怎么認(rèn)識三分之一的？生1：比如，把一個(gè)長方形平均分成三份，每份就是這個(gè)長方形的三分之一。

師：怎樣表示出四分之一？生2：可以把一個(gè)圓片平均分成四份，每份就是這個(gè)圓的四分之一。

師：可以怎樣表示出五分之一？生3：把一根線段平均分成五段，每段就是這根線段的五分之一。

師：剛才大家認(rèn)識了這么多分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)都有什么相同的地方？生4：都是把一個(gè)物體平均分成很多份，其中的一份就是一個(gè)物體的幾分之一。

……

數(shù)學(xué)是模式的學(xué)科。分?jǐn)?shù)具有特定的數(shù)學(xué)模型，在建構(gòu)模型、應(yīng)用模型和內(nèi)化模型時(shí)，教師可以引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)圖形和符號來表示。把一個(gè)圖形或物體按照特定的份數(shù)進(jìn)行平均分，每份就是特定份數(shù)的幾分之一。在教學(xué)時(shí)，教師不斷通過變換素材，在豐富學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)讓學(xué)生感悟一個(gè)物體的幾分之一的內(nèi)在意義，通過調(diào)動學(xué)生多感官地參與學(xué)習(xí)過程，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，使學(xué)生觸及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，獲得數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，掌握核心概念，培養(yǎng)思維的深度。

結(jié)? ? 語

綜上所述，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要充分關(guān)注數(shù)學(xué)知識的模型建構(gòu)，重在過程，使學(xué)生經(jīng)歷從“現(xiàn)實(shí)的問題—直觀的模型—數(shù)學(xué)的模型—現(xiàn)實(shí)的問題”不斷循環(huán)往復(fù)的建模過程，由形象到抽象，逐步加深理解，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)表征語言，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

[參考文獻(xiàn)]

中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

作者簡介：蔣微微（1986.5—），女，貴州貴陽人，中小學(xué)二級教師，貴陽市教壇新秀，貴陽市觀山湖區(qū)優(yōu)秀教師，2018年獲第四屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)文化優(yōu)質(zhì)課大賽說課二等獎(jiǎng)，2019年獲第五屆全國小學(xué)數(shù)學(xué)文化優(yōu)質(zhì)課大賽講課二等獎(jiǎng)。