新高考背景下高中數學校本課程開發與應用研究

吳福周　王偉

摘 要：新高考更加注重對學生核心素養及綜合能力的考查。在此背景下，如何實施教學成為一個重要的話題。開展高中數學校本課程開發與應用研究顯得意義深刻。文章闡述了高中校本課程開發與應用，“數學文化”的實踐與思考。開發與實施該課程時，應著力凸顯“四性”：趣味性、人文性、應用性、思想性，呈現凸顯“四性”的教學案例，并將其作為開發與實施高中數學文化類課程的參考。

關鍵詞：數學文化;校本課程;課程開發;教學實踐;數學任務

一、 校本課程“數學文化”研究緣起

《普通高中數學課程標準（2017年版）》倡導把數學文化融入課程內容，不斷發展學生的數學素養。當前的教學實踐普遍存在著數學文化缺失的現象，因此開發與實施高品質的“數學文化”校本課程具有重要的教學實踐價值。鑒于這樣的認識和考量，近年來，筆者依據學校的辦學特色和學情，在高中階段進行了開發與實施校本課程“數學文化”的實踐性探索，取得了良好的教學效果。現將相關實踐與思考整理成文，敬請同行指正。

二、 著力凸顯“四性”，構建精品課程

（一）趣味性：引人入勝，品味數學之趣

在很多學生眼里，數學抽象乏味，并無趣味可言。因此作為校本課程的數學文化課，首要任務就是引領學生品味數學之趣，以數學之趣引人入勝，激發求知之欲。

以“漫話解析幾何”為例，筆者將守株待兔、笛卡爾之夢、蜘蛛網軼聞、愛心曲線和數學情書等5個饒有趣味的文化素材串聯成章，學生無不覺得數學有趣，陶醉其中。

以“常數傳奇”為例，在講圓周率π時，筆者以一則故事引出一段諧音妙語收尾：“山巔一寺一壺酒（3.14159），爾樂苦煞吾（26535），把酒吃（897），酒殺爾（932），殺不死（384），遛爾遛死（6264），扇扇刮（338），扇耳吃酒（3279）。”稍等片刻，筆者詢問學生是否能夠記住圓周率，話音剛落，就有學生站起來迅速背出圓周率小數點后30位，引發全體學生的喝彩。

（二）人文性：超越時空，經歷數學之旅

追求文理交融、貫通數學古今是數學文化課的內在追求。數學史是數學文化課的重要載體，通過引領學生超越時空疆界，經歷數學之旅，體悟數學知識的發生、發展過程，并以數學家的勵志故事，培養學生的科學精神和人文精神。

以“常數傳奇”為例，在研究自然常數e時，教師引領學生一起走近數學大師歐拉，學習了解“數學英雄”歐拉不平凡的生平和貢獻，之后教師以歐拉身殘志堅、百折不饒的精神激勵學生發揚學校所倡導的求進精神，珍惜大好青春，不斷奮發求進。

（三）應用性：探因析理，認識數學之用

“學習數學到底有什么用”，這是困擾學生的大問題。不解決這個問題，學生很難對數學感興趣，只能是為應付考試而被動地接受數學教育。事實上，數學廣泛應用于社會生活的方方面面。

以“數學和數學文化”為例，在談到為什么要學習數學文化時，通過“企業招工中的數學問題”“巧用方程思想解決3根導線的問題”“作為數學教授的大學校長”等案例展現“唯有良好的數學素養才能使人終身受益”，引發了學生的共鳴和沉思。

以“數據與人生設計”為例，教學流程如下：先從生活在大數據時代說起，繼而感受身邊的數據“謊言”，包括“騙人”的平均數、“蒙人”的絕對數、“虛幻”的相對數;再以語言學字頻研究和二戰史實為例講述統計學的應用;最后以案例“公說公有理，婆說婆有理”和選舉悖論結尾，課堂氣氛達到高潮。縱觀整個教學流程，以數學應用為主線，幫助學生充分感受統計學的廣泛應用。

（四）思想性：追根求源，領悟數學之魂

數學文化課不能脫離數學談文化，仍要凸顯課堂的“數學味”，著力提升數學素養。通過精心設計本真問題驅動學生火熱的思考，追根求源，領悟數學知識背后內隱的數學精神、思想和方法。

以“走進無窮的世界”為例，筆者的設計融入蘇教版高中數學教材必修1的閱讀材料，從教師點名時對應思想的應用談起，再到古人樸素的對應思想，繼而自然地將對應思想引入到無限的世界。

以“不可思議的無理數”為例，筆者設計了以下教學環節：1）從勾股定理說起;2）萬物皆數學說;3）無理數的發現;4）第一次數學危機（西方數、形分離，中國卻有截然不同的處理）;5）數系的擴張和危機的解決，感受有理數和無理數的區別;6）強大的反證法。在“無理數的發現”環節，引導學生初步感知、運用反證法證明無理數，在“強大的反證法”環節，再次回歸、研究反證法，感受、理解、運用反證法，體現了濃厚的“數學味”。

三、 校本課程“數學文化”案例——“走進無限的世界”

教學目標感悟數學源于生活，高于生活;經歷對若干悖論和問題的思考，了解從有限到無限的質變，深化對集合和對應思想的理解;發展數學抽象、創新思維等數學素養;培育數學探究、數學閱讀的興趣。具體的教學過程如下：

（一）無限：從感知到證明

著名數學家外爾曾說：“數學是關于無限的科學。”可是人的感知是有限的，生命是有限的，日常接觸的數字也是有限的，如何能感覺到無限的存在？但確實也有人感到了無限：中國古代《莊子》：一尺之錘，日取其半，萬世不竭;古希臘德謨克利特：一條短短的線段由無數多個點（原子）構成。

問題1：證明有無限多個正整數。

探究1：嘗試證明有無限多個素數。

設計意圖以數學名言和日常生活的思考引入課題，凸顯人文性，激發學習興趣，初步感知無限的世界。再通過無限問題的反證法證明，初步理解反證法，感悟數學證明的應用性。

（二）嬗變：從有限到無限

阿基米德與烏龜賽跑的故事：阿基米德是古希臘傳說中跑得很快的神，芝諾卻稱他可以證明：如果讓烏龜先爬出一段距離，那么阿基米德永遠追不上烏龜。

伽利略的困惑平方數集{1，4，9，…，n2，…}是正整數集的真子集，但伽利略知道平方數集中元素個數并不比正整數少。你能給出解釋嗎？

問題2：兩集合一一對應，推出兩集合的元素個數相等;“部分小于全體”，推出兩集合的元素個數不相等，形成悖論。該怎么解釋這個悖論？

教師引導教室里有50個座位，教師走進教室，看到坐滿了人，無需點名便知聽課人數為50。因為每個人坐一個座位，每個座位都坐一個人，兩者一一對應，從而聽課人數與座位數相等。遠古時代，人類還不會記數。比如養了7只羊，但是羊少了卻能及時發現，你知道他們是怎么做到的嗎？可以用石頭與羊對應，一個石頭對應一只羊，如果不能一一對應，則說明羊少了。

反思小結在有限集中，部分總是小于全體（《幾何原本》中的公理）;在無限集中，部分可以等于全體（無限的本質）。

設計意圖以兩個饒有趣味性和人文性的悖論引發認知沖突，激起求知欲，引發學生的思考討論，再從最樸素的簡單事實出發引導學生打破思維定勢，用對應思想看問題，初步小結出有限與無限的本質區別，凸顯數學文化的思想性。

（三）革命：從初等數學到高等數學

建立聯系從有限到無限，從初等數學到高等數學，存在諸多重大區別，那么兩者是否有聯系呢？答案是肯定的，如（1）數學歸納法;（2）極限：通過有限的方法，描述無限的過程;（3）無窮級數：通過有限的步驟，求出無限次運算的結果。

希爾伯特旅館一個擁有“無限個房間”的旅館，并已客滿。對于下列3種情形，旅館主人能否安排客人都住進旅館（“無限個房間”“客滿”分別是什么意思）？

1. 若客滿后又來了1個客人;

2. 若客滿后又來了1個旅游團，且該旅游團有無窮多個客人;

3. 若客滿后又來了1萬個旅游團，且每個旅游團都有無窮多個客人。

設計意圖從有限和無限的區別再回歸到兩者的聯系，幫助學生認識數學知識的關聯性，凸顯數學文化的趣味性和思想性。最后以希爾伯特旅館問題作為趣味思考題結尾，引導學生學會閱讀、學會抽象、學會思考。

四、 校本課程開發的問題

（一）日常的高中數學教學離不開書本教材，所以在發展校本課程時優先考慮到的就是編寫教材。正是因為這一點，很多學校直接把高中數學校本課程建設定義為編寫教材，但其實高中數學校本課程不只是編寫教材。只是根據不同地區、不同環境而產生的更符合實際的教學方法，校本課程是數學學科課程的延伸。學生能夠從中學到對生活有幫助、對未來有規劃的知識，提高學生的創新能力和實踐能力，促進學生核心素養的形成和發展。

（二）有些教師并沒有完全了解校本課程建設的目的。他們認為只要編寫一套全新的課程，概念的教材就可以完成任務。但事實并非如此，校本課程建設是教師通過對本校學生的分析，從而針對本校學生編制的一套教學方法，它是所有教師一起努力的結果。在這個過程中不僅可以促進教師和學生之間的關系發展，還可以讓教師在此過程中得到鍛煉，更讓學生得到幫助。在校本課程建設中，需要教師的不斷努力，認真負責，才能編寫出良好的校本課程。

五、 提升核心素養的校本課程開發的實踐價值

（一）喚醒學生對數學的學習興趣

對實際問題的解決更加促進了學生學習的興趣，教師的正確引導，學生形成正確的思維邏輯，在解決數學問題上，產生濃厚的興趣，由簡入深，扎實基礎。

（二）學生的參與程度

平時遇到問題難題時，學生在教師的號召下，深悟題目，尋找方法讓學生在解題后能夠找到優越感、成就感，體會數學問題的震撼，在自己的努力下得到答案，學生只是一味聽教師講課，可能思維上沒有自己發揮的空間，我們要培養學生獨立思考的能力。課堂不僅是教師的主場，更需要學生的配合，充分展現學生的主體地位。

（三）教師的創新教學

在日常教學中尋找學生有價值的共性，點燃學生思考的火花，教師在教學過程中設置問題，讓學生進行討論，然后進行個人展示，教師的主要任務不是講，而是引導，讓學生能夠更好地解決相應的問題，激發學生學習的欲望，促進提高學習素養。培養思維感情，不止把教學停留在知識層面，更要上升到創新，讓學生學以致用，養成習慣，對培養核心素養形成基礎的思維。

六、 結束語

綜上所述，建設校本課程，學生能夠得到全面有效的發展，能夠獨立解決教師提出的問題，以及日常所遇到的難題，同時核心素養在提升教學質量和效率有著重要作用。所以，高中數學教師應當注重校本課程的開發、研究、建設。并配合建設校本工作，更好地促進校本課程建設工作的發展。高中數學教師之間應相互溝通，相互了解，創新教研方案，提高教學質量，創建更高效率的學習氛圍。同時，較好的校本課程也能夠增加學生的學習興趣，為學生形成良好的學習習慣，為核心素養的培養提供良好的基礎。

參考文獻：

[1]周燕，朱哲.讓理性的數學課堂開出感性之花：淺談數學文化在函數概念教學中的應用[J].中學教研（數學），2017（9）：7-9.

[2]單墫.普通高中課程標準實驗教科書·數學（必修1）[M].南京：江蘇教育出版社，2012：15.

作者簡介：

吳福周，王偉，江西省景德鎮市，江西省樂平中學。

江西省教育科學“十三五”規劃課題：新高考背景下高中數學校本課程開發與應用研究，課題編號：18PTZD020。