提升概括能力 感悟數學本質

鄒佳琦

[摘 要]概括是數學思維過程的基本框架之一，也是數學思維方式的“核心”。小學生正處于由形象思維向抽象邏輯思維發展的重要時期，教師應當挖掘教材中的思維材料，并借助建模、類比等方式，幫助學生提升概括能力，感悟數學本質。

[關鍵詞]概括能力;數學本質;數學思維

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）32-0008-02

現代教育理論提出，數學知識的結論形式和數學知識的產生過程離不開對概念、結構、關系以及各種經驗的概括。一些教學實踐也表明，學生的數學概括能力決定了對數學知識的提煉和獲取能力，繼而影響學生對數學本質的理解水平。由此可見，概括是數學結論產生過程的核心，是學生學習數學的必備能力。在實際教學中，教師除了思考“教什么”和“怎樣教”，還應當注重提升學生的概括能力，幫助學生感悟數學本質，以此挖掘和激活學生的思維。

一、深挖教材，催生概括意識

概括包含感性概括和理性概括兩種形式，感性概括往往在直觀的基礎上能夠自發進行，而理性概括則需要學生對所獲得的感性經驗進行再加工和改造，是一種高級的概括形式。對于小學生而言，數學概括需要架構在感性認識和實踐操作基礎之上。因此，在概念教學中，教師要給學生提供典型豐富的材料并引導其觀察和分析，從而抽象概括出數學的本質。作為概括過程中的載體，思維材料絕不是生搬硬套，而是應當在高觀點的視角下發掘教材、巧用教材，讓數學概念從模糊走向清晰。

【案例】如圖1，三個小朋友都想做一個平行四邊形，說法正確的有幾句？

學生產生錯誤的地方主要是第2句。對此，筆者訪談了一部分學生，得知有的學生沒有用三角形拼過平行四邊形，不知道要強調“完全一樣”;有的學生僅知道兩個一樣的直角三角形可以拼成平行四邊形;有的學生雖然知道要強調兩個三角形完全相同，但也只是機械地記住，對于概念中為什么強調完全相同似懂非懂。

問題的背后反映的是教育現實，說明教師可能并沒有讓學生經歷完整的動手操作的過程，即使給學生安排了動手操作的活動，也只是“就書論書”，對需要分析概括的過程一帶而過。 “平行四邊形的初步認識”這節課，教材給學生提供了兩副三角尺，并提出“用兩塊完全一樣的三角尺拼平行四邊形”這一要求（如圖2）。

因此，很多教師在教學時通常都會按部就班，讓學生直接用兩塊一樣的三角尺拼出平行四邊形。這樣的教學無疑是填鴨模式，學生對三角形特點的感知僅僅浮于表面。

用不同種類的三角形到用完全一樣的三角形來拼平行四邊形，需要學生經歷辨析和概括的過程，因此，教師不妨給學生提供若干不同和相同的三角形進行嘗試，讓他們選擇其中的任意兩個三角形去拼平行四邊形。在拼的過程中，學生就會發現問題：不同的三角形都拼不成功，只有相同的兩個三角形才能拼成平行四邊形。當然，這只是學生在實踐操作中初步的感知，如何讓“完全相同”扎根于學生心中，還要引導學生進行具體的分析概括，從而歸納出一般性的結論。因此，在操作結束后，教師應盡可能多地讓不同的學生展示所拼的平行四邊形，引導他們仔細觀察和思考“究竟什么樣的三角形才能拼成平行四邊形”，以此找出共同屬性，間接地感知平行四邊形的特點。

數學教學中，教師應當深入挖掘教材并進行加工和創造，使之成為有價值的思維材料，這樣才能帶領學生進一步探索，在概括中經歷數學概念抽絲剝繭的過程。在這樣的教學之下，學生才能看到知識本身的一個生動的發生、發展過程，從而生長出概括意識。

二、抽象建模，感悟概括之妙

數學學習從某種意義上說就是一個由復雜到簡單，從具體到抽象的過程，教師要循序漸進、有條理地組織學生學習，引導學生主動經歷知識的形成過程，提煉出簡潔的思考方式，抽象出數學模型。

【案例】小明有12枚郵票，小麗有30枚郵票，小麗給小明多少枚郵票，兩人一樣多？

教師可以先給學生提供“退”的機會，即可以從簡單的數據入手，通過畫圖來找答案。在學生已經有了思路以后，就可以引導學生列式計算，求出答案。最后，讓學生反思之前的探究過程，歸納和總結方法，抽象出數學模型，即這類題本質上都可以概括成“小數+（? ?）=大數-（? ?）”這樣一種簡約的結構關系。

在上述教學過程中，教師依據學生的活動經驗，引領學生自主建模，讓學生在稍復雜的問題中篩去非本質的部分，概括出問題的本質所在，學習力于此悄然生長。

相對于數學習題，數學概念的教學亦是如此，換句話說，數學建模也是培養學生概括能力的好途徑。

【案例】蔡宏圣老師所執教的“認識方程”片段

師：同學們看到課題一定在思考方程到底有什么特征。我告訴各位，第一個算式150=100+50不是方程，第二個算式x+700=800是方程，第三個算式x+700>800不是方程。現在請各位同學倒推出方程有什么特征。

生1：必須有一個未知數。

師：把誰和誰合在一起才發現方程一定要有未知數？

生2：把第一個算式和第二個算式合起來就會發現方程必須要有未知數，因為第一個算式沒有未知數不是方程，說明了方程必須要有未知數。

生3：從第二個算式和第三個算式中發現方程中必須要有“=”。

師：那為什么第一個算式和第三個算式不是方程？

生4：雖然第一個算式有等號，但沒有未知數，所以不是方程。雖然第三個算式有未知數，但沒有等號，所以不是方程。

師：那第二個算式為什么是方程？

生5：因為它既有未知數，又有等號。

師：怎么判斷一道算式是不是方程？

生6：不但要有等號，還要有未知數。

由上述片段可見，學生雖然沒有系統學習過方程，但他們并非一張白紙， 他們有朦朧的感覺，該片段的教學目的在于激發和提升學生的這種感覺和體驗。其實，方程概念的建立對于學生來說并不是一件輕而易舉的事情，有部分原因是學生在建立方程概念的過程中，未曾經歷一個充分的抽象與概括的過程。而蔡老師的處理方法可謂與眾不同，讓人眼前一亮。對于三個算式，直接開門見山，單刀直入，明確哪個是方程，哪個不是。學生在蔡老師的激發和引導下用數學的眼光觀察和比較三道算式，對方程的本質屬性進行抽象，發現并概括出“未知數”和“等號”這兩個元素對于方程來說缺一不可，從而在腦海中建立方程最基本的模型，為方程概念“含有未知數的等式”做好了鋪墊，豐富了對方程的體驗。更重要的是，學生在建立方程模型，感悟方程本質屬性的同時，也提升了抽象概括能力。

三、類比推理，提升概括能力

數學中的概念、屬性、數量關系、經驗歸納及思想方法間或多或少存在一些相似的屬性，若將其類比就可溝通知識間的內在聯系，加深學生對知識的理解，促進學生概括能力的發展和思維品質的提升。

【案例】“角的度量”的教學中，在學生掌握了在量角器上尋找相同度數的不同角之后，執教老師又精心設計了這樣一個環節：

師：前面我們已經學習了測量長度，誰能來說說測量長度和測量角度有什么一樣的地方？

生1：它們都可以從0刻度開始測量，測量到幾就是幾。

生2：也可以直接用大刻度減去小刻度，它們的差就是所測角的度數。

生3：它們都可以一度一度或一厘米一厘米這樣數出來，就是數一共有多少個1度或1厘米。

師：測量就是一個個單位量累積起來的過程。除此以外，你們還在哪里見過測量？

生4：面積。當時是用1平方厘米的小正方形為單位量的，求圖形的面積就是看圖形里面有多少個1平方厘米。

師：是的，大家很善于聯系，測量角度、長度、面積，包括今后需要學習的體積測量，其實都是一個個單位量累積的過程。

該環節中，教師讓學生先比較、分析長度測量和角度測量之間的相同點，再類比面積測量和體積測量，引導學生體會“盡管測量的內容都不一樣，但本質都是不變的，即測量實際上就是單位量累積的過程”。這里借助類比，幫助學生打通了不同知識內容間的關聯，將測量的知識串成一條知識鏈，深入抵達測量的本質。

總的來說，從思維材料中概括出數學結論，不僅可以發展學生的思維，更重要的是能將形形色色的數學問題由復雜化為簡單，由陌生化為熟悉，由抽象化為形象，讓學生在陌生的“風景”之間也能尋找到熟悉感，從而概括出共通的規律，實現數學學習質態的真正提升。

（責編 金 鈴）