換元法思想在初中數學教學中的應用研究

摘 要：在初中數學中，存在著大量的抽象、復雜的數學難題，有的必須采用換元法才能順利求解。初中數學教師要深刻領會換元法思想，靈活地把握“化歸”“轉化”的思維，激發學生參與學習的積極性，促進學生思考，提高其數學學習水平。文章對換元法思想在初中數學教學中的應用原則進行了簡單分析，探討了在初中數學教學中應用換元法思想的具體策略，以進一步提升數學教學質量，發展學生的數學綜合思維。

關鍵詞：換元法思想；初中數學教學；應用策略

作者簡介：韋小云（1982—），女，廣西壯族自治區南寧市第三中學。

換元法思想是初中數學中非常重要的一種思想，它可以減少學生學習的困難，提升學生的邏輯思考能力和解題能力。新課程改革為中學數學教育帶來了新的發展契機，讓換元法的使用范圍越來越廣，為學生解決問題提供了更快捷的途徑，對提高學生的數學綜合素質具有重要意義。然而，在教學實踐中仍存在著一些誤區，比如有的教師講解的換元法不夠準確，有的教師忽略了換元后新變量的取值范圍，有的教師只講授換元理論而忽略了實踐，等等。在實際教學中，教師應從學生的實際出發，積極培養學生的“轉化”“化歸”的思維，并通過設計多種形式的數學實踐活動，把換元法思想融入課堂教學中，引導學生靈活地解決各種數學問題，增強學生學習的主動性和自覺性，從而加深學生對數學問題的辨證認識。

一、換元法思想在初中數學教學中的應用原則

（一）適用性原則

換元法在實際運用中有一定的講究，并非所有的數學問題都適合使用換元法。有的時候，學生會盲目地進行換元，導致解決問題的效率下降。在日常的學習中，常采用換元法解決因式分解或不等式證明、求解問題，其基本思想是用新的變量代替原來的變量，從而解決問題。教師可以運用換元法的思維進行教學，并逐漸將換元法的概念滲透到課堂中，使學生能熟練運用換元法，并能把復雜的問題進行合理的分解、轉換，使之變成簡單的問題。隨著我國教育改革的不斷深化，中考數學試題的考試范圍越來越廣，很多題目都可采用換元法解答［1］。因此，教師應引導學生進行歸納、整合，提升學生的數學學習能力，從而達到素質教育的目標。

（二）結構性原則

換元法是解決問題的關鍵手段，在應用的過程中應注意問題的結構性。每一道數學題都有其內在的構造，我們只有掌握了構造的規律，才能使換元法的應用更加得心應手，事半功倍。針對數學題的結構特點，我們可以采用整體換元法、三角換元法、均值換元法等方法，不同的換元法在不同類型的題中具有不一樣的作用。例如，當我們碰到一個根號問題時，可以采用三角變換的方法，把它轉換成一個三角函數求最值的問題。但如果我們碰到的是奇偶性或者定義域等函數問題，則不能采用換元法，因為它會使原始函數的自變量發生變化。換元法的運用一般分為四個階段：一是設置新元，引入合適的輔元；二是換元，用一個新的元素取代原來的一個舊的元素；三是解新元，將數量關系具象化；四是對原始問題中的未知元素進行求解，以增強問題的解析性。

（三）等價性原則

在解決數學問題時，我們要善于運用變量替代，使數學問題顯示出其基本性質。在數學教學中，教師應注意等價性原則，即新變量的取值范圍應與原始變量保持一致，否則會影響解題的效果。在平時的訓練中，教師可以增加一些有針對性的練習，指導學生進行自主換元和等效變換。教師要根據學生的解題思路來引導和指正，這樣才能更快地發現問題所在，有利于發展學生的創造力。等值觀念在數學知識系統中有舉足輕重的作用，教師要引導學生認識等價性原則，從多個方面了解問題的實質，漸進、持久地滲透等價思想。

二、換元法思想在初中數學教學中的應用策略

（一）低次換高次

方程是中考數學的必考內容。在初中階段，學生所接觸到的方程有一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程等。然而，在考試中，為考驗學生的數學思考能力，往往還會出現解高次方程的問題。盡管數學教材中沒有介紹解高次方程的內容，但只要學生仔細想一想，用換元法就能得到答案。利用已有的數學知識，把高次方程轉換成低次方程，這就是換元法思想最好的體現。此類題型對提高學生的解題準確度和數學學習興趣是很有幫助的［2］。在證明不等式時，有時需要換元，有時還要用到三角函數，教師要提醒學生注意題中的圈套，防止錯位換元，影響解題速度。換元的關鍵在于設置新元，這要視題目具體情況而定。學生要注意觀察數學公式，用另外一個未知數代替原來的未知數，這樣就可以更好地解決問題。在教學實踐中，教師常常會發現一些學生死記硬背換元方法，對所學的換元策略進行了簡單重復的運用，卻不能對新的換元策略進行有效的探索。因此，在教學中，教師要讓每次換元都能促使學生動腦思考，引導學生把握住問題的關鍵點，把問題的隱含條件在腦中清楚地呈現出來，讓學生徹底領悟換元法思想，從而在考試中應用自如。

（二）已知換未知

在數學中，轉換現象隨處可見。在中學數學教學中，教師要讓學生把不確定的數量轉換成已知的數量，并能熟練地使用等值替換。這樣，學生在遇到陌生的數學難題時，可以轉換思維，將陌生的問題轉換為學過的問題，這不僅活躍了學生的解題思維，而且還能降低出錯的概率。數學主要以數量關系與空間形態為主要研究對象，當學生在實際生活中碰到無法確定的量與量之間的關系時，可以采用換元法來解決，把握“不變量”，并通過它們之間的對應關系，找出解決問題的線索。在審題過程中，學生要找到一種等量關系，把一個特定的例子變成一類數學問題。有些學生在遇到數學題太長、太復雜時，會產生抗拒心理，沒有耐心。對于這種情況，教師要做好心理輔導工作，多和學生溝通，聽取他們對于換元法的理解，讓他們更好地認識換元法的使用。換元法并非單一存在，有時還可結合數形變換、分類討論、配方法等。通過將抽象的數量關系與直觀的具體圖象相結合，能使學生在每一道題中都獲得新鮮的體驗，從而產生學習的欲望和動力。教師應根據學生的實際情況，設計各種形式的數學練習，培養學生靈活的換元思維，使其掌握各種換元方法，從而達到最佳的解題效果［3］。

（三）逆向換正向

有的學生在解題時往往只會使用固定的思路，一旦遇到新類型的題目，就會陷入困境，想不出解決問題的方法。對于這種情況，教師應該鼓勵學生轉變思維模式，突破傳統思維的桎梏。借助逆向思維解決問題，可讓學生茅塞頓開，同時提高他們思維的嚴謹性。特別是在解答區間問題時，學生若從正面找不到突破口，則可以嘗試從反面加以思考。教師可以讓學生制作一份“錯誤筆記”，把他們在日常學習中所遇到的逆向換元方法整合起來，并在此基礎上進行反復的練習，以提高自己的數學能力。在新課程背景下，對學生進行逆向思維的培養具有重要意義。這不僅可以使學生更好地理解新的觀念，幫助學生掌握教材，還能啟發學生的思維，幫助他們解決難題。逆向思維與換元思維可以同時滲透到代數題的訓練中。代數題的傳統求解方法是尋找未知數值，再把它引入一個未知的方程中，最后得到一個結果。有些時候這樣做既費時又麻煩，而利用逆向思維，從相反的角度來思考代數問題，可以節約大量的時間。

（四）數值換圖形

圖形題是中學數學中常見的一種類型題，具有較高的難度，要求學生具有較好的數學基礎和較強的解題能力，能夠將數值與圖形進行合理轉換，這樣有利于簡化抽象問題，并把握轉換思想的本質。“以形助數”“以數輔形”是中學數學教學中普遍采用的教學方法。比如，在拋物線知識的教學中，涉及數形換元，教師可以為學生提供一些轉換思路，幫助學生加深對所學知識的印象。在考試中遇到可使用換元法的圖形題時，學生應靈活地進行換元，并根據已知的數值關系迅速找到解題的突破口。在教學過程中，教師要讓學生逐步掌握正確的解題思路，不斷提升自己的思維水平。對于一些比較復雜的圖形題，教師可以組織學生開展學習活動，發揮集體的智慧，以小組協作的方式來解決問題。活動結束后，教師對學生小組協作的全面評估，有利于培養學生學習數學的自信心和團隊協作能力［4］。

（五）一元換多元

在求解方程的過程中，學生遇到更多的是從多元到一元的轉換。如將三元一次方程組轉換為一元一次方程，最常用的方法就是將三元一次方程組變成二元一次方程，然后再變成一元一次方程，這樣的步驟可以讓求解過程更清楚。數學的本質是思維方式，在教學中，是思維將各種數學知識連接起來的。教師要堅持新課改的理念，以例題的形式展示數學思維，幫助學生克服對陌生題型的恐懼心理，增強其對數學的認識和應用。方程式在教學中能起到承前啟后的作用，為后期函數的學習奠定基礎。教師要引導學生整理相關的數學知識，優化解題思路，逐步減少困難，巧妙地求解問題，讓換元法在實際中得到充分的應用。教師可搜集一元一次方程和二元一次方程的經典題型，讓學生去發掘它們之間的聯系和差異，分析如何靈活地進行換元，從而完善自身的數學知識體系。教師也可以與學生分享一些數學競賽的題目，如怎樣用換元法來解決多元不定方程等，讓學生通過對不同換元法進行思考，激發創造性思維，從而增強數學課堂的凝聚力和吸引力。換元法能使公式簡化，符合學生的理解方式，使運算更加簡單、快速，并能提高學生思考的能力。例如，分式方程是初中數學中的一個問題，很多學生對其感到陌生，無法靈活地解決相關難題。在教學中，教師可引導學生通過換元把分式方程轉換成整式方程，提高學生的實際應用能力，使其更好地理解這類問題。教師還要提醒學生對最后得出的答案進行檢驗，一是驗證其解是否為分式方程，二是驗證其與題意的一致性。

（六）平面換空間

初中生的空間想象、抽象思維能力尚不健全，在分析立體幾何問題時往往會有一些疏漏。因此，教師要善于利用換元法進行教學，引導學生將空間問題轉變為平面問題。對未知變量進行巧妙的置換，有利于立體幾何問題的解決。在中學數學教材中，多處內容反映了空間與平面的轉換，因此，教師要對教材進行深入的研究，歸納其轉化的形式與規律。教師可利用多媒體設備向學生演示三維立體圖的轉換過程，引導學生注意幾何圖形的構造特點，通過選取適當的變元來增強學生的空間想象力，使其自主地發現各種圖形之間的關系，提高數學的學習效率。在平時的教學中教師會發現，有的學生已經學會把空間問題轉變成平面問題，但因為不會計算，所以一直得不到答案。教師應引導學生發散思維，學會靈活地使用三角函數、均值不等式、坐標法、導數等數學工具，以求出問題的解。換元法思想具有多維、多向的特點，需要學生多思考、多探究、多嘗試，學習使用“小題大做”“大題小做”的解題方式，以更好地發展能力［5］。

結語

綜上所述，換元法是初中數學教學的一個重要組成部分，它可以簡化數學知識，讓學生更好地解決問題。初中數學教師要勇于創新，在教學過程中引導學生學會應用換元法，建立數學基礎的思維方式，并在不斷積累經驗的過程中，逐步提升自己的數學綜合素質。同時，教師要積極探討換元法在實際數學問題中的運用，以幫助學生更好地解決各種不同的數學問題，激發學生解決數學問題的興趣，為學生今后的發展打下堅實的基礎。

［參考文獻］

李元杰.初中數學解題中換元法例題解析［J］.數理天地（初中版），2022（18）：29-30.

陳鋌.如何用換元法求三類函數的值域［J］.語數外學習（高中版中旬），2022（9）：53-54.

洪聯平.妙用換元法化簡二次根式［J］.中學生數學，2022（18）：9-10.

李光寰.換元法思想在初中數學教學中的應用［J］.學周刊，2022（23）：54-56.

孟小娟.怎樣用換元法解初中數學題［J］.語數外學習（初中版），2021（12）：26-27.