識(shí)數(shù)學(xué)之美，近數(shù)學(xué)之本

［摘? 要］ 數(shù)學(xué)的美高級(jí)但謙虛且深沉，需要借助深度思維才能發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)美育不僅能幫助小學(xué)生清楚凝望數(shù)學(xué)本身的美，還能讓小學(xué)生在數(shù)學(xué)前行和攀登中培養(yǎng)學(xué)科審美素養(yǎng)，在潛移默化中積累原動(dòng)力和內(nèi)驅(qū)力。

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)美育；深化；感悟；數(shù)學(xué)本質(zhì)

法國(guó)藝術(shù)家?jiàn)W古斯特·羅丹說(shuō)：“在生活中，從不缺少美，只是缺少發(fā)現(xiàn)美的眼睛?！睌?shù)學(xué)給小學(xué)生的第一印象就是不美，甚至枯燥，但實(shí)際上數(shù)學(xué)和一切美都有千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，它的美高級(jí)但謙虛且深沉，需要借助深度思維才能發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)美育不僅能幫助小學(xué)生清楚凝望數(shù)學(xué)本身的美，還能讓小學(xué)生在數(shù)學(xué)前行和攀登中培養(yǎng)學(xué)科審美素養(yǎng)，在潛移默化中積累原動(dòng)力和內(nèi)驅(qū)力。

數(shù)學(xué)美有幾種典型的形態(tài)美——簡(jiǎn)潔美、統(tǒng)一美、對(duì)稱(chēng)美、嚴(yán)謹(jǐn)美、奇異美，在生活中的外在美，以及獨(dú)特的內(nèi)在個(gè)性美——抽象性和邏輯性。第二學(xué)段是數(shù)學(xué)美育極佳期，小學(xué)生自主意識(shí)剛剛覺(jué)醒，有著“好想”“好動(dòng)”的特點(diǎn)，教師可通過(guò)提煉教材中的美育元素，嘗試為學(xué)生創(chuàng)建和諧優(yōu)美和深度建構(gòu)的學(xué)科環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、感受、鑒賞數(shù)學(xué)美，進(jìn)而用數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)創(chuàng)造生活美。

（1）簡(jiǎn)潔美，是數(shù)學(xué)最常見(jiàn)的美。四年級(jí)下冊(cè)“乘法分配律”中計(jì)算4×0.25+4×0.75和4×（0.25+0.75）時(shí)，采取游戲競(jìng)賽揭示數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美：請(qǐng)男生計(jì)算第一個(gè)算式，女生計(jì)算第二個(gè)算式，比一比男女生的計(jì)算速度。女生很快全部算完，男生非常不甘心，“譴責(zé)”教師偏心，因?yàn)樾问讲煌?jiǎn)潔程度不同，使得女生做的速度必然比男生快。通過(guò)競(jìng)賽游戲不公平背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)對(duì)比，學(xué)生對(duì)巧用運(yùn)算律解題的簡(jiǎn)潔美一目了然。五年級(jí)上冊(cè)“字母表示數(shù)”中，回顧三角形、平行四邊形、梯形的周長(zhǎng)和面積公式時(shí)，教師可讓學(xué)生采用思維導(dǎo)圖進(jìn)行梳理：將三年級(jí)、四年級(jí)、五年級(jí)上學(xué)期所學(xué)的多邊形周長(zhǎng)和面積的文字描述逐個(gè)和它們簡(jiǎn)潔的字母公式一一對(duì)照，整理成個(gè)性化脈絡(luò)圖。五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)和倍數(shù)”中的２４和３６的最大公因數(shù)是１２，最小公倍數(shù)是７２，可以進(jìn)一步簡(jiǎn)潔表示為（２４，３６）＝１２，［２４，３６］＝７2。學(xué)生在對(duì)比中能夠感悟到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美，理解和掌握新知識(shí)。

小學(xué)生身心發(fā)展的局限性和數(shù)學(xué)美本身的復(fù)雜性使得其很難發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)美，也難以感知較為復(fù)雜的數(shù)學(xué)美，因此教師不能給學(xué)生定太高的美育目標(biāo)，要讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有所感悟，初步借助數(shù)學(xué)簡(jiǎn)潔美走近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（2）統(tǒng)一美，是貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的常見(jiàn)美。蘇教版“用字母表示數(shù)”是體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一美的教材元素：可以用一個(gè)不透明的牛皮紙袋，讓學(xué)生抽取一個(gè)三角形，并且告訴他們里面都是相同的等邊三角形，1個(gè)等邊三角形有3條邊，2個(gè)等邊三角形有6條邊，3個(gè)等邊三角形有9條邊……當(dāng)三角形的個(gè)數(shù)非常多的時(shí)候，就不能輕松地把所有情況一一列舉出來(lái)，學(xué)生意識(shí)到，如果用字母x表示三角形的個(gè)數(shù)，那么邊數(shù)就可以統(tǒng)一寫(xiě)成3x。學(xué)生在梳理圖中可見(jiàn)統(tǒng)一性是數(shù)學(xué)美的重要特征，就是在多樣性中找一致性，一些表面看似不相關(guān)的概念、定理、法則等，在一定條件下經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化，也可以處于一個(gè)統(tǒng)一體當(dāng)中。特別在五年級(jí)下冊(cè)“列方程解決實(shí)際問(wèn)題”的探究過(guò)程中，每個(gè)問(wèn)題學(xué)生都可以從不同的角度去思考，雖然解法不同，但是得到的答案肯定一樣，這是數(shù)學(xué)當(dāng)中統(tǒng)一美的重要體現(xiàn)。學(xué)生在結(jié)果的自我檢驗(yàn)中，就獲得了強(qiáng)烈的統(tǒng)一性：①數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性是檢驗(yàn)題目的依據(jù)，不管用什么方法，結(jié)果都應(yīng)該一樣。②數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美與簡(jiǎn)潔美密不可分，你中有我我中有你，統(tǒng)一體現(xiàn)著簡(jiǎn)化與直觀，簡(jiǎn)潔也借助統(tǒng)一將同類(lèi)知識(shí)進(jìn)行歸納。

小學(xué)生的鑒賞水平較低，而鑒賞能力的獲得是一個(gè)長(zhǎng)期的過(guò)程，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)，讓他們欣賞數(shù)學(xué)美并評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)美有很大的難度。數(shù)學(xué)不像音樂(lè)與美術(shù)能夠直接激發(fā)學(xué)生的審美情緒，數(shù)學(xué)的高度抽象性局限了學(xué)生的審美表達(dá)，因此在小學(xué)階段最重要的是教師巧妙揭示數(shù)學(xué)美，以及學(xué)生自主探究和敢于表達(dá)的態(tài)度。學(xué)生能在教師的設(shè)計(jì)下借助數(shù)學(xué)統(tǒng)一美走近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（3）對(duì)稱(chēng)美，是數(shù)學(xué)的一種典型形態(tài)美。常見(jiàn)于物體所具有的兩個(gè)部分是對(duì)等的，能給學(xué)生舒適的均衡性、平衡性，給人以圓滿(mǎn)、勻稱(chēng)的感受。小學(xué)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱(chēng)美比比皆是，幾何中的等腰三角形、正方形、平行四邊形、圓形和球形等都有典型的對(duì)稱(chēng)性，使人感受到對(duì)稱(chēng)的舒適美感。這種對(duì)稱(chēng)美不僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)圖形中，還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)運(yùn)算中。代數(shù)中的加法和乘法交換律，加法和減法互逆運(yùn)算、乘法和除法互逆運(yùn)算等都是數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)的抽象形式。教師可以借助運(yùn)算律的系列課時(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各種信息，從對(duì)稱(chēng)美的角度找出題目中的關(guān)鍵信息，并通過(guò)對(duì)稱(chēng)、變換等找到最佳思路，最后試著模仿寫(xiě)出大量符合運(yùn)算律的式子，大膽嘗試書(shū)本以外的運(yùn)算律形式并驗(yàn)證自己的運(yùn)算律是否正確。教師還可以通過(guò)課后閱讀使學(xué)生了解數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)性可以解決很復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題，比如著名數(shù)學(xué)家費(fèi)德洛夫?yàn)榱私鉀Q有關(guān)結(jié)晶學(xué)的基本問(wèn)題，就是從對(duì)稱(chēng)美的角度出發(fā)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為找出對(duì)稱(chēng)形式的純幾何問(wèn)題，最終成功解決了難題。

在小學(xué)階段，雖然學(xué)生的審美能力有限，但學(xué)生對(duì)對(duì)稱(chēng)美有著天然的興趣，更容易鼓勵(lì)他們參與到對(duì)稱(chēng)圖形的找、畫(huà)、剪、拼中，找到抽象的數(shù)學(xué)本質(zhì)。而學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂的局部快樂(lè)學(xué)習(xí)記憶，可以遷移到小學(xué)數(shù)學(xué)幾何問(wèn)題的探究中，使其對(duì)數(shù)學(xué)充滿(mǎn)興趣，主動(dòng)學(xué)習(xí)，借助對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)稱(chēng)美的天然偏愛(ài)積極走近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（4）嚴(yán)謹(jǐn)美，是數(shù)學(xué)的典型形態(tài)美。數(shù)學(xué)問(wèn)題雖然解題方法多種多樣，但最終答案只有一個(gè)，數(shù)學(xué)結(jié)論存在且唯一，對(duì)錯(cuò)分明，絕不模棱兩可。數(shù)學(xué)的推理邏輯嚴(yán)密，教師在教學(xué)中要規(guī)范演示審題，讓學(xué)生探尋題目中的內(nèi)在隱含信息，使邏輯鏈條清晰，書(shū)寫(xiě)過(guò)程清楚，每一步都要有理有據(jù)，避免疏忽大意而造成答案錯(cuò)誤。在批改作業(yè)的過(guò)程中教師保持常態(tài)謹(jǐn)慎，因?yàn)閿?shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，一個(gè)小數(shù)點(diǎn)的改變就可能引發(fā)巨大的變化，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美也是數(shù)學(xué)的魅力所在。數(shù)學(xué)的這種嚴(yán)謹(jǐn)性，就要求數(shù)學(xué)教師從小培養(yǎng)學(xué)生的邏輯嚴(yán)密性。

小學(xué)生的模仿能力較好，但是貪玩貪快的年齡特點(diǎn)決定了教師越嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生才能更嚴(yán)謹(jǐn)。嚴(yán)謹(jǐn)和創(chuàng)造并不沖突，在創(chuàng)造活動(dòng)中，嚴(yán)謹(jǐn)能夠賦予審美客體以生命和精準(zhǔn)，從而使創(chuàng)造達(dá)到預(yù)期的效果。核心素養(yǎng)要求學(xué)生具有藝術(shù)表達(dá)和創(chuàng)意表現(xiàn)的興趣和意識(shí)，能在生活中拓展和升華美，這就對(duì)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)提出了要求，擁有嚴(yán)謹(jǐn)作風(fēng)才能在感覺(jué)美的基礎(chǔ)上高效率走近數(shù)學(xué)本質(zhì)。

（5）奇異美，也是數(shù)學(xué)的獨(dú)特美。數(shù)學(xué)的奇異美主要體現(xiàn)于數(shù)學(xué)思維的新穎、解題方法的獨(dú)創(chuàng)以及解決數(shù)學(xué)問(wèn)題后恍然大悟與令人驚奇的體驗(yàn)。五年級(jí)下冊(cè)“質(zhì)數(shù)和合數(shù)”課中的完全數(shù)是數(shù)學(xué)奇異美的代表。完全數(shù)又稱(chēng)完美數(shù)，完美數(shù)恰好等于除它自身以外的正因子之和，而且完美數(shù)都是以6或8為結(jié)尾，例如6=1+2+3；28=1+2+4+7+14；496=1+2+4+…+62+124+248；8128=1+2+4+…+1016+2032+4064，這些完美的模式具有迷人的魅力，給人以復(fù)雜獨(dú)特的奇妙感。而在數(shù)學(xué)中這樣奇妙的數(shù)還有許多，比如親和數(shù)、勾股弦數(shù)、回文數(shù)等。這些數(shù)充滿(mǎn)著奇異美，教師帶領(lǐng)學(xué)生親自計(jì)算多組完全平方數(shù)、兩組親和數(shù)和兩組回文數(shù)，可引發(fā)學(xué)生感慨有些數(shù)竟然是無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家冥思苦想幾十年才能找到一個(gè)，這些數(shù)是在漫長(zhǎng)的歷史長(zhǎng)河中積累出來(lái)的思維瑰寶。借助這些獨(dú)特的數(shù)，激發(fā)學(xué)生領(lǐng)悟奇異美原來(lái)就是一種創(chuàng)新美。而奇異美和對(duì)稱(chēng)美也是“你中有我我中有你”，正如弗蘭西斯·培根所說(shuō)：“沒(méi)有一個(gè)極美的東西不是在勻稱(chēng)中有著某種奇異?！?/p>

小學(xué)生的想象力非常豐富，教師可借助和保護(hù)這種想象力，助力他們的想象有所突破，但囿于他們的數(shù)學(xué)學(xué)科審美經(jīng)驗(yàn)不足，因此在教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)中要提供豐富的符合小學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的審美活動(dòng)，激發(fā)他們發(fā)現(xiàn)美、創(chuàng)造美的能力。培育學(xué)生的審美想象力不能一概而論，因材施教是教育給予教學(xué)永遠(yuǎn)有意義的建議，教師對(duì)學(xué)生的看法和意見(jiàn)應(yīng)采取鼓勵(lì)的態(tài)度，不能用統(tǒng)一的學(xué)科審美標(biāo)準(zhǔn)來(lái)要求學(xué)生表達(dá)，在寬松的環(huán)境中學(xué)生才更敢于發(fā)表自己獨(dú)特而多樣的見(jiàn)解，從而激發(fā)自身的信心和創(chuàng)造力，走近數(shù)學(xué)本質(zhì)，利用數(shù)學(xué)的神奇去創(chuàng)造美。

在平時(shí)的教學(xué)過(guò)程中，教師的數(shù)學(xué)語(yǔ)言美、板書(shū)美、教學(xué)方法美能更舒適地揭開(kāi)數(shù)學(xué)美的面紗。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，教師要積極去“編織”教學(xué)內(nèi)容，美化數(shù)學(xué)知識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)美育的進(jìn)階。張奠宙、木振武提到數(shù)學(xué)美育有四個(gè)層次，第一個(gè)層次是“美觀”，第二個(gè)層次是“美好”，第三個(gè)層次是“美妙”，第四個(gè)層次是“完美”，其中，第四個(gè)層次是數(shù)學(xué)的最高品質(zhì)，即數(shù)學(xué)要講究邏輯，要做到盡善盡美，教師可以把第四個(gè)層次作為不斷追求的目標(biāo)去努力。數(shù)學(xué)課堂的美育效能到達(dá)哪一個(gè)層次？怎樣改進(jìn)問(wèn)題，才能讓美育促進(jìn)學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的美并真正抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)？是數(shù)學(xué)教師應(yīng)不斷思考的問(wèn)題。

數(shù)學(xué)美還具有個(gè)性化的抽象性，因此教師可以考慮借助自創(chuàng)或購(gòu)買(mǎi)的教具、生活中的精美圖形、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法激發(fā)學(xué)生解決復(fù)雜問(wèn)題；借助教室里的全套電子教學(xué)設(shè)備吸引學(xué)生的學(xué)習(xí)注意力，使用震撼的視頻驅(qū)動(dòng)學(xué)生的數(shù)學(xué)聯(lián)想。傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)方式也有瑰寶，教師只有不斷探究大數(shù)據(jù)下的信息教學(xué)和傳統(tǒng)教學(xué)的結(jié)合方式，才能達(dá)到教學(xué)效果好的平衡。首先以教材為載體挖掘?qū)W科美的元素，在課堂中滲透美育，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)美，因?yàn)榻滩谋旧碛型怙@美，還有內(nèi)容美，即內(nèi)在美；其次在現(xiàn)實(shí)課堂和空中課堂都踐行新型民主師生模式，鼓勵(lì)學(xué)生在算式、圖形、表達(dá)的模仿、獨(dú)創(chuàng)中去創(chuàng)造。

數(shù)學(xué)美不僅存在于數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中，其他學(xué)科中也有數(shù)學(xué)美的影子，黃金比例0.618∶1從數(shù)學(xué)角度看，只是一個(gè)比例數(shù)值，但是從藝術(shù)角度來(lái)看，它蘊(yùn)藏著藝術(shù)美學(xué)價(jià)值。畫(huà)作《蒙娜麗莎》《最后的晚餐》采用了黃金比例，生活中主持人發(fā)言的位置安排采用了黃金比例，房屋建筑的設(shè)計(jì)經(jīng)常采用黃金比例。歌曲和樂(lè)曲中較長(zhǎng)的一段大約是總長(zhǎng)度的 0.618，弦樂(lè)器的聲碼放在琴弦的大約0.618處聲音更好，我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚的“0.618法”也是黃金比例的應(yīng)用。

學(xué)生從小浸潤(rùn)數(shù)學(xué)學(xué)科審美教育，能讀懂?dāng)?shù)學(xué)獨(dú)特美的能力會(huì)使得他們更容易捕捉到數(shù)學(xué)的美，和喜歡大自然的向日葵、蝸牛、貝殼、螺線一樣來(lái)自靈魂深處，不懼?jǐn)?shù)學(xué)問(wèn)題，反而享受研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的樂(lè)趣。法國(guó)著名文學(xué)家居斯塔夫·福樓拜說(shuō)道：“越往前走，藝術(shù)將更為科學(xué)，科學(xué)將更為藝術(shù)，兩者在山麓分手，卻又在山頂會(huì)合?！睌?shù)學(xué)蘊(yùn)含在各種學(xué)科和生活里，各種學(xué)科和生活又豐富了數(shù)學(xué)美，使數(shù)學(xué)美更有魅力。但是要注意，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是本質(zhì)，美育是輔助，絕不能將數(shù)學(xué)課堂當(dāng)成藝術(shù)課堂。

作者簡(jiǎn)介：周婷婷（1981—），教育碩士，中小學(xué)一級(jí)教師，從事小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)工作。