構建生態課堂 回歸數學本質

柯麗娟 石紀芬

［摘? 要］ 以“配方法解一元二次方程”為例，在教學中設計有效問題串，由淺入深、循序漸進地引導學生對教學內容進行深度思考，培養學生獨立獲取知識的能力，形成前后一致、邏輯連貫的學習過程，讓學生認清“配方法解一元二次方程”的本質，構建以生為本的生態課堂，讓課堂學習更高效、更有創造力.

［關鍵詞］ 生態課堂；數學本質；配方法；一元二次方程

近年來，教育工作者越來越重視學生自主學習能力的培養，而設計有效問題串驅動課堂，構建生態課堂是培養學生的自主學習能力的有效途徑. 生態課堂是“生本”課堂，以生為本，尊重學生，突出學生的個性，強調學生在課堂活動中積極主動思考［1］. 生態課堂上，教師根據學情設計合理而自然的問題激發學生思考，尊重學生的主體地位，使其真正獲得成長. 同時《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，數學課堂應凸顯學生的主體地位，關注學生個性化、多樣化的學習和發展需求［2］. 數學教學要善于將數學的“學術形態”轉化為數學的“教育形態”，其內涵就是教師不應將教材上的內容當作金科玉律，把教參中的提示當作顛撲不破的真理，把預先設計好的教案當作亦步亦趨的向導傳遞給學生，而應將教學過程看成是師生雙方積極主動，動態生成，共同生長的過程，這一過程是教師和學生對客觀事物的意義進行合作建構的過程，是一個類似于生命成長的過程［3］. 本文以北師大版九年級數學第二章“一元二次方程解法——配方法”這一課為例，在認真研讀教材和分析學情的基礎上，就如何構建生態課堂、探尋配方法解一元二次方程的數學本質，談談自己的看法.

備課思考

在用配方法解一元二次方程的過程中，當學生遇到二次項系數不為1的情況時，屢屢出錯，總是忘記要先將二次項系數化為1，再配一次項系數一半的平方. 究其錯誤根源，是我們在教學過程中過度注重了方法的總結，刻意引導學生總結得出所配常數項是一次項系數一半的平方，按部就班地從直接開平方法進行引導，把學生的認知定位在開平方，沒有把握好配方的實質. 那么，配方的本質是什么？配方法解方程的本質是什么？最終落腳點在哪里？教師應該將“配方法解一元二次方程”這節課最終的落腳點定位在完全平方式，將一元二次方程轉化成（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，然后利用開平方或者平方差公式將方程進行降次，進而轉化為一元一次方程求解. 基于以上思考，為了有效拓展學生思維的深度和廣度，筆者對本節課的教學目標及教學過程做如下設計.

教學設計

教學目標：（1）通過配方活動，讓學生經歷探索用配方法解一元二次方程的過程，體會配方法解一元二次方程的實質；

（2）通過有效追問，讓學生經歷獨立思考、交流表達的過程，提高數學思維和數學表達能力，會根據題目選擇配方法，靈活運用配方法解一元二次方程.

教學重點：會用配方法解一元二次方程.

教學難點：配方的過程，確定所配的項.

1. 關注學生認知，引出課堂主題

活動1? ?解下列方程（上節課學習了因式分解法解一元二次方程）.

（1）（x－1）2－9=0

（2）x2－2x+1－9=0

（3）x2－2x－8=0

（4）x2－2x－7=0

追問1：方程4除了左右兩邊同時減去1轉化為方程3的形式，最后轉化為方程1的形式，能否通過加減別的數，直接轉化為（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式？？搖

預設生成：還可以將方程左右兩邊都加上1，得到方程x2－2x+1－7=1，進而轉化為（x－1）2=8；也可以將方程左右兩邊都加上8，得到x2－2x+1=8，進而轉化為（x－1）2=8.

總結：像上面通過添項（或拆項）配完全平方式的過程，簡稱“配方”. 最終將方程轉化為（x－m）2-n=0或者（x－m）2=n的形式，進而求解方程，這種解一元二次方程的方法叫作配方法.

追問2：如何確定配方的項？配方的項與已知的哪些項有關？

預設生成：因為最終要寫成a2±2ab+b2的形式，所以先確定a，然后將一次項拆開寫成2ab的形式，再確定b. b2即為所配的數字.

設計意圖? 方程1可用因式分解法或直接開平方法將其轉化為兩個一元一次方程直接求解，方程2和方程3可轉化為方程1的形式求解. 追問1 引導學生用添項的方法將方程4轉化為方程1的形式，或者轉化為（x－m）2=n的形式，自然引出課題——用配方法解一元二次方程. 4個方程循序漸進，聯系緊密，從學生已有認知出發，以學生為主體，讓學生自己發現它們的聯系與區別，讓學生自己進行問題的轉化，體會化歸思想. 在得出“配方”的概念之后，追問2 引導學生思考如何進行配方，配方的項由哪些項決定，給予學生充分的思考和探究時間，讓學生發現配方的實質是要配成完全平方式，繼而為配方找到依據.

2. 關注概念本質，探索學習新知

活動2? 將下列方程轉化為（x－m）2=n.

（1）x2－4x－3=0

（2）x2－6x+1=0

（3）x2－5x－2=0

追問3：配方過程中遇到了哪些困難？

預設生成：方程3和方程4在將一次項拆分成2ab形式時有困難，不容易發現b.

追問4：請同學們觀察完全平方式a2±2ab+b2，想一想如何解決同學們在配方中遇到的困難？

預設生成：用一次項除以2a即可找到b.

設計意圖? 配方法解一元二次方程的關鍵是配方，活動2設計二次項系數為1的一元二次方程，讓學生扎實掌握二次項系數為1的一元二次方程的配方，為后面解二次項系數不為1的一元二次方程做好鋪墊. 方程1和方程2的一次項系數為偶數，所配的數字是整數，方程3的一次項系數為奇數，方程4的一次項系數為分數，難度層層遞進，學生很難做到一眼就得到b. 學數學就是玩概念，解決數學問題要始終依據概念，因此教師引導學生再次回到完全平方式的概念，認真觀察完全平方式，歸納總結b的尋找方法，即用一次項除以2a.

3. 回歸生成本源，促發課堂效力

活動3? 將方程2x2－4x+1=0進行配方.

追問5：如何將二次項變形成a2.

預設：

（2）應該利用等式的基本性質，左右兩邊同時除以二次項系數2，將二次項系數化為1，二次項就可變形為x2.

（3）方程的左右兩邊還可以同時乘以二次項系數2，將二次項變形為（2x）2.

預設：

？搖？搖方法2：方程兩邊同時乘以2，得到（2x）2－8x+2=0，移項配方得（2x）2－8x+4=2，即（2x－2）2=2.

追問6：是否還可以乘以或除以其他數字呢？請舉例，并分析兩種方法的異同.

預設生成：可以乘以8、18等能使二次項系數變為完全平方數的數字. 將二次項系數化為1，是把數據變小，配方的數也相對較小. 方程兩邊同時乘以二次項系數，可以使b為整數或者是分母比較小的分數.

設計意圖? 學生已經掌握配方的關鍵是找到a、b，最終配成a2±2ab+b2的形式. 本題的二次項系數為2，不為1，不能直接得到a，對此教師沒有直接提問該如何解這個方程，也沒有引導學生將二次項系數化為1，而是先引導學生思考如何將二次項變形為a2，讓學生自主思考，提高學生的自主學習能力. 通過本題的分析，學生認識到要將二次項變形為a2，可以將方程左右兩邊同時除以二次項系數，也可以將方程左右兩邊同時乘以二次項系數，最終利用活動1的方法完成本題的配方.

4.？搖理解概念本質，靈活運用新知

活動4? 用配方法解下列方程.

設計意圖? 設計一個二次項系數為1的方程，三個二次項系數不為1 的方程，其中一個所配的數為整數，一個所配的數為分數，另一個二次項系數為分數，層層遞進，由易到難，但變中有不變，目標是怎樣將其配成完全平方式，不限制學生的思維，讓學生根據自己的認識選擇合適的方法，尊重學生的個性.

5. 應用拓展，鞏固所學新知

閱讀下面的材料，回答問題：同學們，下一節課我們將學習公式法解一元二次方程，求根公式的生成可以將方程ax2+bx+c=0（a≠0）變形為a2x2+abx+ac=0（a≠0），還可以將方程變形為4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）. 通過比較可以發現4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）配方更簡單. 求根公式的獲得過程如下：

4a2x2+4abx+4ac=0（a≠0）

（2ax）2+2·2ax·b+b2=b2－4ac

（2ax+b）2=b2－4ac

請問以上求根公式的獲得過程有沒有不完善的地方？若有，請將過程完善.

設計意圖? 設計本道閱讀題，再一次鞏固本節課所學的方法，這既是本節課的應用拓展，將配方法解一元二次方程由特殊轉為一般，同時也為下節課用公式法解一元二次方程做鋪墊，使學習過程的銜接邏輯更加連貫、聯系更加緊密.

設計思考

1. 重概念理解，揭示配方法本質

艾莉森坦言：“我有自己的順序，教材只是倉庫，我只找我需要的.”圍繞核心概念將教材內容重新組織，學數學就是學概念，本設計重視對概念的理解，揭示配方法的本質. 本節課教材是通過觀察幾個代數式的配方直接總結出“所配數字為一次項系數一半的平方”，教師們往往讓學生按照這個規律反復操練，形成肌肉記憶，學會用配方法解一元二次方程. 而本設計通過認真研讀教材，明確配方是通過添項（或拆項）配完全平方式的過程，最終目標是配完全平方式，至于用什么方法配成完全平方式，教師沒有讓學生總結課本上特有的規律，而是通過提問“如何將二次項變形成a2”引導學生知其然更知其所以然，所有方法自己得出，自己應用，自己修改. 自己想出來的方法是最好的，也是最有成就感的，同時也避免了配方中總是忘記將二次項系數化為1，導致后續二次函數學習中的錯誤，更為下節課求根公式的得出做了很好的鋪墊.

2.？搖重問題導向，啟迪學生思考

數學思維不是教師教出來的，而是學生在經歷知識的發生發展過程中自然生成的. 教師要將教材的“靜態知識”轉化為動態、生成的教學資源，把課堂的“復制知識”轉變為發展、生長的課堂，從而使學生主動獲取知識. 這樣的課堂是新一輪課程改革中核心素養落地的根本，也是追尋數學育人價值、立德樹人的關鍵. 本設計重視引導學生經歷問題解決的全過程，把對每點題意的理解、每條路徑的探索、每個方法的呈現、每種解答的余味都化成子問題讓學生充分體驗與思考. 那么，如何設計才能啟迪學生思維，讓學生真正思考，讓課堂富有活力呢？本節課有兩個關鍵問題，一是“如何確定配方的項？配方的數字與已知的哪些項有關？”，該問題解決了配方的難點；二是“如何將二次項變形成a2”，這個問題啟發了學生的思維，有些學生將其二次項系數化為1，有些學生將方程兩邊同時乘以二次項系數. 實踐證明，兩者皆可. 相比直接告訴學生將二次項系數化為1，這種提問方式更能引發學生思考，啟發學生思維，讓課堂更有活力.

3. 重過程教學，完善知識網絡

數學是一門思維的學科，數學課堂不能只單純地學習知識，而應重視知識的來龍去脈，只有不孤立地看待每個知識點，完善知識網絡，才能融會貫通，才能學習知識背后所承載的數學思想、數學方法、數學素養. 就“配方法解一元二次方程”這節課而言，教師不能就“法”論“法”，它應建立在“開平方法”的基礎上，同時教學時應緊扣“完全平方式”，所以活動1的設計是基于上節課因式分解解方程的前提，從設計符合學生認知的題目開始，層層遞進，關注方法產生的過程，突出思維發展的過程；活動2在活動1的基礎上進行方法的體驗，活動3是對方法本質的理解，讓學生從“方法的體驗”到“本質的理解”再抵達活動4的“靈活運用”，最后的“應用拓展”又為后面公式法解一元二次方程進行了鋪墊，讓學生學習“公式法”時不再陌生. 本節課引導學生自主構建知識體系，構建前后聯系、邏輯連貫的學習過程，為后續的學習積累了重要的學習方法，也充分體現了數學學習過程的意義.

教后記

在完成本節課的教學之后，九年級下冊學習二次函數一般式化為頂點式時，學生除了按照課本上配方法的步驟進行配方，還運用了其他的方法（如圖1、圖2）. 通過這兩種解法可以看出有些學生并沒有直接使用課本中配方的步驟，而是真正理解了配方法的本質，構建了屬于自己的知識體系.

隨著新課改的推進，課程觀念的更新，教學理念的激蕩，教學方式和學習方式的轉變，學生在課堂上應充分發揮其主體性、積極性、創造性，師生共同構建個性化、自主化、和諧生態并充滿活力的數學課堂. 教師應從促進學生的發展出發，對教學內容進行合理構建，設計符合學生認知，能揭示問題本質，能提高學生思維的數學活動，使學生的學習是在教師的引導下積極主動、富有活力、鮮活的過程，讓課堂富有創造力. 總之，教師應尊重學生個性、充分相信學生，把課堂還給學生，引導學生自己總結解題方法，讓知識的獲得自然而然，讓學習真正發生.

參考文獻：

［1］王婉瑩，劉錫光. 回歸數學本質，打造生態課堂——特級教師劉德武“認識負數”教學片段賞析［J］. 江西教育，2021（23）：41-44.

［2］中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［3］卜以樓. 生長數學：卜以樓初中數學教學主張［M］. 西安：陜西師范大學出版社，2018.