“總分總”單元整體視角下高中數(shù)學(xué)課堂架構(gòu)與思考

盛其麗

課題信息：平度市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度教師專項(xiàng)課題“單元整體視角下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐研究”，課題

批準(zhǔn)號(hào)為 PDJK2023D008.

摘要：單元整體教學(xué)自《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》發(fā)布后就備受關(guān)注，但通過“單元整體”的教學(xué)思想設(shè)計(jì)一節(jié)課的研究還比較少.文章通過“總分總”方式，即通過總體建構(gòu)學(xué)習(xí)路徑、分步解構(gòu)學(xué)習(xí)活動(dòng)和總體重構(gòu)學(xué)習(xí)結(jié)果三個(gè)環(huán)節(jié)架構(gòu)一節(jié)課的教學(xué)，讓學(xué)生從“學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)向“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，提升分析問題和解決問題的能力，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：“總分總”；高中數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)

學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展離不開超越課時(shí)教學(xué)的、以真實(shí)的整合性現(xiàn)實(shí)情境或主題統(tǒng)領(lǐng)的單元整體教學(xué)［1］.為了有效避免知識(shí)的碎片化和割裂，還應(yīng)將“單元整體”的教學(xué)思想落實(shí)到每章、每節(jié)的教學(xué)中［2］.課程需要單元整體架構(gòu)，具體到一節(jié)課也需要用“單元整體”教學(xué)思想進(jìn)行架構(gòu)，只有這樣才能讓學(xué)生學(xué)到的知識(shí)更加系統(tǒng)、條理，從而發(fā)展核心素養(yǎng).筆者在探索中發(fā)現(xiàn)，可以通過“總分總”方式架構(gòu)每一節(jié)的課堂教學(xué).“總分總”方式由總體建構(gòu)學(xué)習(xí)路徑、分步解構(gòu)學(xué)習(xí)活動(dòng)和總體重構(gòu)學(xué)習(xí)結(jié)果三環(huán)節(jié)構(gòu)成.下面以“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”為例，詳細(xì)介紹每個(gè)環(huán)節(jié)是如何設(shè)計(jì)與操作的.

1 課堂實(shí)錄

1.1 總體建構(gòu)學(xué)習(xí)路徑

教師：上節(jié)課我們建構(gòu)了形如y=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0）的函數(shù)模型，下面我們應(yīng)該研究這個(gè)函數(shù)的什么內(nèi)容？

學(xué)生（全體）：圖象與性質(zhì).

教師：從解析式來看，函數(shù)y=sin x就是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在A=1，ω=1，φ=0時(shí)的特殊情形.能否借助我們熟悉的函數(shù)y=sin x的圖象與性質(zhì)研究參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的影響呢？

學(xué)生（全體）：應(yīng)該可以.

教師：因?yàn)槲覀兞?xí)慣利用從特殊到一般的思路進(jìn)行研究，但函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中含有三個(gè)不同參數(shù)，你認(rèn)為應(yīng)按怎樣的思路研究呢？以前研究過含有參數(shù)的函數(shù)嗎？

學(xué)生1：類比以往研究二次函數(shù)的思路，可以通過控制變量法，先讓A，ω固定，φ變化，研究φ對(duì)函數(shù)的影響.

教師板書：y=sin x→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）.

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生類比熟悉的二次函數(shù)圖象的研究路徑總體設(shè)計(jì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的研究路徑，即先從熟悉的函數(shù)y=sin x的圖象入手，之后通過控制變量，按照先研究參數(shù)φ的影響，再研究ω的影響，最后研究A的影響的思路進(jìn)行研究.只有總體建構(gòu)了研究路徑，后面的研究才有方向.

1.2 分步解構(gòu)學(xué)習(xí)活動(dòng)

1.2.1 共同探究，明晰研究思路

探索φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響.

教師：不妨取A=1，ω=1，當(dāng)參數(shù)φ變化時(shí)，函數(shù)y=sin（x+φ）的圖象有什么變化？如何描述參數(shù)φ的變化對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象的影響？

學(xué)生2：取φ=0和φ=π6時(shí)，函數(shù)y=sin（x+φ）的解析式從y=sin x變?yōu)閥=sinx+π6，圖象是將y=sin x的圖象

向左平移π6個(gè)單位長度而得到.

教師：圖象是由點(diǎn)構(gòu)成的，因此圖象的變化實(shí)際上是圖象上點(diǎn)的變化，而根據(jù)之前學(xué)過的三角函數(shù)的定義，圖象上的點(diǎn)是由筒車做勻速圓周運(yùn)動(dòng)得來的，所以我們考慮，能否借助筒車的勻速圓周運(yùn)動(dòng)來解釋這種變化？考慮：

（1）筒車的勻速圓周運(yùn)動(dòng)中，A=1，ω=1，φ取不同值的物理意義是什么？

（2）設(shè)以Q0為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)到達(dá)圓周上任意一點(diǎn)P的時(shí)間為x s，在單位圓上將起點(diǎn)Q0繞點(diǎn)O1旋轉(zhuǎn)π6到點(diǎn)Q1，則以Q1為起點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)相繼到達(dá)點(diǎn)P需要多長時(shí)間？

（3）設(shè)點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=sin x圖象上的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的函數(shù)y=sinx+π6圖象上的點(diǎn)G的坐標(biāo)是多少？

（4）你能借助點(diǎn)P在兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變化來解釋函數(shù)圖象的變化嗎？

教師追問：我們通過幾何畫板演示一下，起點(diǎn)Q0繞點(diǎn)Q1旋轉(zhuǎn)－π6，π3，－π3，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象的變化.根據(jù)上面的研究，你能歸納出φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象影響的一般化結(jié)論嗎？

學(xué)生3回答.

教師：很好！請(qǐng)做一下牛刀小試1.

牛刀小試1：把y=sin x圖象上的所有點(diǎn)向右平移π6個(gè)單位長度，可以得到哪個(gè)函數(shù)的圖象？并畫出該函數(shù)的圖象.

教師：誰能總結(jié)一下上面問題的研究思路？

學(xué)生4：先從φ的物理意義，即初始位置入手，解釋點(diǎn)P在兩個(gè)函數(shù)圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的變化導(dǎo)致函數(shù)圖象的變化，然后給出φ的其他特殊值，歸納出φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象影響的一般化結(jié)論.

教師：總結(jié)得很條理清楚.也就是說研究思路為“確定函數(shù)解析式中要研究的參數(shù)→根據(jù)參數(shù)在圓周運(yùn)動(dòng)中的物理意義→得到圖象上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的變化→給出函數(shù)圖象的變換情況”.

設(shè)計(jì)意圖：由于學(xué)生并不熟悉研究思路，因此通過φ對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象的影響的研究以及教師的引導(dǎo)，師生以共同探究的形式完成，讓學(xué)生了解研究某個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)y=sin（x+φ）圖象的影響的研究思路，為后續(xù)研究另外兩個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象的影響搭建支架.

1.2.2 小組合作，強(qiáng)化研究思路

探索ω（ω>0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響.

教師：探索完φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響，類比剛才的研究思路，你能給出當(dāng)參數(shù)ω（ω>0）變化時(shí)，函數(shù)y=sin（ωx+φ）圖象變化的研究思路嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考1分鐘，之后小組合作1分鐘，小組代表發(fā)言.

教師：根據(jù)上面的研究，請(qǐng)做下面的牛刀小試2.

牛刀小試2：為了得到函數(shù)y=sin（3x－π6）的圖象，只要把y=sin（x－π6）的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo).

生5：橫坐標(biāo)縮短到原來的13，縱坐標(biāo)不變.

設(shè)計(jì)意圖：通過師生共同探究φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象影響的過程，發(fā)現(xiàn)學(xué)生要自己獨(dú)立完成此研究還是有困難的，所以探究ω（ω>0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響時(shí)采用了小組合作的形式，這樣既避免了學(xué)生獨(dú)立完成有困難帶來的尷尬，也避免了師生再次共同探究帶來的重復(fù)，同時(shí)還在原來共同研究的基礎(chǔ)上強(qiáng)化了問題的研究思路，也為后續(xù)學(xué)生獨(dú)立探究A（A>0）對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響做好了鋪墊.

1.2.3 自主探究，應(yīng)用研究思路

探索A（A>0）對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響.

教師：現(xiàn)在，你能給出當(dāng)參數(shù)A（A>0）變化時(shí)，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象變化的研究思路嗎？

學(xué)生獨(dú)立思考2分鐘并回答.

教師：根據(jù)剛才的探究，請(qǐng)做下面的牛刀小試3.

牛刀小試3：把y=sin3x－π6的圖象上所有的點(diǎn)，可以得到函數(shù)y=2sin3x－π6的圖象.

學(xué)生6：縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍（橫坐標(biāo)不變）.

設(shè)計(jì)意圖：經(jīng)歷師生共同探究φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響的研究思路的梳理，以及小組合作探究ω（ω>0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響研究思路的強(qiáng)化，學(xué)生已經(jīng)能夠獨(dú)立自主地運(yùn)用前面學(xué)習(xí)的研究思路探究A（A>0）對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，將學(xué)會(huì)的研究思路及時(shí)地應(yīng)用到后續(xù)的知識(shí)學(xué)習(xí)中，在學(xué)會(huì)知識(shí)的同時(shí)也學(xué)會(huì)研究問題的基本思路.

1.3 總體重構(gòu)學(xué)習(xí)結(jié)果

教師：同學(xué)們能總結(jié)如何從正弦曲線y=sin x出發(fā)，通過圖象變換得到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象嗎？

學(xué)生7回答.

教師：實(shí)際上就是我們剛才研究的三個(gè)參數(shù)對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象影響的結(jié)合.最后，同學(xué)們來應(yīng)用一下，請(qǐng)做例1.

例1? 畫出函數(shù)y=2sin3x－π6的簡圖.

學(xué)生8：就是我們?cè)谂５缎≡?畫的函數(shù)的圖象.

教師：對(duì)，上述3個(gè)牛刀小試畫圖的過程就是畫函數(shù)y=2sin3x－π6簡圖的過程.三位同學(xué)的間接合作已經(jīng)完成了例1.還有其他方法嗎？

學(xué)生9：也可以用以前所學(xué)的“五點(diǎn)”作圖法來畫圖.

教師：很好.課下請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考還能按照其他圖象變換順序畫出函數(shù)y=2sin3x－π6的簡圖嗎？

設(shè)計(jì)意圖：總體建構(gòu)研究思路，并且通過不同活動(dòng)形式分步解構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容后，接下來需要將前面解構(gòu)的零散的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行重構(gòu)并加以綜合應(yīng)用.因此，先讓學(xué)生整體梳理參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）圖象的影響，再讓學(xué)生應(yīng)用梳理的知識(shí)解決例1.當(dāng)然，例1的解決實(shí)際上在分步解構(gòu)環(huán)節(jié)的三個(gè)牛刀小試中已經(jīng)完成.這樣，不僅在理論上讓學(xué)生學(xué)會(huì)了解決這類問題的思路，還從實(shí)踐上教會(huì)了學(xué)生如何操作，大大分解了難點(diǎn)，突出了重點(diǎn).

2 幾點(diǎn)思考

2.1 整體把握研究路徑

研究一個(gè)問題前，需要先弄清楚研究問題的路徑，只有從整體上建構(gòu)了研究路徑，后續(xù)才能一步一步進(jìn)行研究.本節(jié)課研究三個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，原則上按照怎樣的順序研究都是一樣的，但為了突出研究的主線，讓學(xué)生能熟練操作參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的研究路徑，教師可以說“不妨按照φ，ω，A的順序進(jìn)行研究”.避免因?yàn)檠芯宽樞虻牟煌o學(xué)生帶來障礙，達(dá)到“削枝強(qiáng)干”的目的.

2.2 活動(dòng)遞進(jìn)，目標(biāo)進(jìn)階

明確研究路徑之后，接下來就是解構(gòu)研究路徑，通過一個(gè)個(gè)活動(dòng)逐個(gè)突破，從而達(dá)到教會(huì)學(xué)生研究思路的目的.由于學(xué)生從來沒有接觸過類似的研究思路，因此研究φ對(duì)y=sin（x+φ）圖象的影響時(shí)，采用教師引導(dǎo)、師生共同探究的活動(dòng)形式，目的是先教會(huì)學(xué)生研究某個(gè)參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象影響的思路.研究ω（ω>0）對(duì)y=sin（ωx+φ）圖象的影響時(shí)，由于學(xué)生剛學(xué)會(huì)研究思路，還不能完全獨(dú)立完成研究，因此采用小組合作的活動(dòng)形式，目的是強(qiáng)化學(xué)生研究參數(shù)對(duì)函數(shù)圖象影響的思路.研究A（A>0）對(duì)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響時(shí)，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了師生共同研究、小組合作，對(duì)研究思路已經(jīng)很熟悉了，所以采用讓學(xué)生自主探索的活動(dòng)形式，目的是真正教會(huì)學(xué)生研究問題的思路.通過不同的活動(dòng)形式，達(dá)到對(duì)學(xué)生培養(yǎng)目標(biāo)的不斷進(jìn)階，讓學(xué)生分析問題和解決問題的能力逐步增強(qiáng).

2.3 由分到合，加深認(rèn)知

研究完參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）圖象的影響后，接下來需要將剛才逐個(gè)擊破的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行整合，再從總體上重新構(gòu)建學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解與認(rèn)識(shí).因此除了將知識(shí)點(diǎn)綜合外，也可以打亂參數(shù)的順序，讓學(xué)生體會(huì)參數(shù)順序的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響，從而讓學(xué)生構(gòu)建的知識(shí)更牢靠.除了知識(shí)的重構(gòu)外，還有練習(xí)的重構(gòu).比如例1，畫出函數(shù)y=2sin3x－π6的簡圖，實(shí)際上將三個(gè)牛刀小試合起來，就完成了例1.這樣的好處，一是避免了由于參數(shù)順序不同給學(xué)生研究帶來的障礙，從而無法突出本節(jié)課的主線；二是可以留出更多時(shí)間讓學(xué)生采用第二種方法，即“五點(diǎn)”作圖法完成，讓學(xué)生對(duì)比兩種方法的優(yōu)劣；三是讓學(xué)生課后研究參數(shù)順序不同帶來的不同變換方式，既增加了本題的開放性，又留給了學(xué)生更多的時(shí)間將這個(gè)問題研究透徹.通過對(duì)知識(shí)和練習(xí)的由分到合，不斷加深學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)知，讓學(xué)生感覺像爬階梯一樣不斷地收獲新知，產(chǎn)生獲得感與成就感.

“總分總”方式無疑可以使建構(gòu)的知識(shí)更趨向于結(jié)構(gòu)化，并且學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的同時(shí)，還學(xué)會(huì)了學(xué)習(xí)知識(shí)的方法與路徑，從而學(xué)會(huì)用“專家思維”思考問題，而不是僅僅記住“專家結(jié)論”.這樣也才能讓學(xué)生真正地從“學(xué)習(xí)”走向“學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)”，切實(shí)發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

［1］周初霞，王紅梅，石秀芹.“總—分—總”式單元“學(xué)習(xí)圖譜”的實(shí)踐研究［J］.天津師范大學(xué)學(xué)報(bào)（基礎(chǔ)教育版），2022（5）：53-58.

［2］謝樹亮.“總-分-總”的教學(xué)流程避免知識(shí)碎片化［J］.中學(xué)生物教學(xué)，2018（15）：66.