“總分總”單元整體視角下高中數學課堂架構與思考

盛其麗

課題信息：平度市教育科學“十四五”規劃2023年度教師專項課題“單元整體視角下高中數學課堂教學的實踐研究”，課題

批準號為 PDJK2023D008.

摘要：單元整體教學自《普通高中數學課程標準（2017年版）》發布后就備受關注，但通過“單元整體”的教學思想設計一節課的研究還比較少.文章通過“總分總”方式，即通過總體建構學習路徑、分步解構學習活動和總體重構學習結果三個環節架構一節課的教學，讓學生從“學習”轉向“學會學習”，提升分析問題和解決問題的能力，發展數學核心素養.

關鍵詞：“總分總”；高中數學；核心素養

學科核心素養的發展離不開超越課時教學的、以真實的整合性現實情境或主題統領的單元整體教學［1］.為了有效避免知識的碎片化和割裂，還應將“單元整體”的教學思想落實到每章、每節的教學中［2］.課程需要單元整體架構，具體到一節課也需要用“單元整體”教學思想進行架構，只有這樣才能讓學生學到的知識更加系統、條理，從而發展核心素養.筆者在探索中發現，可以通過“總分總”方式架構每一節的課堂教學.“總分總”方式由總體建構學習路徑、分步解構學習活動和總體重構學習結果三環節構成.下面以“函數y=Asin（ωx+φ）的圖象”為例，詳細介紹每個環節是如何設計與操作的.

1 課堂實錄

1.1 總體建構學習路徑

教師：上節課我們建構了形如y=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0）的函數模型，下面我們應該研究這個函數的什么內容？

學生（全體）：圖象與性質.

教師：從解析式來看，函數y=sin x就是函數y=Asin（ωx+φ）在A=1，ω=1，φ=0時的特殊情形.能否借助我們熟悉的函數y=sin x的圖象與性質研究參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）的影響呢？

學生（全體）：應該可以.

教師：因為我們習慣利用從特殊到一般的思路進行研究，但函數y=Asin（ωx+φ）中含有三個不同參數，你認為應按怎樣的思路研究呢？以前研究過含有參數的函數嗎？

學生1：類比以往研究二次函數的思路，可以通過控制變量法，先讓A，ω固定，φ變化，研究φ對函數的影響.

教師板書：y=sin x→y=sin（x+φ）→y=sin（ωx+φ）→y=Asin（ωx+φ）.

設計意圖：讓學生類比熟悉的二次函數圖象的研究路徑總體設計函數y=Asin（ωx+φ）圖象的研究路徑，即先從熟悉的函數y=sin x的圖象入手，之后通過控制變量，按照先研究參數φ的影響，再研究ω的影響，最后研究A的影響的思路進行研究.只有總體建構了研究路徑，后面的研究才有方向.

1.2 分步解構學習活動

1.2.1 共同探究，明晰研究思路

探索φ對y=sin（x+φ）圖象的影響.

教師：不妨取A=1，ω=1，當參數φ變化時，函數y=sin（x+φ）的圖象有什么變化？如何描述參數φ的變化對函數y=sin（x+φ）圖象的影響？

學生2：取φ=0和φ=π6時，函數y=sin（x+φ）的解析式從y=sin x變為y=sinx+π6，圖象是將y=sin x的圖象

向左平移π6個單位長度而得到.

教師：圖象是由點構成的，因此圖象的變化實際上是圖象上點的變化，而根據之前學過的三角函數的定義，圖象上的點是由筒車做勻速圓周運動得來的，所以我們考慮，能否借助筒車的勻速圓周運動來解釋這種變化？考慮：

（1）筒車的勻速圓周運動中，A=1，ω=1，φ取不同值的物理意義是什么？

（2）設以Q0為起點的動點到達圓周上任意一點P的時間為x s，在單位圓上將起點Q0繞點O1旋轉π6到點Q1，則以Q1為起點的動點相繼到達點P需要多長時間？

（3）設點P對應的函數y=sin x圖象上的點F的坐標為（x，y），則點P對應的函數y=sinx+π6圖象上的點G的坐標是多少？

（4）你能借助點P在兩個函數圖象上對應點的變化來解釋函數圖象的變化嗎？

教師追問：我們通過幾何畫板演示一下，起點Q0繞點Q1旋轉－π6，π3，－π3，對應的函數圖象的變化.根據上面的研究，你能歸納出φ對函數y=sin（x+φ）圖象影響的一般化結論嗎？

學生3回答.

教師：很好！請做一下牛刀小試1.

牛刀小試1：把y=sin x圖象上的所有點向右平移π6個單位長度，可以得到哪個函數的圖象？并畫出該函數的圖象.

教師：誰能總結一下上面問題的研究思路？

學生4：先從φ的物理意義，即初始位置入手，解釋點P在兩個函數圖象上對應點的變化導致函數圖象的變化，然后給出φ的其他特殊值，歸納出φ對函數y=sin（x+φ）圖象影響的一般化結論.

教師：總結得很條理清楚.也就是說研究思路為“確定函數解析式中要研究的參數→根據參數在圓周運動中的物理意義→得到圖象上對應點的坐標的變化→給出函數圖象的變換情況”.

設計意圖：由于學生并不熟悉研究思路，因此通過φ對函數y=sin（x+φ）圖象的影響的研究以及教師的引導，師生以共同探究的形式完成，讓學生了解研究某個參數對函數y=sin（x+φ）圖象的影響的研究思路，為后續研究另外兩個參數對函數圖象的影響搭建支架.

1.2.2 小組合作，強化研究思路

探索ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響.

教師：探索完φ對y=sin（x+φ）圖象的影響，類比剛才的研究思路，你能給出當參數ω（ω>0）變化時，函數y=sin（ωx+φ）圖象變化的研究思路嗎？

學生獨立思考1分鐘，之后小組合作1分鐘，小組代表發言.

教師：根據上面的研究，請做下面的牛刀小試2.

牛刀小試2：為了得到函數y=sin（3x－π6）的圖象，只要把y=sin（x－π6）的圖象上所有的點橫坐標，縱坐標.

生5：橫坐標縮短到原來的13，縱坐標不變.

設計意圖：通過師生共同探究φ對y=sin（x+φ）圖象影響的過程，發現學生要自己獨立完成此研究還是有困難的，所以探究ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響時采用了小組合作的形式，這樣既避免了學生獨立完成有困難帶來的尷尬，也避免了師生再次共同探究帶來的重復，同時還在原來共同研究的基礎上強化了問題的研究思路，也為后續學生獨立探究A（A>0）對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響做好了鋪墊.

1.2.3 自主探究，應用研究思路

探索A（A>0）對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響.

教師：現在，你能給出當參數A（A>0）變化時，函數y=Asin（ωx+φ）圖象變化的研究思路嗎？

學生獨立思考2分鐘并回答.

教師：根據剛才的探究，請做下面的牛刀小試3.

牛刀小試3：把y=sin3x－π6的圖象上所有的點，可以得到函數y=2sin3x－π6的圖象.

學生6：縱坐標伸長為原來的2倍（橫坐標不變）.

設計意圖：經歷師生共同探究φ對y=sin（x+φ）圖象的影響的研究思路的梳理，以及小組合作探究ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響研究思路的強化，學生已經能夠獨立自主地運用前面學習的研究思路探究A（A>0）對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，將學會的研究思路及時地應用到后續的知識學習中，在學會知識的同時也學會研究問題的基本思路.

1.3 總體重構學習結果

教師：同學們能總結如何從正弦曲線y=sin x出發，通過圖象變換得到y=Asin（ωx+φ）的圖象嗎？

學生7回答.

教師：實際上就是我們剛才研究的三個參數對y=Asin（ωx+φ）圖象影響的結合.最后，同學們來應用一下，請做例1.

例1? 畫出函數y=2sin3x－π6的簡圖.

學生8：就是我們在牛刀小試3畫的函數的圖象.

教師：對，上述3個牛刀小試畫圖的過程就是畫函數y=2sin3x－π6簡圖的過程.三位同學的間接合作已經完成了例1.還有其他方法嗎？

學生9：也可以用以前所學的“五點”作圖法來畫圖.

教師：很好.課下請同學們繼續思考還能按照其他圖象變換順序畫出函數y=2sin3x－π6的簡圖嗎？

設計意圖：總體建構研究思路，并且通過不同活動形式分步解構學習內容后，接下來需要將前面解構的零散的知識點進行重構并加以綜合應用.因此，先讓學生整體梳理參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0）圖象的影響，再讓學生應用梳理的知識解決例1.當然，例1的解決實際上在分步解構環節的三個牛刀小試中已經完成.這樣，不僅在理論上讓學生學會了解決這類問題的思路，還從實踐上教會了學生如何操作，大大分解了難點，突出了重點.

2 幾點思考

2.1 整體把握研究路徑

研究一個問題前，需要先弄清楚研究問題的路徑，只有從整體上建構了研究路徑，后續才能一步一步進行研究.本節課研究三個參數對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響，原則上按照怎樣的順序研究都是一樣的，但為了突出研究的主線，讓學生能熟練操作參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響的研究路徑，教師可以說“不妨按照φ，ω，A的順序進行研究”.避免因為研究順序的不同給學生帶來障礙，達到“削枝強干”的目的.

2.2 活動遞進，目標進階

明確研究路徑之后，接下來就是解構研究路徑，通過一個個活動逐個突破，從而達到教會學生研究思路的目的.由于學生從來沒有接觸過類似的研究思路，因此研究φ對y=sin（x+φ）圖象的影響時，采用教師引導、師生共同探究的活動形式，目的是先教會學生研究某個參數對函數圖象影響的思路.研究ω（ω>0）對y=sin（ωx+φ）圖象的影響時，由于學生剛學會研究思路，還不能完全獨立完成研究，因此采用小組合作的活動形式，目的是強化學生研究參數對函數圖象影響的思路.研究A（A>0）對y=Asin（ωx+φ）圖象的影響時，學生已經經歷了師生共同研究、小組合作，對研究思路已經很熟悉了，所以采用讓學生自主探索的活動形式，目的是真正教會學生研究問題的思路.通過不同的活動形式，達到對學生培養目標的不斷進階，讓學生分析問題和解決問題的能力逐步增強.

2.3 由分到合，加深認知

研究完參數A，ω，φ對函數y=Asin（ωx+φ）圖象的影響后，接下來需要將剛才逐個擊破的知識點進行整合，再從總體上重新構建學生對所學知識的理解與認識.因此除了將知識點綜合外，也可以打亂參數的順序，讓學生體會參數順序的變化對函數圖象的影響，從而讓學生構建的知識更牢靠.除了知識的重構外，還有練習的重構.比如例1，畫出函數y=2sin3x－π6的簡圖，實際上將三個牛刀小試合起來，就完成了例1.這樣的好處，一是避免了由于參數順序不同給學生研究帶來的障礙，從而無法突出本節課的主線；二是可以留出更多時間讓學生采用第二種方法，即“五點”作圖法完成，讓學生對比兩種方法的優劣；三是讓學生課后研究參數順序不同帶來的不同變換方式，既增加了本題的開放性，又留給了學生更多的時間將這個問題研究透徹.通過對知識和練習的由分到合，不斷加深學生對問題的認知，讓學生感覺像爬階梯一樣不斷地收獲新知，產生獲得感與成就感.

“總分總”方式無疑可以使建構的知識更趨向于結構化，并且學生在學習知識的同時，還學會了學習知識的方法與路徑，從而學會用“專家思維”思考問題，而不是僅僅記住“專家結論”.這樣也才能讓學生真正地從“學習”走向“學會學習”，切實發展數學核心素養.

參考文獻：

［1］周初霞，王紅梅，石秀芹.“總—分—總”式單元“學習圖譜”的實踐研究［J］.天津師范大學學報（基礎教育版），2022（5）：53-58.

［2］謝樹亮.“總-分-總”的教學流程避免知識碎片化［J］.中學生物教學，2018（15）：66.