基于支架式教學的“圓的面積”教學設計研究

摘 要 “圓的面積”是小學數學學習的重點，但是學生在學習過程中存在諸多認知困難。根據支架式學習理論進行教學設計，基于化曲為直和極限思想進行圓的面積公式的建構，為小學一線數學教師的教學提供可借鑒的方法和策略。

關鍵詞 小學數學 支架式教學 圓的面積 教學設計

一、引言

“圓的面積”是小學階段學生接觸的第一個曲線圖形的面積的計算，是平面圖形測量中由直線圖形向曲線圖形過渡的關鍵點。[1]圓的面積公式的探索方法為后續圓柱體體積公式的探索以及無理數的學習做了鋪墊，其推導過程中蘊含著數學推理意識以及化曲為直和極限等數學思想。因此，“圓的面積”在小學數學中占有重要地位。然而，學生在“圓的面積”的建構過程中存在諸多認知困難，例如，在將圓的面積轉化成已學過的平面圖形的面積過程中，學生對于為何要將圓的面積平均分、怎么平均分，以及能夠拼成哪些圖形存在理解困難；[2]另外，學生在將圓無限分割成多個小扇形的過程中蘊含的化曲為直和極限思想的理解存在困難。本研究基于支架式教學理論，基于學生在“圓的面積”學習過程中存在的認知困難，對“圓的面積”進行教學設計，將為小學一線數學教師的教學提供可借鑒的方法和策略。

支架式教學是指在學習過程中，教師為學生提供相應的外部支持，幫助學生跨過“最近發展區”，達到潛在的學習發展水平。隨著學習的不斷深入，教師應當撤掉學習上的“支架”，讓學生成為學習和探究的主體。[3]支架包括教師示范、出聲思維、提出問題、改變教材、書面或口頭的提示或者暗示。[4]支架在教學中通常表現為舉例、問題鏈、提示、圖表、教具及多媒體演示等形式。支架式教學理論認為，教師通常先將學生引入一定的問題情境中，并提出所要解決的問題，教師搭建各種類型支架，為學生的新知探索和學習提供幫助并引領探索方向，最后師生總結提升。

二、“圓的面積”教學目標設計

1.在探索實際問題情境中，了解“圓的面積”的含義。

2.在推導圓的面積公式的過程中，體會化曲為直和極限思想，發展推理意識。

3.在應用“圓的面積”公式解決問題過程中，能正確計算圓的面積，發展模型意識、數學運算、應用意識。

三、“圓的面積”教學過程設計

（一）環節一：創設情境

【數學史情境】“圓的面積”的求解歷史

劉徽是我國魏晉時期的數學家，他在《九章算術》方田章“圓田術”的注中提出把“割圓術”作為計算圓的周長、面積以及圓周率的基礎?！案钪畯浖?，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”劉徽從圓內接正六邊形開始，將邊數逐次加倍，得到的圓內接正多邊形就逐步逼近圓，如圖1所示。

設計意圖：引入數學史，介紹相關的歷史背景，激發學生的學習興趣和求知欲，使學生了解知識的發生、發展過程，從而促進學生更深入地體會極限思想。

【應用情境】學校打算新建一個半徑為15 m的圓形草坪，圓形草坪的占地面積為多少平方米？

師生活動：學生閱讀題目，思考圓形草坪的面積的求法。

設計意圖：教師創設真實的問題情境，激發學生的求知欲，并提出要解決的問題。

（二）環節二：新知探究

1.搭建研究思路和方法支架

問題1：我們學習過哪些平面圖形的面積？這些平面圖形的面積的計算公式是如何得來的？

學習活動：學生獨立思考之后回答教師的問題，教師引導學生提煉化歸的思想方法。

設計意圖：溝通新舊知識之間的聯系，激活學生已有的關于平面直線圖形的面積的計算思路和方法，搭建支架，促成遷移，進而幫助學生在自己經驗范圍內找到研究平面曲線圖形的面積的計算方法。

2.搭建問題支架，引領思維發展

問題2：這些平面圖形的面積是通過數格子或者分割后拼成已學圖形的面積獲得的，你能用類似的方法求圓的面積嗎？

學習活動：借助教師提供的若干圓，學生動手實踐，自主探究（教師巡視指導，先挑選幾份數方格法的作品）。

預期學生作品展示，如圖2所示，并讓學生匯報思路。

問題3：他們是用什么方法求解的？你認為上面哪個方法的計算會更接近圓的面積？為什么？這種數方格的方法求圓的面積有什么不足？

學習活動：學生通過獨立思考，回答問題。

【師】利用數方格的方法，可以把一個個面積單位累加起來計算圓的面積，方格分得越小，估計值就會越接近圓的面積。

問題4：圓的面積除了平均分成小方格，還可以平均分成什么圖形？分割后的圖形能拼成什么圖形？（大部分學生能夠想到平均分成小扇形，如果想不到，提示學生對折圓形紙片。大部分學生拼成近似的平行四邊形或者長方形，如果想不到拼成梯形和三角形，教師可提示學生是否還有其他拼法。）

預期學生作品展示，如圖3所示，并讓學生匯報思路。

追問：你是如何想到平均分成小扇形的？和平均分成小方格相比，哪種方法容易操作、更精確一些？（學生存在困惑，教師提示長方形借助長和寬均分成小方格，圓形借助圓心和半徑均分成小扇形。）

針對第一種拼法，教師選取將圓8等分和16等分拼成的圖形進行展示，如圖4所示，引導學生觀察。

問題5：觀察圖4中的圖形，你們有什么發現？

教師利用課件演示將圓平均分成32等份以及64等份后再拼起來。

問題6：再繼續等分下去，分成128等份后拼成的圖形會有什么變化？分成256等份呢？如果一直無限分下去，等分成無數份，會拼出什么圖形？

學習活動：學生觀看教師的多媒體演示，回答教師提出的問題。

【師】這些方法的共同之處是都將圓平均分成若干個小扇形，之后拼成前面已經學習過的平面直線圖形。

設計意圖：首先，教師以學生容易想到的數方格法入手探索圓的面積，通過方格細化法會更接近圓的面積滲透極限思想，并引導學生體會方格越小數起來越麻煩，且結果不夠精確，為圓平均分成小扇形做鋪墊。其次，在將小扇形拼成已知直線圖形的過程中，教師通過提問學生和多媒體演示支架引領學生轉化成多種圖形，滲透化曲為直和極限思想。

3.圖示支架歸納出圓面積公式

學習活動：教師引導學生找到拼成后的平行四邊形（長方形）的底（長）和高（寬）與圓的周長和半徑之間的關系，并推導出圓的面積公式。圓的面積公式的推導如圖5所示。

問題7：如果把圓轉化成三角形和梯形，以16等分為例，你能試著用它們來推導圓的面積的計算公式嗎？這些方法之間有什么共同之處？

學習活動：學生遷移平行四邊形推導圓的面積的思路，計算三角形和梯形的面積，得出圓的面積公式為[πr2]，最后教師總結。

【師】圓的面積是未知的，我們將其轉化成已知圖形，進而探索出圓的面積公式，應用了化曲為直的方法，分割份數越多越接近圓的面積。

設計意圖：教師引導學生利用多種轉化圖形得到相關數據，通過圖示支架推導出圓的面積的計算公式，發展歸納推理意識，體會化曲為直和極限等數學思想。

（三）環節三：實踐應用

練習1.學校打算新建一個半徑為15 m的圓形草坪，圓形草坪的占地面積為多少平方米？

練習2.一個圓形的周長是31.4米，這個圓形的面積是多少平方米？

學習活動：傾聽教師示范講解練習1，學生做練習2。

設計意圖：練習1是利用圓的面積公式直接解決“環節一”中提出的問題，實現首尾呼應。練習2是已知周長求面積，是練習1的變式，進一步促進學生對于圓的面積公式的理解和應用。

（四）環節四：總結提升

教師評價學生的學習表現，并提出問題：

1.本節課你學到了哪些知識和技能？

2.圓的面積公式是如何推導的？

3.你還有什么困惑嗎？

4.圓的面積計算公式還有其他推導方法嗎？（提示：除了平均分成小扇形之外，圓還能分成哪些圖形？可以分成圓環嗎？分成的圓環能拼成什么圖形？除了平均分成偶數個小扇形，圓是否也可以平均分成奇數個小扇形？）

設計意圖：結合學生的回答，教師帶領學生梳理圓的面積計算公式的推導過程以及所涉及的數學思想方法，并讓學生探索圓的面積公式的其他推導方法，將封閉的課堂變成一個開放的課堂，進一步發展學生數學思維的發散性和深刻性。

四、“圓的面積”教學設計反思

（一）搭建支架促進學生“現有水平”向“潛在發展水平”的轉化[2]

本教學設計中，深入分析了學生“現有水平”向“潛在發展水平”轉化過程中存在的認知困難。以此為出發點，以學過的平面直線圖形的面積公式的研究方法為支架，以分析數方格法的局限性為切入點，逐步通過問題、教具、多媒體演示以及圖示支架引導學生的數學探究。在實際教學中，教師搭建的支架應具有梯度，但是梯度要適度，確保學生在最近發展區中開展數學探究。

（二）問題鏈作為支架引領學生的數學探究活動

教師在數學探究活動開展的過程中設計層層深入的問題鏈支架引領學生思考。例如，我們學習過哪些平面圖形的面積？這些平面圖形的面積的計算公式是如何探索的？圓的面積除了平均分成小方格，還可以平均分成什么圖形？分割后的圖形能拼成什么圖形？這些環環相扣的問題循循善誘地引領學生回顧舊知并建立聯系、方法遷移探究新知、比較概括提煉思想，促進學生數學核心素養的發展。

為了實現教學效果最優化，教師應該深入地分析學生數學學習存在的認知困難，基于學生認知困難搭建多樣化的學習支架，輔助學生的數學探究，進而促進學生自主學習能力的發展。

[參 考 文 獻]

[1]肖慧，虞秀云.以學定教，順學而導：基于學生學習路徑分析的圓的面積教學設計[J].數學教學通訊，2021（4）：11-12+40.

[2]童永健.支架式教學理論在數學課堂中的應用：以滬教版“作為判別式的二階行列式”教學設計為例[J].中學數學研究（華南師范大學版），2015（11）：4-6.

[3]邱鍾慧，馬德宜，柳福祥.基于數學史視角的圓面積教學設計思考[J].教學與管理，2019（8）：50-52.

[4]陳琦，劉儒德.當代教育心理學[M].北京：北京師范大學出版社，2007：200-201.

（責任編輯：姜顯光）

作者簡介：陳麗敏（1976— ），女，遼寧大石橋人，沈陽師范大學教師教育學院副教授，博士，研究方向：數學課程與教學理論研究；王瑾（1975— ），女，遼寧鐵嶺人，沈陽師范大學教師教育學院講師，博士，研究方向：數學課程與教學理論研究。

基金項目：本文系遼寧省教育科學“十四五”規劃2021年度課題“鄉村數學教師網絡學習共同體建設的實踐研究”（課題編號：JG21EB288）、遼寧省教育廳2021年度科學研究經費項目“學習共同體視域下遼寧省中學名師工作室的建設研究”（課題編號：LJKR0360）的階段性研究成果。