探“圖形運動”本質 促“整體建構”關聯

［摘" 要］ 研究者通過分析學生學習“旋轉三要素”前后的測評數據，整合“線與面的旋轉”教學內容，滲透“圖形旋轉即點旋轉”的本質認知，在溝通與對比中不斷提升學生的空間觀念。

［關鍵詞］ 整體建構；圖形的旋轉；運動本質；空間觀念

小學階段“圖形運動”包括三個教學內容：軸對稱、平移和旋轉，教材基于從易到難、螺旋上升的原則進行編排。“旋轉”是“圖形的運動（三）”中的內容，它是小學數學“圖形的位置與運動”板塊最后一個學習內容，“旋轉”與對稱、平移相比更抽象，涉及的要素更多。在教學“圖形的旋轉”時，大部分教師先教學“線段旋轉”，后教學“圖形旋轉”。因此，筆者產生了一些思考：基于整體建構視角，能否將線段教學融入圖形旋轉教學中？是否按先轉三角尺再畫三角形的思路教學？基于以上思考，筆者通過對比多種教學路徑，基于真實學情從整體視角出發重組了教學內容。

一、教學序列的分析

“圖形的運動”以軸對稱、平移和旋轉等載體通過全等變換，讓學生進一步把握圖形運動的特征，從而有效發展空間觀念。內容要求、學業要求、教學提示都指向了讓學生用“旋轉三要素”描述圖形的位置，用方格紙畫簡單的圖案，感受旋轉的特征。

1. 教材對比

（1）教學序列的縱向分析

“圖形的運動”在各個學段的人教版教材中都有所涉及（如圖1所示）：二年級，能初步感知旋轉的現象，能定性判斷“是不是旋轉”；五年級，能用“旋轉三要素”從定量的角度精準描述“怎樣旋轉”及嘗試畫簡單的旋轉圖形；九年級，直接借助圓規和量角器作圖。

（2）教學序列的橫向對比

筆者對比了人教版、北師大版、蘇教版三個版本的小學數學教材，對情境、素材、路徑等方面進行了異同點對比分析（如圖2所示）。

①相同教學思路

相同點1：基于生活原型，明晰“旋轉三要素”。人教版教材借助指針旋轉，北師大版、蘇教版教材利用停車場轉桿等生活情境來認識“旋轉三要素”。

相同點2：操作探究，深化旋轉本質。三個版本教材都是借助擺一擺三角尺來滲透旋轉本質。

相同點3：關聯點、線、面旋轉，凸顯結構化思想。教材關注了點、線、面的旋轉，深化“圖形旋轉的本質即點的旋轉”。

②不同教學路徑

“圖形的旋轉”教學的路徑不同：人教版先教學旋轉三角尺再畫三角形，北師大版先教學畫旋轉線段再畫旋轉后的圖形，蘇教版直接教學畫旋轉后三角形。

2. 學情分析

筆者對147名學生進行了兩次測試，具體情況見表1、表2。

分析測試結果發現，學生對于“旋轉三要素”的認知存在較大偏差，能感知線的旋轉，但對面的旋轉不夠明晰和完整。

針對這樣的數據，筆者產生了思考。

（1）教學“旋轉三要素”后，能否直接進入“面的旋轉”教學？

學習“旋轉三要素”后，學生畫旋轉線段準確率從64.63%提升至89.80%，表明學生對于畫線段并無太大難度。畫旋轉線段后的三角形實際上是讓學生經歷找點、連線、成面的過程，發現點、線、面不是分離的，從而建構整體性的認知。因此，直接教學“面的旋轉”更有利于學生建構整體的認知。

（2）依托數據，把三角尺能否融入旋轉畫圖教學？

在學習“三要素”后，有59.86%的學生不借助三角尺的旋轉也能正確畫圖。能否不再單獨教學三角尺的旋轉，而是將三角尺作為學習支架整合到“圖形的旋轉”教學中？這樣的設計能夠帶來兩大便利：一是“放一放”，讓會畫的學生利用空間想象畫圖，使三角尺起驗證作用，充分發展學生空間觀念；二是“扶一扶”，作為一個有力的學習支架，讓有困難的學生先旋轉三角尺再畫圖。

二、單元序列的重組

基于這樣的思考，筆者在教學“三要素”后直接教學“圖形旋轉”，將三角尺、線段融入畫三角形的教學中；第二課時為“圖形的分析”，利用圖形運動知識分析圖形，根據情境需要靈活分解基本圖形，培養學生解決問題的實踐能力；第三課時為拓展課“圖形的設計”，以設計“美麗的圖案”為主線，經歷多個圖形拼組的運動變化，培養學生空間想象能力。

三、關鍵課例的實踐

“圖形的旋轉”是本單元的關鍵課例，教學重點為“認識旋轉三要素，正確畫出旋轉90°后的三角形”，教學難點為“理解圖形的旋轉本質”。

1. 遵循教材：生活情境，認識“旋轉三要素”

（1）尋求共同點，初識“旋轉三要素”

師：如圖3所示，這些運動都是旋轉嗎？有什么共同點？

生1：都繞著1個點旋轉。

師：誰能上來指一指？

師：我們稱它為旋轉中心。還有其他發現嗎？

生2：向左或向右轉。

師：誰能來演示一下？

師：看來旋轉還要有方向，數學上有專門的名詞叫順（逆）時針旋轉。

師：觀察鐘擺跟轉桿，你們還有什么發現呢？

生3：它們都旋轉一定的角度。

小結：通過對比這幾幅圖，發現都有中心點、方向和角度，這就是“旋轉三要素”。

設計意圖：數學源于生活，應用于生活。本環節教師利用生活情境導入，讓學生在辨析中逐步認識“旋轉三要素”。

（2）描述初嘗試，話說“旋轉三要素”

師：二年級時我們學會判斷旋轉，現在是五年級了，可以用“旋轉三要素”描述旋轉。

師：如圖4所示，你們能用“旋轉三要素”說一說轉桿是怎么旋轉的嗎？

生4：順時針旋轉90°。

生5：轉桿繞點O按順時針方向旋轉90°。

師：現在呢？

生6：轉桿繞點O按逆時針方向旋轉90°。

師：大家都看得懂指針嗎？12到6，它怎么轉動？

生7：指針繞點O按順時針方向旋轉180°。

師：現在同桌相互說一說，讓指針從幾到幾，它怎么轉動？

要求：從（" " ）到（" " ），指針繞點（" " ）按（" " ）方向旋轉（" " ）。

生8：從12到12，指針繞點O順時針旋轉360°。

生9：從6到8，指針繞點O順時針旋轉60°。

師：用“旋轉三要素”描述旋轉有什么好處嗎？

生10：描述更精確。

設計意圖：本環節教師引導學生用“旋轉三要素”描述生活中的旋轉，讓學生在描述的過程中感受用“旋轉三要素”描述的精確性。

2. 合理融合：簡單圖形，畫“旋轉三要素”

師：線段的旋轉對你們來說太簡單了！下面，我們直接學習“三角形的旋轉”。

師：線段OA繞著點O按順時針方向旋轉90°，你能畫出來嗎？

教師展示任務要求，如圖5所示。

（1）錯誤辨析，明晰正確畫法

作品1：中心點錯誤。（教師利用透明三角形演示，按著中心點旋轉）

師：旋轉的時候繞著中心點，這個點是始終不動的。

作品2：長度畫錯。（學生利用透明三角形演示）

師：看一看前后長度有變化嗎？

生11：沒有。

師：那另外兩條呢？

師：旋轉的時候形狀大小不變，邊的長度也不變。什么變了？

生12：方向、位置。

作品3：畫成軸對稱圖形。

師：猜猜看，他想成什么運動了？

生13：軸對稱。

師：（展示正確作品）畫對的同學請舉手，誰能說說怎樣才能又快又準地畫旋轉圖呢？

生14：找點A′、點B′，再連線。

師：點A與點A′可以稱為是一組對應點，怎么找到點A′的？

生15：數格子。

生16：先找到旋轉90度后的線，然后數格子。

師：真厲害！我們找到了點A和點B的對應點A′及點B′，然后與中心點O連線就可以畫出旋轉后的三角形！現在給你們一點時間對自己的作品進行調整。

設計意圖：本環節教師引導學生嘗試畫旋轉后的三角形，呈現學生的典型錯誤，讓學生在辨析中從關注面的旋轉到關注線的旋轉，并明晰畫法。

（2）由外到內，感受圖形特征

師：剛才利用3個點畫了三角形，那三角形上只有這3個點嗎？

生18：我在三角形的邊上可以找到1個點。

生19：我在邊上可以找到3個點。

生20：線段是由無數個點組成的，3條邊上可以找到很多點！

師：只能在線段上找嗎？

生21：我在三角形內部也找到1個點。

生22：三角形是由無數個點構成的。

設計意圖：畫法明晰之后，本環節指向圖形運動的深度解讀。教師引導學生從關注3個特殊點到圖形的所有點，為后續理解圖形運動的本質做好鋪墊。

（3）從面至點，滲透運動本質

師：這個點怎么運動（在直角邊AO上標出點C）？

生23：繞著點O順時針旋轉90°得到C′。

師：其他點也這樣運動嗎？能找出幾組對應點來驗證一下嗎？

作品1：找到2條直角邊上的點。

生24：都是繞著點O順時針旋轉90°。

作品2：找到內部的點。

生25：也都是繞著點O順時針旋轉90°。

師：可以怎么驗證？

生26：用三角尺的直角進行驗證。

生27：還可以用量角器驗證。

作品3：斜邊上的一點。

生28：好像是繞點O順時針旋轉90°。

師：一下子分不清，我們用幾何畫板進行演示。

生29：都是繞點O順時針旋轉90°。

小結：圖形繞著點O順時針旋轉90°，就是圖形上所有的點也都繞著點O順時針旋轉90°，所以旋轉后圖形的形狀、大小不變。

設計意圖：本環節教師引導學生從關注面到關注線再到關注點，借助幾何畫板從邊上的點到內部的點延伸，感受圖形旋轉的本質是點的旋轉。

3. 鞏固提升：自由創作，用“旋轉三要素”

師：敢不敢挑戰下自己？剛才三角形AOB是繞著點O順時針旋轉90°，你們還想它繞著哪個點轉？還想往哪個方向轉？準備旋轉多少度？把這段話補充完整之后，開始畫一畫。

展示任務要求：三角形AOB繞（" "）按（" "）時針旋轉（" "）。

課件展示學生作品，如圖6所示，由學生逐一匯報。

生30：繞點O逆時針旋轉90°。

生31：繞點B順時針旋轉90°。

生32：繞點A順時針旋轉180°。

生33：繞點B順時針旋轉270°。

設計意圖：本環節教師讓學生自行選擇“旋轉三要素”，感受“旋轉三要素”對于旋轉的重要性。在學生各種作品的介紹與展示中，將匯報變成展示過程，讓學生在潛移默化中學會學習。

4. 縱橫對比：前后銜接，理解“旋轉三要素”

（1）圖形運動橫向對比

師：關于圖形的運動，以前學習了軸對稱、平移，它們有什么不同之處？

生34：都是運動，但是運動方式不同，分別是翻動、移動、轉動。

師：正是因為這些運動才讓我們的世界變得更豐富、更美麗。如圖7所示，請欣賞平面上的圖形運動。

如圖8所示，請學生欣賞立體的圖形運動。

生35：立著旋轉就形成了體。

小結：圖形在平面上運動，就會形成各種各樣的美麗圖形，在立體空間上旋轉就會形成以后要認識的體。

（2）圖形運動縱向對比

師：二年級和五年級都學習了旋轉，那以后還會學習嗎？

生（齊聲答）：會。

課件展示二年級、五年級、九年級關于旋轉的教材內容。

小結：今后，在九年級還會進一步學習旋轉。相信你能用旋轉的知識解決更多問題。

設計意圖：本環節教師讓學生去對比感受運動的不同點，明晰正是由于這些運動才會產生各種美麗的圖案；同時，將旋轉從二維拓展到三維，讓學生感受面的旋轉會形成體，逐步深化對旋轉學習的認知。

四、教學反思

1. 聚焦學情，內容適度整合

單元整體教學要基于真實學情，筆者在教學前開展前測，聚焦學生學習“旋轉三要素”后對于畫旋轉后圖形的影響。通過兩次數據的對比，發現學生在學習“旋轉三要素”后再去畫旋轉后的線段并無太大難度，因此，教師改變“先線段旋轉，后圖形旋轉”的教學路徑，直接將線段與圖形的旋轉教學進行整合。

教師先從生活情境入手，引導學生不斷觀察與反思，得到“旋轉三要素”；然后，讓學生不斷嘗試與完善，用“旋轉三要素”精確描述圖形的旋轉；最后，將畫線段旋轉變成想象線段旋轉，讓學生較好地感受“線的旋轉”。實踐發現，教師直接教學圖形旋轉，大部分學生能準確畫出圖形。因此，教師要根據學情，進行教學內容的適度整合，為旋轉教學拓寬新的思路。

2. 聚焦差異，支架靈活運用

教師要尊重學生差異，將三角尺適當優化，為學生提供透明三角形紙片作為學習支架。透明紙片的好處在于學生能直接畫出內部及線上的點，通過旋轉操作清晰地認識到點的旋轉軌跡。課堂中，教師將透明三角形紙片裝于信封中，告知學生有困難時使用。教師讓有困難的學生先旋轉三角形再畫圖，利用學習支架，提升課堂學習參與感；能力強的學生先畫圖再旋轉，利用三角形進行驗證。實物旋轉與空間想象一并進行，讓學生在旋轉三角形與畫法的對比中逐步感受圖形運動中的變與不變。教師對同一素材采用不同的使用方法，關注學生的差異性成長，讓每個學生得到充分發展。

3. 聚焦本質，提升認知層次

不管是軸對稱、平移，還是旋轉，本質上都需要學生從面的認識到點的突破。因此，教師通過設置問題“三角形只有這3個點嗎”來帶動學生思考，回顧點成線、線成面的過程，讓學生在找三角形點的過程中逐步感知圖形是由無數個點組成的。教師引導學生在合作討論中利用透明三角形紙片的旋轉，具象展示三角形中各個點的運動，讓學生在操作、交流、合作中感受旋轉的本質。課堂最后部分，教師通過展示平面上圖形的運動和立體變換，架構點到線、線到面、面到體的認知體系，深化學生理解旋轉的本質。