淺談數(shù)形結(jié)合法在微積分教學(xué)中的應(yīng)用

聞卉 鄭列

【摘要】 通過數(shù)形結(jié)合法引進(jìn)微積分中值定理，將抽象難懂證明技巧較高的三大定理以一種直觀的形象擺在學(xué)生面前，再對圖形進(jìn)行分析建立簡單的數(shù)學(xué)模型，便得到了三大定理的數(shù)學(xué)語言上的描述.學(xué)生在參與建立模型的過程中可以充分體會到數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)點(diǎn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和創(chuàng)新能力.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合法；微積分中值定理；圖形；數(shù)學(xué)模型

1.引言

數(shù)形結(jié)合法是一種重要的數(shù)學(xué)方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；另外，由于使用了數(shù)形結(jié)合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷.在微積分的教學(xué)中，微積分中值定理是教學(xué)中的難點(diǎn)，定理很重要，但抽象難懂，證明技巧較高.微積分的授課對象一般都是文科生，他們往往喜歡直觀具體的問題，害怕抽象深?yuàn)W的問題，掌握這三個(gè)抽象的微分中值定理有一定的難度.針對這個(gè)現(xiàn)象，借助數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合法引進(jìn)微積分中值定理，將抽象難懂證明技巧較高的三大定理以一種直觀的形象擺在學(xué)生面前，再對圖形進(jìn)行分析建立簡單的數(shù)學(xué)模型，便得到了三大定理的數(shù)學(xué)語言上的描述.學(xué)生在參與建立模型的過程中可以充分體會到數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)點(diǎn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和創(chuàng)新能力.與此同時(shí)，這種直觀的圖形有助于學(xué)生牢記三大定理，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，從而達(dá)到教學(xué)的要求.

2.實(shí)例

首先在黑板上描繪下面指定函數(shù)的圖形：函數(shù)曲線y=f（x）是一條以A= a，f（a） ，B= b，f（b） 為端點(diǎn)的連續(xù)曲線弧段，其中f（a）=f（b）.然后引導(dǎo)學(xué)生分析，這樣的曲線弧的具體位置與對應(yīng)法則有關(guān)系.無論對應(yīng)法則怎么變，曲線弧兩端點(diǎn)的連線（簡記為弦AB）始終平行于x軸，除了端點(diǎn)A，B外，處處有不垂直于x軸的切線.進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)一結(jié)論：在曲線弧上至少能找到一點(diǎn)C，坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），使得該點(diǎn)處曲線

的切線平行于弦AB.這就是我們建立的數(shù)學(xué)模型.利用導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性的幾何意義，我們

把這一數(shù)學(xué)模型的特征用數(shù)學(xué)語言貓述便得到了微分中值定理的第一個(gè)定理（即羅爾定理）的前提條件和結(jié)論.

定理1：（羅爾定理）若函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）

上可導(dǎo)；（3）f（a）=f（b），則至少ξ∈（a，b），使f′（ξ）=0.

該定理板書完畢，可以向?qū)W生提一個(gè)問題：“若定理1的條件（3）不成立，會得到一個(gè)什么樣的圖形以及與之對應(yīng)的定理怎樣改寫？”提醒學(xué)生條件（3）能保證弦AB平行于x軸.條件（3）不成立，則弦AB是傾斜直線段.在黑板描繪出相應(yīng)圖形，引導(dǎo)學(xué)生寫出弦AB的斜率.進(jìn)一步觀察發(fā)現(xiàn)同一結(jié)論：在曲線弧上至少能找到一點(diǎn)C，坐標(biāo)為（ξ，f（ξ）），使得該點(diǎn)處曲線的切線平行于弦AB.于是學(xué)生在老師的引導(dǎo)下立刻寫出了微分中值定理的第二個(gè)定理（即拉格朗日中值定理）的前提條件和結(jié)論.

定理2：（拉格朗日中值定理）若函數(shù)f（x）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，則至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） b-a =f′（ξ）.

該定理板書完畢，向?qū)W生強(qiáng)調(diào)一下，該定理對應(yīng)的圖形是建立在xy平面上的直角坐標(biāo)系下，并且曲線弧的函數(shù)是顯示函數(shù)y=f（x）.繼續(xù)向?qū)W生提一個(gè)問題：“若曲線弧的函數(shù)不是顯示函數(shù)y=f（x），而是由參數(shù)方程x=F（t），y=f（t），（a≤t≤b）給定，在xy平面上的直角坐標(biāo)系下會得到一個(gè)什么樣的圖形？與之對應(yīng)的定理怎樣改寫？”通過討論在黑板上描繪出相應(yīng)的圖形.學(xué)生驚喜地發(fā)現(xiàn)圖形表面上看與定理2的圖形一致，只不過曲線弧上的點(diǎn)表示方法復(fù)雜些，都與參數(shù)t聯(lián)系在一起，比如端點(diǎn)A=（F（a），f（a）），B=（F（b），f（b）），學(xué)生馬上就寫出弦AB的斜率.并且給出了同一結(jié)論：在曲線弧上至少能找到一點(diǎn)C（設(shè)對應(yīng)的參數(shù)t=ξ），坐標(biāo)為（F（ξ），f（ξ）），使得該點(diǎn)處曲線的切線平行于弦AB.利用參數(shù)方程的求導(dǎo)公式可以寫出過C點(diǎn)處曲線的切線的斜率，如是便得到微分中值定理的第三個(gè)定理（即柯西中值定理）的前提條件和結(jié)論.

定理3：（柯西中值定理）若函數(shù)f（t），F(xiàn)（t）滿足：（1）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)；（2）在開區(qū)間（a，b）上可導(dǎo)，且F′（t）在（a，b）內(nèi)不為零，則至少ξ∈（a，b），使 f（b）-f（a） F（b）-F（a） = f′（ξ） F′（ξ） .

該定理板書完畢，要求學(xué)生分析三個(gè)定理的聯(lián)系.學(xué)生很快就反應(yīng)過來，柯西中值定理和拉格朗日中值定理本是一回事，只不過是曲線弧的函數(shù)表示式一個(gè)是顯示表示，另一個(gè)是參數(shù)方程表示，弦AB一般是傾斜直線段.若將弦AB拉成水平直線段，則得到羅爾定理.這一結(jié)論可以編成口訣“柯西拉格朗日一回事，羅爾是特例，斜率要相等”.然會再跟學(xué)生講解三個(gè)定理的應(yīng)用.

3.結(jié)語

本文針對微積分教學(xué)過程中學(xué)生普遍存在的難點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合法引進(jìn)微積分中值定理，將抽象難懂的三大定理以一種直觀的形象擺在學(xué)生面前，再對圖形進(jìn)行分析建立簡單的數(shù)學(xué)模型，得到三大重要定理，并且通過圖形總結(jié)它們之間的聯(lián)系.學(xué)生在參與建立數(shù)學(xué)模型的過程中可以充分體會到數(shù)形結(jié)合法的優(yōu)點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和創(chuàng)新能力，從而達(dá)到教學(xué)的目的.

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