高中數學教學中“預習”的若干思考

彭慧

[摘 要] “預習”是課堂教學的重要先導部分. 實踐表明，成功的“預習”有助于課堂教學效益的提升. 本文以高中數學為探究的載體，從高中數學教學中的“預習”環節出發，從三個方面闡述“預習”設置的具體手段與策略，以饗讀者.

[關鍵詞] 高中數學；預習設置；思考

隨著新課程改革的不斷深化，數學課堂的教學視角從“教師如何教”轉向“學生怎么學”，教師更多地關注學生的數學學習過程，挖掘學生的學習潛能. 這就要求數學教師在理解數學的本質、數學教育的價值與內涵以及教育心理學的普遍規律的基礎上，更多地考察學生的學習過程，以系統的觀點、辯證的觀點、發展的觀點解剖學生的學習環節與行為特征，總結其中的規律，以利進一步優化數學教學過程. 本文以司空見慣的“預習”環節為例，介紹筆者的做法.

預習內容安排與目標設定做到兩個精準

預習內容安排與目標設定是預習過程設計的基本問題，預習過程的有效性、針對性與之密切相關，這要求做到兩個精準，具體如下：

1. 對學生目前狀態的數學知識結構與數學學習能力具有精準的了解

很多數學教育名家提倡教師多深入地了解學生的情況，這是站在教育哲學的高度所闡發的數學教育的真諦. 數學教師深入學生的途徑常有：問卷法、訪談法、課堂觀察法、課堂師生互動法、測驗法、作業批改評析法、學生自我總結報告法等.

例如，在“兩角和、差的正弦函數”教學時，教師可通過批改前一課時“兩角和、差的余弦函數”的課后學生作業，了解到學生對“兩角和、差的余弦函數”主要公式的基本含義、用法、變式是否已經理解并學會運用，對其較高級的運用技巧是否已經真正掌握. 數學教師也可以通過前一課時教學現場的臨場觀察、師生互動了解到學生群體中對于“兩角和、差的余弦函數”的公式的推導過程和理解的程度，是僅僅限于形式上接受了教師的講解，還是已經能體悟出其推導過程中的向量思想與三角函數思想之間的關系，尤其對于向量的內積的理解和運用的熟練程度如何，是否足以完成本課時的預習任務.

2. 對預習的內容、設定的目標在整個階段性數學教學體系中的位置具有精準的把握

學生的數學學習過程可能存在個體性差異，但是在群體發展過程中循序漸進、拾級而上是共性. 數學教學體系經過多年的改革以及教師個性化教學過程的多年磨合，形成了一定的架構. 這種架構中循序漸進、拾級而上的共性表現得尤其明顯，每一課時預習的內容、設定的目標在整個階段性數學教學體系中的位置相對固定，具有其獨特的作用；反之，預習順序的混亂對教學過程而言不僅會帶來教學實施的困難，還會增加學生額外的學習難度.

例如，上述提及的“兩角和、差的正弦函數”數學課，教師布置預習任務時，可循序漸進地布置任務：重新閱讀課本中互余、互補的角的三角函數之間的關系；回顧“兩角和、差的余弦函數”的主要推論，簡要證明這些結論；思考將“互余、互補的角的三角函數之間的關系”與“兩角和、差的余弦函數”結合起來將會得到什么結果，這一過程的推理如何展開，得到的這一結果能否像“兩角和、差的余弦函數”那樣通過向量的基本定義和運算規律完成推理，能否嘗試從幾何角度給予“兩角和、差的余弦函數”“兩角和、差的正弦函數”一個不同于課本的推理.這些預習問題的設定，次序具有不可逆性，問題的呈現具有遞進關系，是因為這些問題涉及的知識、方法的學習進程對應的次序已經在教學中相對固定下來，打亂預習的這些問題的秩序，學生在預習中的思維會變得混亂. 此外，通過預習促進學生優化知識之間聯系的目的將失去. 從這個案例中也可以看出，對預習的內容、設定的目標在整個階段性數學教學體系中的位置具有精準的把握是極為重要的.

預習難度的設置做到兩個合適

數學學習的預習難度設置，對于學生數學學習過程的速度、效益具有不可忽視的影響：預習難度過低，則無法起到調動學生深入思考數學問題的作用，也無法起到復習、回顧、對新數學知識和新數學方法質疑的目的. 預習過程過難，造成預習時學生無法依靠自己的努力基本解決預習中遇到的數學問題，結果要么是花費巨大精力仍然解決不了數學問題，預習的進度很慢，導致整個預習任務的剩余部分不能完成；要么導致部分數學學習水平中等或者中等以下的學生直接放棄預習，喪失了預習的數學教學價值. 所以，預習難度的設置應該做到兩個合適，具體如下：

1. 相對于全體學生群體的數學平均水平合適

班級學生的個體數學水平存在差異性，一般情況下很難磨平這一差異，這符合教育心理學的基本規律. 成功的數學教學能夠讓全體學生獲得相對于自己原有水平的發展提高. 數學教學過程的預習難度設置，不可能具體到針對每一個學生，做好數學差異化教學的前提是讓個體在整體中獲得數學發展的空間. 因此，數學教學過程的預習難度設置應該以貼近全體學生群體的數學平均水平最為合適，數學基礎較好的學生獲得自由向上的空間，對于數學學習困難的學生則可以著重于基礎知識、基礎方法進行預習，少數存在的疑難點留待課堂隨堂學習，預習的苦難并不構成后續學習的障礙.

例如，“復數”的定義及其基本運算規律教學后，通過批改作業、課堂提問等環節，教師了解到學生的整體學習情況之后，可以就作業的平均水平布置下一課時的預習任務的難度設置. 一般難度設置為根據復數的定義、基本規律理解幾個常見的利用這兩者能解決的基本計算題、具有幾何意義的常見基礎問題；而個別數學能力超長的學生則可以引導其閱讀《復數與幾何》（中國科技大學龔昇教授著），學習有障礙的學生可以布置其重新回到前一課時的學習中，減少具有幾何意義的復數思考題.

2. 相對于預習后接著將要完成的新授數學課堂的平均難度合適

近年來，隨著高考能力命題的趨勢日益明顯，部分數學教師又走向了另一個極端，片面追求數學教學的高速度、高難度. 在預習環節的難度設置中，也隨意提高難度. 比如，學習了“等差數列”“等比數列”之后，準備完成“等差數列、等比數列的綜合運用”這一主題的教學. 有的教師在預習的難度設置中出現了涉及變系數的差分方程的數列問題，而這類問題在高數中有一定的解題范式，但是在高中則由于形式性技巧太多，背后的數學思想則很簡單（就是代數變形加上變量的整體代換），解算煩瑣，一般不是高中數學的主干. 從數學預習學習的效果來看，這樣的設置在難度上極為不妥. 實際上，通常的班級平均難度水平主要是運用兩類數列的基本關系求解常見的一次的差分關系，教師可以布置一道與之相關的問題讓學生在預習中動動腦子，激發興趣.

預習結果的反饋做到兩個利用

預習，作為數學學習活動的先導部分，起著復現相關舊數學知識、嘗試了解或理解相對于學生而言的“新”數學知識、學會“新”的數學方法、感悟“新”的數學思想的作用. 預習的結果通過恰當反饋，可以成為教師組織學生自主學習數學，進入新授數學課堂階段學習的有益的指南. 因此，預習不僅對學生個體的數學學習意義重大，預習的反饋更是會對整個學生群體的數學學習過程產生積極的意義，這將對教師的教學行為的有效性提供必要的基礎. 在預習結果的反饋中，尤其值得注意兩個利用.

1. 充分利用預習中產生的具有群體指標意義的統計數據

現代的班級授課制，留給數學教師安排的數學教學時空資源是有限的，時段是固定的、預知的. 班級學生的人數眾多，決定了數學教師的教學過程的設計、教學行為的實施，首先必須對學生群體的數學學習具有意義. 數學教學行為的效果是先看能否使得絕大多數學生通過教師引領的數學自主學習、合作探究等行為獲得數學知識的建構、方法的掌握以及數學思想的領悟與適當運用. 而事前預習中產生的具有群體指標意義的統計數據，可以為課堂行為的規劃、調整提供可靠的依據.

例如，通過問卷調查學生對“集合”這一板塊的預習結果，發現很多學生感到困難的是在集合的基本關系的理解上，此外對于運用集合思想靈活地建立相應的解決實際問題的數學模型存在困難，說明教師不必在集合的基礎定義上進行過多的、死板的文字性的解釋. 關鍵是讓學生理解，更應該將更多的教學時空資源留給集合之間的基本關系以及利用集合這一重要概念解決實際問題上，幫助學生從實例的解決中加深對集合的理解，這也符合辯證法中的“認識過程往往是螺旋式上升的過程”這一基本規律. 有些數學教師往往指望一步到位解決數學教學中的問題，這是不可取的，也是做不到的.

2. 留心個別存在數學學習障礙的學生的預習結果

正如很多教育家強調的，重視個別存在數學學習障礙的學生，并不是強求一定要通過教師的努力讓他們與其他學生達到相同水平，因為這往往做不到，學生之間總有個性化的差異. 但是，數學教師通過預習環節事前了解了個別存在數學學習障礙的學生的預習結果，可以做到在教學中的某些環節通過技術性教學手段，讓這些孩子主動揭示自己數學學習的困難之處，積極參與班級的數學學習的互動中. 既可以活化整個班級的數學學習氣氛，更為整體平均水平的提高準備了條件，變相促進了整體教學基點的提高，為下一輪新內容的教學提供了保證. 讓每個學生獲得具有個性化的數學水平提高，這也是數學教育的本質.

當然，在數學教育中，對于預習的作用也不能過于拔高. 總體來說，必須能面對班級數學學習的現狀，解決學生數學學習客觀存在的問題，這才是預習在數學教育教學研究的視角下擁有的真正價值.