一題一課　凸顯本質

陳志婷　龐凰琴

［摘? 要］ 數學復習課普遍存在重點、難點題目堆砌，教師講得多學生練得多的問題，長此以往，容易造成師生身心疲憊，學習效率不佳等現象. 采用“一題一課”復習方法，滲透一題多變、一題多解、多解歸一的數學思想，能更好地凸顯問題的本質. 文章主要從“優選引題，揭示問題本源”“注重通法，提升思維深度”“拓展變式，發展數學素養”三方面詳細闡述“一題一課”復習方法.

［關鍵詞］ 一題一課；策略引導；數學本質

在深化教育改革的今天，數學知識、思想、方法、觀念都是在解決問題的過程中發展起來的. 教師應該及時發現學生的學習困惑，尤其是重、難點問題，復習時要有針對性、系統性和啟發性［1］. 而善于尋找典例，巧用變式與拓展，能達到對學生思維的訓練，能使他們成為思維活躍、勤于觀察、善于思考、敢說敢做、勇于創新的人.

教學時教師應在緊扣教材的同時，合理設計一題一課式變式訓練，通過訓練，讓學生更加深刻地理解所學知識，從而促進和增強學生思維的深刻性與延展性，充分培養學生思維的應變能力、想象力及創造力. 只有這樣，學生才會更自信，更愿意去交流探索，從而真正地成為學習的主人.

教學微設計

1. 引題呈現

引題 在等邊三角形ABC的兩邊AB，AC所在直線上分別有M，N兩點，P為△ABC外一點，且∠MPN=60°，∠BPC=120°，BP=CP. 探究：當M，N兩點分別在直線AB，AC上移動時，BM，NC，MN之間有怎樣的數量關系.

（1）如圖1所示，當M，N兩點分別在邊AB，AC上，且PM=PN時，試說明MN=BM+CN.

（2）如圖2所示，當M，N兩點分別在邊AB，AC上，且PM≠PN時，MN=BM+CN還成立嗎？

（3）如圖3所示，當M，N兩點分別在邊AB的延長線和CA的延長線上時，請直接寫出BM，NC，MN之間的數量關系.

2. 背景分析

本題是七年級下冊數學2020學年期末考試的一道壓軸題，學生望而卻步. 從答題反饋來看，不盡如人意，學生添加的輔助線五花八門，讓人眼花繚亂. 由于認知水平不同，理解不同，思路不同，所以學生解決此題時給出了多種解法. 對于此題，很多學生有大致的求解思路，但很模糊，找不到最佳解法，導致解題書寫邏輯混亂，費時費力. 為了有效提高學生思維的深度和廣度，滲透思想方法，培養學生領悟通性通法，筆者針對這道題進行了“一題一課”微專題設計，并進行變式和拓展，引導學生在解決此題的基礎上，學習數學知識，領悟數學思想方法，發現數學問題的本質，提高數學解題能力.

3. 解法探究

下面以第（1）問為例. 從學生的答題情況來看，第（1）問的求解方法琳瑯滿目，但歸納起來，本質是“截長補短”，具體求解過程如下.

解法1：要說明MN=BM+CN，通常采用的方法是“截長補短”. 因為PM=PN，根據等腰三角形的性質，不難想到如圖4所示的輔助線，即取MN的中點G，連接PG（當然也可以過點P作PG⊥MN，垂足為G，或作∠MPN的平分線交MN于點G），先證明△BPM≌△CPN，再證明△BPM≌△GPM，△CPN≌△GPN，得到BM=MG，CN=NG，進而得到MN=BM+CN.

解法2：有學生想到了“補短”的方法，即在NC（或MB）的延長線上截取一條與BM（或CN）等長的線段. 根據這一想法，可作出如圖5所示的輔助線，即延長NC至點Q，使CQ=BM，連接PQ. 易證得△MBP≌△QCP（SAS），從而得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 因為∠MPN=60°，∠BPC=120°，所以∠MPB+∠NPC=60°. 從而得∠NPC+∠QPC=60°，即∠NPQ=60°. 所以∠NPQ=∠NPM. 再證明△MPN≌△QPN（SAS）即可.

對于解法2，有學生想到了可以少證一次全等的優化方法，即把△MPB繞點P順時針旋轉120°后得到△QPC，這樣可以直接得到∠MPB=∠QPC，PM=PQ. 筆者大力表揚了該同學，稱贊他有獨特的見解，獲得了簡捷的求解方法. 隨著課堂的深入，學生的思維活躍了，他們交流討論著還有沒有其他的求解方法. （這表明學生正初步由“學會”向“要學”轉變）

解法3：此時有一名學生說出了采用“截短”方法的另一種作法. 即過點D（點D為PM與BC的交點）作DE∥AB交MN于點E，過點F（點F為PN與BC的交點）作FE′∥AC交MN于點E′（如圖6所示）. 該學生說利用這種方法只需要說明點E與點E′重合，即只需要證明∠MED+∠DEF+∠FEN=180°.

筆者表揚了提出解法3的學生，贊揚他邏輯性強. 不過也指出，這種解法的步驟會比較冗長.

有了第（1）問的求解經驗，第（2）（3）問的圖形雖然比較復雜，但本質相同，所以“截長補短”這一通法依然適用. 求解第（2）（3）問的輔助線詳見圖7（補短）和圖8（截長）.

試題主要考查學生對“截長補短”法的應用，通過作輔助線利用轉化思想分析問題和解決問題. 在教學過程中，筆者引導學生抓住問題的本質，對不同的解題策略及多種解法的優劣等進行積極反思，使學生理解知識點的內涵和掌握解決問題的技巧，并讓學生從反思中吸取經驗教訓，達到舉一反三、促進思維能力不斷提升的效果［2］.

4. 遷移應用

問題1 如圖9所示，M，N兩點分別在正方形 ABCD 的邊 BC，CD上，且∠MAN = 45°，連接MN. 求證：MN=BM+DN.

分析 前面在等邊三角形的基礎上利用“截長補短”法很好地解決了三邊數量關系問題，本題是在正方形的基礎上探索三邊數量關系，本質沒有變，只需要把前面的知識遷移過來即可.

解法1 如圖10所示，把△ABM沿AM翻折后得到△AEM，易知BM=ME，再通過證明△EAN≌△DAN，得DN=EN，進而有MN=BM+DN.

解法2 如圖10所示，將△ABM繞著點A逆時針旋轉90°后得到△ADE，證明△MAN≌△EAN，進而得到結論.

變式? 在“問題1”的基礎上，點A到線段MN的距離是否為定值？

分析 此變式是對“問題1”的直接應用，只要明白（圖10中）AE⊥MN，AB=AE，此變式就迎刃而解了.

問題2 如圖11所示，M，N兩點分別在正方形 ABCD 的邊 BC，CD上，且∠MAN = 45°，連接MN，BD，BD分別與AM，AN 交于點E和點F，則EF 2=BE 2+DF 2成立嗎？

分析 看到結論，聯想到勾股定理，于是我們把三條邊通過變換放到一個直角三角形中. 如圖12所示，把△AEB逆時針旋轉90°后得到△AED，連接E1F，易知△AEF≌△AEF，從而可在Rt△DEF中得到結論EF 2=BE 2+DF 2成立.

變式 在“問題2”的基礎上，連接AC交BD于點O，如圖13所示，求證：∠AMB =∠AMN =∠AFB.

分析 由解決“問題1”可得∠AMB=∠AMN，又∠AMB+∠BAM=90°，∠AFB+∠FAO=90°，∠BAC=∠MAN=45°，所以∠BAM =∠FAO，∠AMB=∠AFB. 問題得證.

5. 拓展挑戰

拓展 如圖14所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D為AB邊的中點. 將等腰直角三角板的直角頂點放置于點D處，兩條直角邊分別與△ABC的AC，BC邊相交于點E和點F（點E不與C，A兩點重合，點F不與C，B兩點重合），求CE+CF的值.

分析 求CE+CF的值，跟引題求證MN=BM+CN和遷移運用求證MN=BM+DN類似，但又不同，前者求值，后者求證一個等式. 我們猜想，能否把CE，CF轉化到同一條線段上呢？觀察圖形，可直觀猜想將它們轉化到線段BC上，又BC=BF+CF，于是只要說明CE=BF即可.

要證CE=BF，考慮到證明線段相等的方法，如全等、等角對等邊，結合已知條件等腰直角三角形和斜邊上的中點，不難作出如圖15所示的輔助線，即連接CD，此時通過證明△DEC≌△DFB就可以了. 其實也可以看作將△DBF繞點D逆時針旋轉90°后得到△DCE，從而得到結論.

變式 如圖16所示，△ABC為等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC=2，D為AB邊的中點. 將等腰直角三角板（△DMN）的一個45°角的頂點放置于點D處，其斜邊及一條直角邊分別與△ABC的邊AC，BC相交于點E和點F（點E不與C，A兩點重合，點F不與C，B兩點重合），連接EF，以點D為旋轉中心旋轉等腰直角三角板DMN，則△CEF的周長是否發生變化？并說明理由.

分析 求△CEF的周長，即求CE+EF+CF的值. 有了前面的解題經驗，我們不難發現第一條輔助線，即連接CD（如圖17所示）. 再者，求幾條線段的和，可以把這幾條線段轉化到同一條線段上，于是把△CDE繞點D順時針旋轉90°后得到△BDG，從而把CE轉換成BG，這里其實只用過點D作DG⊥DE，交BC于點G，即得第二條輔助線，所以我們只需要證明△DEC≌△DGB（同上），△DEF≌△DGF即可. 所以CE+EF+CF=BG+FG+CF=2. 所以△CEF的周長不會發生變化.

教學思考

1. 優選引題，揭示問題本源

對于壓軸題，學生望而卻步，不假思索，“逃之夭夭”了. “截長補短”看似簡單，但是遇到具體問題，不乏學生不識廬山真面目，甚至八、九年級的部分學生都不能很好地把握. 因此，教師要優選“引題”，有梯度地讓絕大部分學生或多或少都能參與，并在解決“引題”的過程中，讓學生自主觀察、合作探索，提出各自添加輔助線的設想，并進一步探討解決問題的方式方法，真正揭示問題本源，發現問題解決規律［3］.

2. 注重通法，提升思維深度

本節課的教學聚焦三角形、四邊形中幾條線段間數量關系的研究，探索這類問題的本質規律和通性通法. 筆者從學生忌憚的問題（引題）出發，精講細講相對容易的第（1）問，讓絕大部分學生“入戲”，從而發散學生的思維，讓他們大膽猜想、發現解決問題的方法，讓他們經歷“探索方法—優化方法—反思方法”的過程，且他們反思后對方法的優劣進行選取，形成解決這類問題的通法，為后續解決第（2）問、第（3）問積累經驗. 同時，也為后面的“遷移應用”和“拓展挑戰”指引方向. 注重通法訓練，構建知識體系，積累解題經驗，提升思維深度，能讓學習較困難的學生有所收獲，能讓大部分學生長本事，讓優秀學生多賦能.

3. 拓展變式，發展數學素養

探究“引題”的價值不僅僅是讓學生學習知識方法，更重要的是讓學生學會靈活變通，觸類旁通，有以不變應萬變的能力. “拓展挑戰”中的變式是求三角形的周長，其實還是探索三條線段的數量關系，雖然不是直接應用“截長補短”法，而是把幾條線段轉化到同一條線段上，但本質還是通過證明三角形全等實現轉換. 學生根據“觀察—探索—梳理”的解題經驗，能從變化的圖形中得到不變的結論. 所以，“拓展挑戰”中的變式是讓學生將所獲得的知識、方法、經驗進行融會貫通、舉一反三，這能發展學生的數學素養.

參考文獻：

［1］顧捷. 初中數學復習課教學的有效策略［J］. 開封教育學院學報，2014，34（12）：239-240.

［2］吳鳳. 初中數學復習課“一題一課”教學思路探微［J］. 基教與成才研究，2017（29）：62.

［3］陸新鋒. 聚焦主題精選學材，由淺及深漸次展開——以“線段之間數量關系”專題復習課為例［J］. 中學數學，2019（06）：34-35.

作者簡介：陳志婷（1988—），碩士研究生，一級教師，從事初中數學教學工作.