促進數學理解性學習的教學策略研究

在新課標中，運算能力是核心素養在小學階段唯一作為“能力”要求的行為表現，其中包括理解運算對象、運算律與算法之間的關系，感悟運算的一致性。運算律教學的核心意義是對運算律本身的理解。通過計數活動，幫助學生在直覺經驗的基礎上理解自然數的運算律，在此基礎上將自然數的運算律推廣到分數、小數及簡單字母符號的運算，到了初中階段，能夠運用運算律開展代數式的運算。

數學理解性學習的形成，注重整體性認知。教師要基于學生已有認知基礎，激活學生原有經驗；提煉和升華，形成形式化理解；豐富素材，深度關聯，促進知識結構化理解；運用和內化，將知識遷移到陌生情境中，生成遷移性理解；認同和反思，達成文化性理解。

一、數學理解性學習的內涵意蘊

（一）數學理解性學習的內涵

“理解”作為描述結果目標的行為動詞，在新課標中解讀為描述對象的由來、內涵和特征，闡述此對象與相關對象之間的區別和聯系。在《追求理解的教學設計》一書中，格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰格提出了數學理解的六維度理論。他們認為，真正的理解可概括為以下六個方面：科學性解釋、個體性詮釋、具有洞察力、情境性應用、自我反思、移情性體驗。

數學理解的目標指向有兩種內涵，一是理解數學的內容、方法和策略，能夠形成知識網絡，并能解決問題；二是從數學的視角去理解現實世界，即用數學的眼光觀察現實世界、用數學的思維思考現實世界、用數學的語言表達現實世界，形成良好的數學素養。由此可見，數學理解性學習是一個具有目標指向，基于原有知識經驗，以生成性和發展性為特征，不斷建構的過程。

（二）數學理解性學習的過程模型

學生數學理解的發展會依次經歷五個階段，理解層級過程模型如圖1。我們可以看到，該模型反映學生在數學學習過程中理解水平的不斷變化。經驗性理解是學習者基于原有經驗而對數學對象產生的起始性理解；通過大量的經驗性理解，學習者不斷地反思和調控，形式化理解就出現了；在形式化理解后，把一種知識和其他知識進行比較、分類等，強調一種知識的內涵與本質，就是結構化理解；在結構化理解的基礎上，能夠靈活運用知識解決問題，并將所學知識遷移到陌生的情境中，就是遷移化理解；文化性理解是一種整體性理解，是對背后隱藏的數學文化的理解，也是良好數學素養的顯性表現。

二、促進數學理解性學習的教學路徑

本文以“交換律”的教學為例，闡述如何基于數學理解性學習的五個發展階段展開具體的教學實踐。

（一）情境創設，激活經驗性理解

1．回顧舊知，提出猜想

問題1：同學們，從一年級到現在，我們學過很多數學知識。老師在回顧以往的加法運算知識時，有了一個很重要的發現。仔細觀察，你們發現了嗎？

問題2：通過這樣的幾個例子，就能得出“任意兩個數相加，交換加數的位置，和不變”的結論嗎？

談話：是啊，僅憑這樣的幾個例子似乎有點不嚴謹。所以，我們不妨將它看成是一個猜想，既然是猜想，我們就得用數學知識來解釋它的合理性，也就是驗證。

2.驗證猜想，初識交換律

問題3：用自已喜歡的方法如算一算、畫一畫等，驗證這個猜想是否正確。

談話：看來，我們在舉例驗證時，數量不僅要多，種類還得全面，這樣，我們的驗證才更有說服力。

通過創設的回顧舊知的情境，學生自然鏈接已有經驗，感受到在以前的學習中，分與合、加法的豎式計算和驗算等都有著交換律的影子，從而提出了猜想。既然是猜想，那就得驗證，學生大多采用舉例子的方法認識到這樣的加法等式寫不完，發現了“交換兩個加數的位置，和不變”。

（二）歸納提取，生成形式化理解

談話：在你們舉的例子中有沒有反例呢？萬一我們舉出了很多很多個例子，都是符合的，但是就有那么一個反例藏在某個角落里沒有被我們找到呢！為了使驗證更加嚴謹且具說服力，我們還可以用生活中的例子來說明這個問題。

問題4：老師家的廚房放了兩袋大米，你覺得 ① 號袋子大米有多重？ ② 號袋子呢？（圖2）

圖2

問題5： ① 號袋子大，可能是5.8千克嗎？可能是8千克嗎？

談話：這些都是具體的數，你能用一個數來表示大家剛剛說的所有情況嗎？

問題6：現在我要把兩袋大米起合成一袋，可以怎么辦？

生：可以把 ① 號袋子的大米倒入 ② 號袋子的大米中，也可以把 ② 號袋子的大米倒入 ① 號袋子中。

小結：我們也可以用集合圈的形式表示，a+b=b+a

問題7：這里的 Δ_a 和 b 可以表示小數、整數、分數嗎？

小結：這里的 Δ_a 和 b 可以表示小數、整數、分數，在數學中，我們把它叫作加法交換律。

教師從具體的事例出發，引導學生利用對“交換律”的經驗性理解歸納提取出“加法交換律”的規律，形成對“加法交換律”這一運算律的形式化理解，提升學生抽象、推理、數學表達等水平。

（三）關聯再構，形成結構化理解

談話：其實，在過往的學習中，我們多次和加法交換律有過相識，只不過我們沒有明確把它說成是加法交換律。

問題8：這是一年級時學習的一圖兩式（圖3左），這是三年級時我們遇到的實際問題（圖3右），觀察一下，能看到加法交換律的影子嗎？說說你的想法。

圖3

通過對舊知的再次引入，學生再次理解加法交換律的意義，形成形式化理解，再去全面整合一年級到四年級的知識，關聯再構，對加法交換律的意義形成結構化理解。

（四）深化運用，達成遷移性理解

問題9：同學們，通過剛才的學習，我們已經知道了，兩個數相加，交換加數的位置，和不變。你還有什么大膽的猜想嗎？老師也給大家提供一個猜想的思路，除了加法有交換律，其他運算呢？有交換律嗎？

學生小組合作，根據自己的需求進行驗證，同時，還可以思考減法是否有交換律、乘法是否有交換律、除法是否有交換律。

通過遷移練習，學生在新的情境中，運用剛學過的策略和方法，加深對“加法交換律”的認知，同時，教師啟發學生驗證減法、乘法、除法是否有交換律，從而讓學生意識到要證明猜想是正確的需要有一定數量的不同例子進行驗證；要證明猜想是錯的，只要一個例子就可以了，從而促進學生遷移性理解的達成。

（五）總結反思，促進文化性理解

總結提綱：（1）通過本節課的學習，哪個環節給你留下了深刻的印象？（2）不斷驗證猜想的過程，給了你怎樣的啟示？（3）觀察板書，你還能想到什么？

文化性理解貫穿這節課的始終。在最后總結反思的過程中，教師啟發學生從整體的角度系統地梳理所學知識，引發學生對新舊知識的自由關聯，并激發學生進行新的猜想和探尋，形成對“交換律”甚至是“運算律”的整體性、綜合性和文化性的理解。

三、促進數學理解性學習的關鍵要素

教學是一個復雜的系統過程，其中包含了教師的教和學生的學，其中教師的教只是作為引導，而學生的學才是主線。如何建設數學理解性學習的課堂，讓學生全面且有層級地經歷數學理解性學習的五個過程？筆者認為，要整體關注課堂的四個要素。

（一）明確學習內容，注重關聯知識整體

新課標指出，要體會數學知識之間、數學與其他學科之間、數學與生活之間的聯系。數學知識在教材中的呈現是結構化和整合化的，所以一節課內容的設計，不僅要有這一節課的設計邏輯底線，還得要有知識縱向的長程設計，以及橫向知識的比較對照。比如，在“交換律”這節課的內容確定上，教師并沒有按照教材的編排先執教加法交換律和結合律，而是先處理了“交換律”的內容，讓學生縱向學習整數運算律（交換律、結合律、分配律），再學習分數和小數運算律；

在交換律學完后，將其橫向和結合律、分配律進行比較。如此，學生在橫向和縱向上關聯知識整體。

（二）凸顯學習目標，整體把握學習方向

新課標指出：“教師要準確把握教、學、評在育人過程中的不同功能，樹立‘教一學一評’的整體育人觀念。”因此，教師在教學設計時要以學習目標為引導，讓學習評價與學習活動相匹配，同時，通過明確的學習目標，將數學理解性學習的五個階段做好有層級地導向，讓學生在每個層級都能有收獲，打造數學理解性學習的課堂。

（三）聚焦學習活動，推進理解的層級發展

學習活動的設計是達成學習目標的重要形式。對于數學理解性學習的課堂而言，五個階段的五個策略必不可少。

一是關注學生的學習起點，創設適合的情境，促進學生經驗性理解。學生的學習是建立在已有認知和經驗基礎上的建構和提升的過程。學生對數學知識的理解，是在不斷更新自身知識和經驗基礎上豐富和提高的。教師可以通過適合的情境，如生活情境、問題情境和舊知情境等，激活學生的起始經驗，讓學生通過內化、反思、運用等活動，不斷將新知進行自我建構，從而促進學生對知識的經驗性理解。

二是關注學生的經驗整合，引發學生整理的需求，促進學生形式化理解。學生能將已有經驗進行組織、提煉和重新表征，并將概念的非本質屬性摒棄，初步總結出概念的本質屬性，形成形式化理解。

三是關注學生的知識關聯，引導學生知識的建構，促進學生結構化理解。經過形式化的理解，在豐富素材的基礎上，學生會進行概念辨析，將新舊概念進行關聯和整合，經過精細的信息加工，形成關聯性的結構化理解。這個環節對于學生知識的學習和方法的掌握都有著至關重要的作用。

四是關注學生的知識遷移，創設新的情境，促進學生遷移性理解。在對知識有著本質屬性的理解基礎上，學生已經建立了結果化理解。教師為學生提供陌生的問題情境和開放的空間，借助變式的理念，能夠讓學生更好地掌握知識本質和規律，促進學生對知識的遷移性理解。

五是關注學生對數學整體性的理解，促進學生文化性理解。在這個環節中，教師可以為學生提供整體的板書設計，引導學生從整體上回顧一節課，除了關注知識，還關注方法和學習情感，引導學生對整節課進行綜合性認識，促進學生的文化性理解。

（四）重視學習方式，為創設數學理解性學習帶來更多的可能

新課標指出，學生的學習是一個主動的過程，認真聽講、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等是學習數學的重要方式。課堂中的教學關系是多元的，有生生關系、師生關系的存在，多樣的學習方式可以促進學生對知識進行數學理解性學習。比如，在“交換律”這節課中，除了有獨立學習，還有合作學習，以及教師引導思考學習等。不同的學習方式，為學生數學理解性學習帶來更多的可能性。

建設數學理解性學習的課堂，需要教師理解數學、理解教學和理解學生。教師要不斷地實踐與探索，為學生找尋數學理解性學習的最佳路徑。

【參考文獻】

[1]鄭毓信.小學數學概念與思維教學[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2014.

[2]格蘭特·威金斯，杰伊·麥克泰格.追求理解的教學設計[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

注：本文系2023年江蘇省中小學教學研究課題“逆向教學設計理念下小初數學銜接課例的開發與實踐”（立項編號：2023JY15-L56）的階段性研究成果。