逐步感悟數學本質

宋潔

[摘 要]學生的知識起點在哪里？教師真的知道學生的內在需要嗎？教師如何為學生的學習和探究提供必要的支持？如何激發學生興趣，引發課堂學習過程中指向核心知識、數學本質的辨析？通過“用方向和距離描述物體位置”的教學實況呈現和課后的反思，探討數學課堂教學過程中值得討論和深究的問題，進而改變課堂結構，提煉教學效益的提升策略，讓教師與學生一同行走在從“起點”到“終點”的學習之路上。

[關鍵詞]理解學生 提供支持 能力提升 數學本質

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2016）23-007

一、創設真實情境，找尋探究起點

（課件呈現大海上A號航船發出SOS信號，燈塔處的觀測人員發現求救船只。）

師：燈塔上的觀測人員怎樣向救援隊伍發出信號，以便準確對遇險船只進行搜救呢？

生1：遇險船只在北面。

生2：遇險船只在燈塔的北面。

生3：我覺得“遇險船只在燈塔的東北方向”更加準確。

師：同學們能結合自己已有的知識思考問題，讓回答更加準確，非常棒！讓我們再想一想，這樣描述就能準確找到船的位置嗎？

生4：還要知道距離、角度……

二、提供思考空間，自主分析實踐

（教師給每個小組提供一張練習紙。學生嘗試，教師巡視、引導，收集學生素材。）

師：請看清要求后用自己學過的知識嘗試解決這個問題，并在小組中分享你的想法。交流過程中，請注意傾聽其他同學的發言，可以進行補充、糾正，如果對別的同學的方法有質疑，覺得自己的有道理，也可以堅持自己的想法。（學生先思考，再進行組內的交流分享。教師走入每個小組，了解學生的想法，鼓勵學生清晰表達自己的想法。）

三、分享思考過程，激蕩思維火花

師：哪個小組先來介紹自己的想法？

生1：我們小組是這樣想的。A號船在燈塔的東北方向15千米處。

師：15千米是怎樣知道的？

生2（呈現小組練習紙）：根據小提示，圖上的每1厘米表示的是實際距離的3千米，我們經過測量發現，圖上兩點之間的距離是5厘米，所以實際距離就是15千米。

師：其他同學還有不同的想法嗎？或是對這個小組的說法有什么意見和建議嗎？

生3（呈現自己小組的練習紙）：我們小組覺得這樣說還不夠準確。“東北”只是給出了一個范圍，在東和北之間，并不清楚，所以我們覺得引入角度后講得更清楚，是東再向北過去60°，距離燈塔15千米處。

師：其他小組能接受他們小組的意見嗎？（學生點頭）

師：你說的東再向北過去60°，能上臺給大家展示嗎？（生3上臺演示）

師：大家覺得這個建議可以接受了嗎？還需要調整嗎？

生4：這個說法確實是更加準確了。按照這個說法，我們小組覺得還可以這樣說。（呈現小組練習紙）A號船在燈塔的北向東再過去30°方向，距離燈塔15千米處。

師（請學生比劃30°）：大家覺得這樣可以嗎？還有不同的想法嗎？

生5：從燈塔出發，先向北走大約12千米，再向東走大約9千米，就能到達A號船。

師：這樣走可以嗎？

生6：這樣表達不夠簡潔，而且走的路程也比較遠。如果這樣走，其實相當于走的是一個直角三角形的兩條直角邊，那不如直接走這個直角三角形的斜邊更快。（邊說邊在自己的圖紙上畫出直角三角形進行說明）

師（將幾個小組的練習紙同時在實物投影下進行展示）：這是你們的主要觀點，這幾個小組的描述方法都有什么相同的地方嗎？

生6：都用自己的辦法說出了A號船在海面上的位置。

生7：都用到了我們已經學過的知識來進行說明，說明的時候都包含了方向和距離這兩個信息。

生8：都是以燈塔為起點，A號船為終點。

師：說得真好，同學們都能結合已有的知識解決問題，并且努力嘗試更加簡潔、準確地描述A號船的位置。在數學中，對于這個問題我們有統一的說法。

（教師給出小提示，介紹規范的表達方式，明確以北和南為起始方向的原因。板書：北偏東30°方向3千米處）

師（出示“試一試”）：請結合自己的探究，按標準描述B、C號船的位置。（學生獨立思考，自己完成，并在小組中交流）

生9：因為圖上的1厘米相當于實際的3千米，我覺得B號船在燈塔的北偏西55°方向9千米處。

師：有不同意見嗎？（全班學生都表示同意）

師：誰來說一說C號船的位置。

生10：C號船在燈塔的南偏東65°方向6千米處。

生11：C號船在燈塔的南偏東25°方向6千米處。

師：同一條船，為什么會有兩種不同的說法呢？到底誰才是正確的？

生12：因為我們知道描述的時候如果以正南方向為基準，就應該說成南偏東，這個角度也應該是正南方與船只燈塔連線夾角的度數。

生13：如果以正東方向為基準，就應該說成東偏南，這時候才能說是東偏南65°方向，但目前我們已經確定要以正南方向為基準了，所以C號船的位置應該是南偏東25°方向6千米處。

四、肯定中再質疑，感受知識本質

師：一定需要方向和距離這兩個信息嗎？如果去掉一個信息，就不能準確表示物體的位置了 嗎？（有的學生表示肯定，有的表示不確定）

師（課件動態呈現（如右圖））：只知道距離，能確定船的準確位置嗎？

生1：這樣不能確定A號船的位置，因為在燈塔的四面八方都是可以表述為距離燈塔15千米。

師：這時候船在哪里？（用手比劃）

生2：這時候船所在位置是以燈塔為圓心，半徑為15千米的圓上。

師：如果只知道方向，能確定船的準確位置嗎？

生3：不可以。這時候，A號船在一條射線上，每一個點都可以，也不能準確確定位置。

生4：只有知道了方向和距離兩個信息，才能找到一個具體的點表示A號船的位置。

師：只知道北偏東，知道的是一個面。再加上角度呢？

生5：可以確定一條線，有了具體的距離，才能確定一個點，才能確定準確的位置。

師：今天我們研究的就是用方向和距離描述物體準確位置的方法。

五、回顧知識結構，體會數學聯系

師（課件呈現用數對確定物體的位置和剛研究探討的新的確定位置的方法）：還記得這種確定位置的方法嗎？這和同學們今天自己研究出來的“用方向和距離描述物體的位置”有什么相同和不同之處嗎？

生1：兩種方法都需要有一個觀測點作為觀察或是描述的起點，也都需要從起點到達終點。

生2：兩種方法都需要用到兩個重要條件才能準確地確定物體的位置。比如數對是兩條線的交點，是物體的具體位置，今天學習的是由方向和距離確定具體位置。

生3：我還發現，如果只知道其中一個信息，兩種方法都不能確定物體的具體位置。

生4：以前學習的用數對表示物體位置，適合在提供了方格的基礎上進行，用在實際的地圖上似乎不太方便。

生5：地球上的經緯度和用數對表示就很相似，也有角度。

師：同學們的發現很細致，也很精彩，今天我們學習的就是用兩個重要的信息來確定、描述平面上物體的位置。生活中也有很多這樣的例子，期待你們的精彩發現。

【評析】

一、理解學生需要

六年級下冊“用方向和距離描述物體位置”的教學內容，有的教師認為，用傳統的講授法15分鐘就可以把知識點傳授完畢，加上學生的鞏固練習，一節課上得扎扎實實，還可以進行充分拓展。但我們越來越深刻地感受到，學生只有產生內在的解決問題需求，才會積極嘗試調用自己的已有經驗去思考、表達并解決問題。

如果直接呈現教材圖進行指導教學，或是簡單粗暴地提取生硬的生活元素進行教學，學生的學習興趣一定無法調動。在一些“用方向和距離描述物體位置”的課例中，教師常采用闖關、挑戰等情境，牽引學生完成學習全程，教師和課件成了主角。而這節課中，教師從科學和生活實際出發，呈現了真實情景，讓學生展開學習和研究。常態下，我們確定海上物體位置時，選用最多最準確的其實是GPS，也就是經緯度定位（高精度還可以提供高度，即三維坐標）。所以這個情境的創設基于燈塔上的觀測者是科學合理的，也能在生活實際中找到原型，既經得起學生推敲，也調動了學生的興趣。問題的提出，學生的回答、補充，以及教師的再次追問，讓學生經歷思考和自我質疑的過程，并在遇到困難的基礎上進一步深入思考解決問題的好辦法，調用舊知解決新問題的內需自然產生。

二、給予時空支持

“用方向和距離描述物體位置”一課的新授環節，有的教師要求學生看書自學，了解教材中的標準答案，在課堂反饋糾正后，再次進行鞏固練習。通過這樣的學習，學生往往也能準確解題，完成教材中的學習任務。但這真的是數學學習嗎？是學生和我們期待的學習方式嗎？

“經歷知識形成的全過程比直接知道結果有意義得多。”這才是數學學習的真諦。學生只有自主思考，充分經歷探究過程，才能在不斷實踐、嘗試的過程中有效實現知識的建構。

教學中，“簡潔、準確”讓學生有效調用已有的知識經驗對A號船的位置進行描述。學生不僅需要確定方向，還要想辦法根據小提示中的信息找出燈塔與A號船之間的距離；不僅需要描述，還要嘗試將自己的想法與組內的伙伴分享，爭取達成共識。無論想到的、寫下的、找到的是什么，都實實在在經歷了思考過程；無論是否說服了組員，都需要在頭腦中將自己的描述合理化。這個過程耽誤時間嗎？不！這個過程恰恰需要學生充分經歷。讓學生擁有了知識形成的全過程，特別是巧妙設計的探究環節為學生提供了一個可充分發揮的空間，才是真正為學生的學習提供了支持。

三、思辨能力提升

我們常聽到這樣的聲音：“教學前教師就知道學生的眾多想法，其中也一定有所謂的‘標準答案。那么就簡單一些，直接請這樣的學生上臺介紹，說不清楚就教師告知，這不就既尊重了學生，也可盡快完成新授教學，開始練習鞏固了嘛。”但如果這樣進行教學，能夠引導學生探究的意愿，能夠讓不同能力的學生充分表達自己的想法嗎？答案顯然是否定的。因為這樣的教學方式也就讓學生的自主探究失去了意義，無法讓學生主動地思辨。

“在傾聽中思考，在表達中思辨”正是培養學生科學學習的重要方式，也是培養學生數學學習精神的重要過程。教學中學生分享、評價、辨析等環節的設置，讓思想沖突、以學生為主的學習真正展開。

給學生機會表達自己的想法，在表達的過程中也包含有語言的優化。既讓每個學生有安靜傾聽的機會，參與表達者的思考過程，也能在過程中進行辨別與分析，進而對自己的想法、觀點有所揚棄。同時教師不急于否定學生的觀點，不急于拋出最標準的答案，而是引導學生在分享、補充、建議的過程中進行充分的對比、思考，找到每種觀點和想法的相同與不同。教師引領學生經歷知識建構的全過程，不僅僅讓學生成為回答問題的人，也讓學生擁有提問、追問、辯論的權力與空間，更擁有提出結論的權力。

四、走近數學本質

數學學習不僅是讓學生獲得結論、知道答案，也需要學生在學習的過程中學會辯證地看待問題，學會對一些觀點提出自己的思考、質疑，并用科學的、有序的方式進行驗證。在此基礎上進一步深化理解，感受知識的本質。“用方向和距離就可以準確地描述物體的位置？真的是這樣嗎？再簡單些可以嗎？”這個時候，教師站出來，為學生的思考、提升提供支持，讓學生學會換個角度看待問題。這既是一個拓展思維寬度的過程，再次對用方向和距離描述物體位置方法和對平面上二要素確定物體位置方法的深化，同時也推動學生將新舊知識建立聯系，進行整合，不斷走近數學的本質。

支持學生的學習，需要為學生提供機會，讓他們能夠有探究思考的空間，并不斷學會如何質疑與反思，并在這個過程中經歷知識的形成和優化，這既是對數學概念的理解，也是對思想方法形成的把握，這才是我們對數學學科本質的追求。

著名的教育家盧梭在《愛彌兒》中寫道：我們在路上不是像驛夫那樣追趕路程，而是像旅行家似的沿途觀賞。我們心中不只是想到一個起點和終點，而且還想到起點和終點之間相隔的距離。對我們來說，旅行的本身就是一種樂趣。我們的數學課堂也應該是如此的。

（責編 金 鈴）