把握數學本質 發展空間觀念

王春霞

[摘 要]培養學生的空間觀念是小學數學教學的重要目標。在“立體圖形的體積”教學中，教師要挖掘教材內涵，把握數學本質，從源頭上下功夫，滲透“數形結合”“轉化”等數學思想，讓學生在多種感官協同下積累豐富的數學活動經驗，從而促進學生空間觀念的發展和數學素養的提升。

[關鍵詞]數學本質；空間觀念；立體圖形；體積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）14-0017-02

“空間觀念”是課程標準明確指出的十大核心詞之一。“立體圖形的體積”屬于“圖形與幾何”的范疇，其核心價值在于發展學生的空間觀念。那么，教師在教學實踐中應如何正確把握數學的本質，發展學生的空間觀念呢？下面筆者以“立體圖形的體積”教學為例，談談自己的一些思考與實踐。

一、由易錯題引發的思考

【例題】一根圓柱形鋼筋，底面直徑為2厘米，長1米，把它截成5段，表面積增加了多少？

對于這一道練習題，一部分學生由于缺乏相應的空間觀念，誤認為截成5段就需切5刀，從而錯誤地列式為3.14×（2÷2）2×5。究其原因有：（1）通過計算立體圖形的體積，體積計算公式已深深地根植于學生的頭腦中，但是，以體積為主的頻繁計算練習，使得學生對體積公式的理解及推導的意義逐漸淡化。（2）教師的教學策略與方法相對單調。教師雖然提供了觀察和操作的材料，但是學生觀察不充分，實驗不到位；教師對學生的操作過程安排和干預太多，導致學生經歷知識的內化過程相對貧乏，缺少有效的“體驗”。（3）沒有把立體圖形體積的特征與計算建立起內在的聯系，導致學生對算理的認識模糊不清以及對算法一知半解。反思案例中出現的問題，最根本的原因是學生對基本的直接問題與發展后的間接問題不能進行有效的轉換，空間想象力比較弱。

二、對教學內容的再認識

立體圖形的體積包括長方體和正方體的體積、圓柱和圓錐的體積。新課程為了把學生空間觀念的培養落到實處，增加了平移、旋轉、對稱、物體的相對位置等與現實生活密切聯系的內容，但仍然保留了傳統教材中“積的計算”的教學內容，與以往不同的是，明顯削弱了單純的求積計算，減少計算的量，控制計算的數，把重心放在學生空間觀念的培養上。

在小學階段，空間觀念以空間表象為主要表征形態，涉及初步的空間想象。培養學生的空間觀念，在小學的不同學段有不同的目標和側重點。教學“立體圖形的體積”之前，學生已經獲得了空間與圖形的基礎知識，初步形成了空間觀念，因此教學“立體圖形的體積”時，教師既不能原地踏步，也不能揠苗助長，要根據學生的年齡和思維特征，挖掘數學內涵，把握數學本質，從而進一步發展學生的空間觀念。

學生的研究由平面圖形的面積擴展到立體圖形的體積，是空間觀念發展中的一次飛躍。“立體圖形的體積”的教學，無論是體積公式的推導，還是拓展練習中的問題解決，均要重視“數形結合”“轉化”等數學思想的滲透，從學生的經驗入手，借助觀察和動手操作，采取對比、推理、想象、交流等手段，適時進行抽象概括，使學生的空間觀念在多種感官協同下得到更深層次的發展。

三、教學的實踐與對策

1.數形結合，在探究中形成空間表象

“數形結合”是把抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，通過數與形的相互轉換來解決數學問題的一種重要數學思想。由于小學生以具體形象思維為主，因此在立體圖形的體積公式推導中，需要從形的方面入手，通過動手操作、觀察聯想、比較分析等途徑，將圖形的特征與計算相結合，理清知識的來龍去脈，豐富學生的空間表象。

例如，教學“長方體的體積”時，學生雖然有了推導長方形面積公式的經驗，但要學生從經驗順利地過渡到長方體的體積公式推導，理解公式的本質含義，仍是一次“跨越”。因此在探究長方體的體積公式時，可以讓學生經歷以下活動過程。

（1）數一數。課件出示由1立方厘米正方體拼成的長方體（長4厘米，寬3厘米，高2厘米），讓學生數一數長方體體積單位的個數。由學生介紹數法，教師借助課件直觀演示，幫助學生理解各種數法，并從中得出既準確又快捷的數法：先數每行個數，再乘以行數，得到每層個數，再乘層數，即長方體含體積單位的個數。

（2）擺一擺。給每個4人小組預先準備40個邊長為1厘米的小正方體，要求各小組擺出3種不同的長方體，并把所得數據記錄到學習卡上。

學生通過擺一擺、數一數、算一算，完成上述表格數據填寫后，交流不同的擺法和想法。

（3）想一想。根據表格中收集到的數據，先讓學生想象長方體的具體形狀，及思考每行擺幾個、擺幾行及每層擺幾個、擺幾層，再向學生呈現長方體的立體圖形，讓學生想象用小正方體擺成的長方體的實物圖，從而在數與形之間建立起應有的聯系。

（4）說一說。讓學生回想操作過程，觀察表中的數據，說說有什么發現。學生在交流中體會長、寬、高和體積的關系，明白長方體的體積就是若干個體積單位的疊加，“計算”只是疊加方法的優化。

上述過程，學生利用數形結合思想，通過“動手操作—形成表象—想象描述—抽象概括”，對立體圖形的體積計算公式的本質意義有了深刻的理解。

2.等積變換，在辨析中提升空間思維

“圓柱和圓錐的體積”這部分內容抽象性和邏輯性較強，而小學生的認知水平又存在局限性，因此教學難度大，教師處理不好，就有可能制約學生空間觀念的發展。滲透轉化思想可有效突破此教學難點。下面筆者以“圓柱的體積”教學為例，談談在不同的學習階段如何滲透轉化思想。

（1）推導中理解。在新授課中，教師可設計三個問題作為探究活動的主線，如你會怎樣去研究圓柱的體積計算公式？圓柱能不能轉化成已學過的立體圖形？如何轉化？比較圓柱與拼成的長方體，你有什么發現？如何“轉化”是教學難點，教師可借助多媒體的演示，讓學生清晰感知“轉化”過程：將圓柱底面分成許多相等的扇形，再把圓柱切開后重新拼起來，得到一個近似的長方體，分成的扇形越多，拼成的立體圖形越接近長方體。如何辨析“圓柱與長方體的關系”是教學的關鍵點。學生通過對比，發現圓柱的底面積和高分別等于長方體的底面積和高，從而順利得出了圓柱的體積計算公式。

（2）練習中強化。要使學生理解圓柱體變換成長方體的轉化過程，光靠新授課是遠遠不夠的，還需要在練習課中引導學生溫故知新，不斷強化。

【習題】把底面半徑為5厘米的圓柱切成若干等份，拼成一個近似的長方體后，表面積比原來增加了60平方厘米。圓柱的高是多少厘米？體積是多少立方厘米？

教學時，先讓學生回憶圓柱體積公式的推導過程，再讓學生辨析，得出增加的60平方厘米就是拼成的長方體（豎放）左右兩個相等長方形的面積和，該長方形的寬相當于圓柱的底面半徑5厘米，因此圓柱的高是60÷2÷5=6（厘米），圓柱的體積就是3.14×52×6=471（立方厘米）。

（3）復習中提升。在復習課中可再現知識點，重點引導學生回憶圓柱體積計算的推導過程。在解題時，可將圓柱切成的長方體由豎放變成橫放，通過變換方位尋求解題方法，使學生理解和掌握轉化思想，提升空間思維能力。

【習題】一個圓柱與一個長方體的體積相等，圓柱的底面半徑與長方體的高相等，都是4厘米，圓柱的高等于長方體的寬。求長方體的長。

由于題中缺少套公式所需的直接條件，學生解題的常規思路受阻。此時若將長方體由豎放變成橫放，根據題中兩個條件，就能清楚地辨析出長方體的長就是圓柱底面周長的一半，即4π厘米。

“等積變換”在體積計算教學中應用比較廣泛，且滲透著轉化思想，其實質是“變中有不變”。教學時，教師只要把握其實質，就能提高學生解決問題的能力，發展學生的空間觀念。

3.面體轉換，在變式中拓展空間想象

為了突出平面圖形與立體圖形之間的關系，發展學生的空間想象力，教材設置了一些“面體轉換”的習題。基于此，教師要選擇合適的素材，讓學生通過卷一卷、轉一轉、想一想、移一移等豐富多彩的活動，體驗平面圖形與立體圖形之間的聯系，促使學生思維轉換，發展學生的空間觀念。

（1）卷一卷。預先準備一張長1厘米、寬5厘米的長方形紙，讓學生卷一卷，看看可以卷成什么形狀，有幾種卷法。（把紙卷起來，沿著長邊對接和沿著寬邊對接，可以分別圍成兩個不同形狀的圓柱體。沿著長邊對接，圓柱的底面周長就是長方形的長，圓柱的高就是長方形的寬；沿著寬邊對接，圓柱的底面周長就是長方形的寬，圓柱的高就是長方形的長。）

（2）轉一轉。如果將長方形紙轉一轉可以得到什么樣的圓柱體呢？

將帶柄的長方形小旗快速地旋轉，學生發現同樣能生成圓柱體。經過小組合作討論，得出三種旋轉方法：沿著長邊旋轉；沿著寬邊旋轉；沿著中軸旋轉。教師引導學生說出圓柱體的底面半徑和高分別是什么，使學生建立起圓柱的底面半徑、高與長方形的長、寬之間的對應關系，發展學生的空間觀念。

（3）想一想。有了“面體轉換”的基礎，教師可引導學生直接想象圓錐可以用什么圖形旋轉而成。

以直角三角形的兩條直角邊為旋轉軸進行旋轉，可以得到不同大小和形狀的圓錐體。直角三角形的兩條直角邊分別是圓錐的底面半徑和高。

（4）移一移。利用多媒體的動態演示，使學生理解圓柱可以看成由圓平移一定的距離形成的運動軌跡，圓就是圓柱的底面積，平移的距離就是圓柱的高。同樣，長方形（或正方形）經過平移也能成為長方體（或正方體）。

從“面”到“體”的空間轉換，滲透著平面圖形經過運動形成立體圖形的模型思想。教學時，教師要通過多角度、多途徑讓學生感知從“面”到“體”的形成過程，比較二維面積與三維體積之間的差異，尋找幾何體各部分之間的聯系，拓展學生的空間想象。

總之，發展學生的空間觀念不是一蹴而就的，需以學生已有的經驗為基礎，以教材內容為核心，把握數學的內在本質，讓學生在活動中體會重要的數學思想，并積極動手、動眼、動腦，從而促進學生空間觀念的發展和數學素養的提升。

（責編 黃春香）